专题05 函数的奇偶性及其应用（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题05 函数的奇偶性及其应用 6大高频考点概览 考点01 用定义法判断函数的单调性 考点02 根据奇偶性求解析式 考点03 结合单调性解不等式 考点04 抽象函数问题 考点05 根据单调性解不等式 考点06 恒成立问题 地 城 考点01 用定义法判断函数的单调性 1、 单选题 1．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年5月高一下学期数学联考试卷 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为 关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故B不符合题意， 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D符合题意． 故选：D. 2．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】分析得函数的奇偶性与值域，结合高斯函数的概念可求所给函数的值域. 【详解】因为， 所以， 所以函数为奇函数，则， 因为， 而，则，， 所以，故，即， 所以的值域为， 当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 综上可知：. 故选：B 3．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知函数． (1)证明：为的周期； (2)指出的图象中所有对称轴，并证明的图象关于这些对称轴对称； (3)，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析； (3) 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷 【分析】（1）由周期性的定义证明即可； （2）由对称性的性质进行证明； （3）利用换元法求出的最小值，从而得到的范围. 【详解】（1）∵，∴为的周期． （2）函数所有的对称轴可表示为直线，证明如下． ∵，∴的图象关于直线对称． （3）∵，取， 令，可知在单调递减， 所以的最小值为，即的最小值为2， ∴，解得，即的取值范围为． 地 城 考点02 根据奇偶性求解析式 一、填空题 1．(23-24高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】由奇函数性质先求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 2．(23-24高一上·辽宁大连一0三中学·期中)已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市一0三中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】利用奇函数的性质求出函数在时的解析式，由奇函数的性质得出，综合可得出函数的解析式. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，则， 由奇函数的性质可得， 因此，. 故答案为：. 3．(23-24高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知是上的偶函数，时，又，则的单调增区间是 . 【答案】处开闭均可 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据偶函数的性质，求得函数的解析式，进而求得的解析式，结合函数的单调性的判别，可得答案. 【详解】当时，，则， 因为在上的偶函数，所以， 可得， 当，即时，， 整理可得，由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且函数的值域为， 由函数在上单调递减，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递减； 当，即时，， 由函数，易知该二次函数的对称轴为，开口向下， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数的值域为 由函数在单调递减，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递减，在上单调递增； 当时，该不等式组无解； 当，即使，， 整理可得， 由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且其值域为， 由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递增. 综上所述，的单调递增区间为和. 故答案为：处开闭均可. 4．(23-24高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， ． 【答案】 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】直接根据奇函数的定义求解时的解析式，再根据奇函数，进而求解出的解析式即可 【详解】假设，则根据为奇函数， 得：，又的定义域为，，综上可得：. 故答案为： 二、解答题 5．(24-25高一上·辽宁沈阳郊联体·期中)函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并证明的单调性； 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）函数是定义在上的奇函数，由，，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又由，得，解得， 则，此时满足， 所以. （2）在区间上为增函数，证明如下： 设，则， 由， 得，即，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 【答案】(1)作图见解析 (2)和 (3) 【来源】[新教材精创]第3章函数的概念与性质练习（2） -人教A版高中数学必修第一 册 【分析】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象； （2）根据图像写出单调区间即可； （3）利用时，，求得，再根据偶函数即可求解. 【详解】（1）如图所示: （2）结合图象可得：函数的单调递增区间为和； （3）当时，， 若时，则， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 故函数在上的解析式为. 地 城 考点03 结合单调性解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为，的定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C. 3．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市名校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为R， ，所以函数为定义域内的奇函数， 函数和在R上都单调递增，则在R上单调递增， 则，则，即， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：A. 4．(24-25高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知定义在上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（   ） A． B．若，则的取值范围是 C．若，则 D．函数有最小值 【答案】B 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】A选项，由条件得到是偶函数，在上单调递增，故； B选项，由单调性和奇偶性得到不等式，求出； C选项，由，单调性和奇偶性得到当时，，当时，，得到不等式解集； D选项，由单调性和奇偶性得到. 【详解】A选项，由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B错误； C选项，是偶函数，且，故， 在上单调递增，故在上单调递减， 故当时，，当时，， 若，则或， 所以或，故C正确； D选项，因为定义在上函数的图象是连续不断地， 在上单调递增，故在上单调递减， 所以，故D正确. 故选：B 5．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】令，根据题设有且在上，在上，再令判断在上述区间的大小关系，即可得不等式解集. 【详解】令为偶函数，且在上递增，， 结合题设知，在上，在上， 令为偶函数，且在上递增，， 若， 在上，则有， 在上，则有， 综上，结合题设的性质，不等式的解集为. 故选：B 二、填空题 6．(24-25高一上·辽宁大连丽文高级中学·期中)已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市丽文高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】计算出当时不等式的解集后，结合偶函数性质即可得该不等式在上的解集. 【详解】当时，令，即， 解得，又，故； 由是定义域为的偶函数， 故的解集是. 故答案为：. 7．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)已知奇函数的图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】或， 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据奇函数的性质可得，进而根据单调性即可求解. 【详解】因为是奇函数， 所以，由可得， 由于在上单调递减，且的图像是一条连续不断的曲线，故在上单调递减, 故，则或， 解得或， 故解集为或， 故答案为：或， 三、解答题 8．(23-24高一上·辽宁朝阳·期中)函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【来源】辽宁省朝阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 9．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 10．(24-25高一上·辽宁朝阳重点中学联考·期中)已知函数为奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【来源】辽宁省朝阳市重点中学联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）由题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用增函数定义即可证得函数在上的单调递增； （3）利用奇函数在上单调递增将题给不等式转化为，解之即可得到题给不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即恒成立，所以， 又，所以，所以. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， ， 又，且， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 令，解得或， 因为，且， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 地 城 考点04 抽象函数问题 一、填空题 1．(22-23高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)若对，，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【分析】构造奇函数，根据其奇偶性与最值之间的关系，结合其与的关系，即可求得结果. 【详解】令 ，定义域关于原点对称； 又； 由，，有可得：， 即，同时亦可得：，则; 故，则为奇函数，则其在对称区间上的最大值和最小值的和为， 又，故在上的最大值和最小值的和为. 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 【答案】ACD 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】首先利用赋值法求的值，再令，，求，并代入求函数的解析式，并赋值判断BD. 【详解】令，，则，因为， 所以， 令，，得， 即，，所以，故A正确； 令，，所以，为奇函数，故C正确； 由，令，得，故B错误； 上式中令为，得，为增函数，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量. 3．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 【答案】AC 【来源】辽宁省葫芦岛市协作校2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试题 【分析】抽象函数问题借助赋值法即可得. 【详解】令，则，A正确； 令，则，即， 令，则，即，B错误； 令，则， 又因为的定义域为，所以为奇函数，正确； 令，，得， 则，D错误. 故选：AC. 4．(23-24高一上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（    ） A． B． C．为R上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【来源】辽宁省铁岭市西丰县第二高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】利用抽象函数的关系式，令判断A的正误；令，，判断B的正误；当时，，再令，结合单调性的定义判断C的正误；令判断D的正误. 【详解】因为， 则令，可得， 即，解得，故A正确； 令，，可得， 即，解得， 再令，可得， 即，故B正确； 因为，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为R上的增函数，故C错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：利用抽象函数的定义通过赋值法，并结合函数单调性、奇偶性的定义才是解题的关键. 5. 定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 地 城 考点05 恒成立问题 一、解答题 1．(24-25高一上·辽宁沈阳铁西区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求、的值及的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【来源】辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试卷 【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式. （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可. （3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， ，函数是在上的奇函数， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 且，则， 由，得，则，即， 所以函数在上单调递增. （3）不等式恒成立，即， 而函数是定义在上的奇函数，则， 又函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 2．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数是偶函数. (1)求； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）根据偶函数的性质，，即可求解； （2）根据单调性的定义，设，再作差，即可判断； （3）不等式转化为且，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 即，即； （2）， 设， ， 因为，所以，，， 当，即时，，在单调递减， 当时，即，，在单调递增； （3）若，， 由（2）可知，不管，还是，函数都单调，所以的最大值必在端点处取得， 则且，即，且， 解得：. 3．(24-25高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求实数，的值. (2)试判断并证明函数的单调性； (3)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数，的值，代入验证后即可求解； （2）根据题意设任意的，，由单调函数定义即可判断； （3）利用换元法令，若不等式恒成立，再根据基本不等式性质即可求解. 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以 （2）任意的， 有， 所以，故函数是上的增函数； （3）， 因为恒成立， 等价于恒成立，令，， 则， 则，可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故. 4．(24-25高一上·辽宁沈阳东北育才中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)已知函数在上单调递增： ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： (2)设函数，求在上的最小值． 【答案】(1)①函数在上单调递增；② (2) 【来源】辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）①根据题意得到，得到方程，求出，根据函数的奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增； ②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式求解即可； （2）令，换元得到，，进而根据单调性求解即可. 【详解】（1）①函数在上单调递增，理由如下： ∵函数是定义在上的奇函数， ，即，解得， 此时，， 所以函数为奇函数，则. 因为在单调递增，又为奇函数， 故函数在上单调递增； ②函数在上单调递增，且为奇函数，则， 等价于 即 即， 即对任意恒成立， ，解得， 的取值范围是． （2）令，则， 当时，． ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为， 在区间上单调递增， ， 即在上的最小值为． 二、周期性和对称性的应用单选题 5．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数满足，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据得到对称轴，即可得到结果. 【详解】函数是二次函数，其中， 所以对称轴， 因为，所以函数对称轴为， 即，解得， 故选：A. 6．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围. 【详解】由，即，故函数关于对称， 所以，则， 故， 令，且开口向上，对称轴为， 由题意，且，它们也是的两个零点， 所以，且，故，则， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到是的两个零点，且，且为关键. 7．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知函数定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．0 C．506 D．2024 【答案】B 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由题意得的一个对称中心是，一条对称轴是，周期为8，结合已知求出即可得解. 【详解】因为函数定义域为的偶函数，所以恒成立，即， 这表明的一个对称中心是， 又，这表明的一条对称轴是， 所以，这表明的周期为8， 当时，， 所以， ， 所以 ， 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出函数的对称性、周期性，由此即可顺利得解. 三、多选题 8．(24-25高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域是 B．图象关于点成中心对称 C．若函数，则 D．若函数，则对任意，有 【答案】ABC 【来源】辽宁省大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】A选项，先根据抽象函数定义域的求法可得的定义域，再求的定义域即可；选项B，分离常数可得，结合函数图象的中心对称性与函数图象的平移法则，即可得解；选项C，采用换元法求函数的解析式即可，注意函数的定义域；选项D，根据幂函数图象的凹凸性，即可作出判断． 【解答】选项A，因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 所以函数的定义域是，即选项A正确； 选项B，， 因为的图象关于点对称，而的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位， 所以的图象关于点对称，即选项B正确； 选项C，令，则， 所以，其中， 所以，即选项C正确； 选项D，因为是上凸函数， 所以对任意，有，即选项D错误． 故选：ABC. 9．(23-24高一上·辽宁丹东·期中)已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 【答案】ABD 【来源】辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试题 【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项 【详解】化简得， 的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到， 先画出的图象，再进行平移画出的图象， 因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则在上单调递减，值域为， 若点在图象上，则，整理得， 即点也在图象上，可知的图像关于直线对称， 所以ABD正确； C错误. 故选：ABD. 四、填空题 10．(24-25高一上·辽宁沈阳铁西区·期中)我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【来源】辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试卷 【分析】由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数的图象关于点成中心对称， 得，即， 整理得，解得，故函数， 所以函数在上都单调递减，因此函数在上单调递减， 令， 由函数的图象关于点成中心对称，得的图象关于对称， 且在上单调递减， 所以由，得即， 于是，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2； 11．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【答案】 【来源】辽宁省丹东市名校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得． 【详解】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以， 由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的奇偶性及其应用 6大高频考点概览 考点01 用定义法判断函数的单调性 考点02 根据奇偶性求解析式 考点03 结合单调性解不等式 考点04 抽象函数问题 考点05 根据单调性解不等式 考点06 恒成立问题 地 城 考点01 用定义法判断函数的单调性 1、 单选题 1．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁实验中学·期中)已知函数． (1)证明：为的周期； (2)指出的图象中所有对称轴，并证明的图象关于这些对称轴对称； (3)，求的取值范围． 地 城 考点02 根据奇偶性求解析式 一、填空题 1．(23-24高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 2．(23-24高一上·辽宁大连一0三中学·期中)已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为 . 3．(23-24高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知是上的偶函数，时，又，则的单调增区间是 . 4．(23-24高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， ． 二、解答题 5．(24-25高一上·辽宁沈阳郊联体·期中)函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并证明的单调性； 6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 地 城 考点03 结合单调性解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知定义在上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（   ） A． B．若，则的取值范围是 C．若，则 D．函数有最小值 5．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高一上·辽宁大连丽文高级中学·期中)已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是 . 7．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)已知奇函数的图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为 ． 三、解答题 8．(23-24高一上·辽宁朝阳·期中)函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 9．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 10．(24-25高一上·辽宁朝阳重点中学联考·期中)已知函数为奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 地 城 考点04 抽象函数问题 一、填空题 1．(22-23高一上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)若对，，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 3．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 4．(23-24高一上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（    ） A． B． C．为R上的减函数 D．为奇函数 5. 定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 地 城 考点05 恒成立问题 一、解答题 1．(24-25高一上·辽宁沈阳铁西区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求、的值及的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数是偶函数. (1)求； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若，，求的取值范围. 3．(24-25高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求实数，的值. (2)试判断并证明函数的单调性； (3)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．(24-25高一上·辽宁沈阳东北育才中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)已知函数在上单调递增： ①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）： ②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围： (2)设函数，求在上的最小值． 二、周期性和对称性的应用单选题 5．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数满足，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 6．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知函数定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．0 C．506 D．2024 三、多选题 8．(24-25高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域是 B．图象关于点成中心对称 C．若函数，则 D．若函数，则对任意，有 9．(23-24高一上·辽宁丹东·期中)已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 四、填空题 10．(24-25高一上·辽宁沈阳铁西区·期中)我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 . 11．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $