精品解析：广东省中山市迪茵公学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年第一学期第一次数学题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，6 B. 5，12，13 C. 9，16，25 D. 1，2，3 4. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（　　） A. 1，3 B. 1， C. D. 5. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 6. 下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 若方程有实数根，则的值可以是（　　） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 9. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空感（共6小题，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______． 12. 在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 13. 已知菱形ABCD中，AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 _________． 14. 如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＜4的解集为___． 15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 18. 如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 19. 已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 20. 小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案： 方案一：直接按照复印的张数计费； 方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠． 设小明需复印x（张），按照方案一、二所需费用分别为（元），（元），关于x的函数图象如图所示． 根据提供的信息解答下列问题： （1）分别求出关于x的函数表达式； （2）小明复印多少张时，选择方案二较为划算？ 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 22. 定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 24. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次数学题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数解题即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：C． 2. 在下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、＝3，故此选项错误； C、＝5，故此选项错误； D、＝5，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根、立方根，正确掌握相关性质是解题关键． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，6 B. 5，12，13 C. 9，16，25 D. 1，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 4. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（　　） A. 1，3 B. 1， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据勾股定理得出正方形A的面积=两个小正方形的面积之和，则可得出答案． 【详解】解：根据题意知：正方形A的面积=两个小正方形的面积之和， A、，则另两个正方形的边长不可能是1，3，故本选项符合题意； B、，则另两个正方形的边长可能是1，，故本选项不符合题意； C、，则另两个正方形的边长可能是，故本选项不符合题意； D、，则另两个正方形的边长可能是，，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，点为斜边中点，， 则， 故选：C． 6. 下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，注意：形如（、为常数，）的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，故本选项符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D、，y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数），然后分别求出三年后的平均数，众数，中位数，方差即可得到答案． 【详解】解：设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数） ∴三年后的平均数为，众数为，中位数为， 方差为， ∵入学时的方差为， ∴方差没有发生变化，平均数，众数，中位数都发生了变化， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差，熟知相关定义是解题的关键． 8. 若方程有实数根，则的值可以是（　　） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程有实数解得到，代入解不等式即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 故A符合题意； 故选：A． 9. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误，符合题意； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确，不合题意； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故错误，符合题意； 易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误，符合题意； 故选：． 二、填空感（共6小题，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是（1，2）， ∴点到原点的距离是：=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键． 12. 在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 13. 已知菱形ABCD中，AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 _________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据菱形的面积即可求解. 【详解】∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝5， ∴菱形ABCD的面积是AC×BD=×6×5=15， 故填：15 【点睛】此题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积公式. 14. 如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＜4的解集为___． 【答案】x＜-2 【解析】 【分析】由图象可知在点A的左侧，kx+b＜4，可直接得出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知在点A的左侧，kx+b＜4， 所以不等式kx+b＜4的解集为：x＜-2； 故答案为：x＜-2． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，通过图象得出不等式的解集． 15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 18. 如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ． 19. 已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证． 【详解】略 20. 小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案： 方案一：直接按照复印的张数计费； 方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠． 设小明需复印x（张），按照方案一、二所需费用分别为（元），（元），关于x的函数图象如图所示． 根据提供的信息解答下列问题： （1）分别求出关于x的函数表达式； （2）小明复印多少张时，选择方案二较为划算？ 【答案】（1），； （2）复印大于张时，选择方案二较为划算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）当时，即，解得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， 将代入，得， 解得：， ； 设， 将和分别代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：， ∴复印大于张时，选择方案二较为划算． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 22. 定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 【答案】（1）是．理由见解析 （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论． （1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方，即可求解； （2）分两种情况进行讨论：当为斜边时，当为斜边时，结合勾股定理分别计算即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴以，，为边的三角形是直角三角形， ∴点M，N是线段的勾股分割点； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ①当为斜边时， 依题意，得， 即， 解得； ②当为斜边时， 依题意，得， 即， 解得； 综上所述，的长为或． 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，作于M，于N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证； （2）通过证明得到，即，求解即可； （3）连接，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形． 24. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $