第七章 第五节曲线 曲面-【手影物理】GeoGebra学习应用教程（基础篇）

第七章 圆锥曲线                                            第五节 曲线 曲面

一、曲线

曲线（Curve）可看作是一个动点在空间或平面中按照一定规律运动所形成的轨迹。 曲线可以用平面参数方程r(t)=(x(t),y(t),z(t),t,0,b)来表示，其中t为参数，当t在某个区间内变化时，r(t)的端点就描绘出一条曲线，比如摆线：标准方程为 x=r(t-sint);y=r(1-cost)

1. 曲线语句格式：Curve( <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> )；

中文格式：曲线( <x(t)>, <y(t)>, <参变量t>, <t-起始值>, <t-终止值> )。

2.摆线（旋轮线）：

Curve(r (t - sin(t)), r (1 - cos(t)), t, 0, 6r)；或曲线(r (t - sin(t)), r (1 - cos(t)), t, 0, 6r)曲线如图（1）

 

                 图1                                     图2

把y轴表达式r (1 - cos(t)加个符号，就是神奇的曲线—最速降线如图（2）

3.弹簧线：

三维弹簧线的空间曲线方程：

X=rsint;

y=rcost

z=ct

指令格式：曲线(r sin(t), r cos(t), 0.2t, t, 0, 20)；r为弹簧的半径，0.2表示弹

簧的螺距，可用滑动条变量调整，生成如图（3）

在画平面图形是用正弦曲线就可以表现弹簧

4.贝塞尔曲线（BezierCurve）：贝塞尔曲线是由一组控制点定义的参数曲线，可以想象每个控制点对曲线都有“拉力”作用，曲线会向控制点靠近，但不会完全经过所有控制点，而是在它们的“影响范围”内平滑地弯曲。在课件制作上利用它绘制导线、自然形状绳索较其他曲线更逼真。                     

数学定义:贝塞尔曲线是由一组控制点定义的参数曲线，其数学表达式基于伯恩斯坦多项式。对于n次贝塞尔曲线，其公式为 ：B(t)=(1-t)n-itiPi,其中Pi是控制点，t∈[0,1]是参数。例 作5个点的贝塞尔曲线：设5个点分别为 A B C D E;由贝塞尔曲线公式用曲线指令:曲线((1 - t)⁴ A + 4(1 - t)³ t B + 6(1 - t)² t² C + 4 (1 - t) t³ D + t⁴ E, t, 0, 1)绘制曲线（图4）          图3

                  图4                                    图5                        

 移动这些点的位置可以生成应用需要的形状。

5.样条曲线(Spline)：样条曲线是给定一组控制点而得到的一条光滑曲线，曲线的大致形状由这些点予以控制，其语句格式为 :Spline( <List of Points>, <Order ≥ 3> );中文格式：样条曲线( <点列>, <阶数 ≥ 3> ) ，3为曲线阶数。

曲线阶数：阶数与次数有关，样条曲线的阶是其次数加一，阶数越高，控制点越多。

如果平面上有5个点A B C D E,用样条曲线绘制，指令为：Spline({A, B, C, D, E}, 3)，绘制曲线（图5），可以看出：样条曲线也是光滑曲线，而曲线穿过控制点。

6.拟合曲线(FitLine):语句格式：Fit( <List of Points>, <Function> )，中文格式：拟合曲线( <点列>, <函数列表> )。