第3章 分数除法（单元讲义）-六年级上册数学热点难点一网打尽（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）苏教版

第3讲 分数除法 知识点一：分数除以整数的计算方法 1.分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的相同，都是已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 2.分数除以整数的计算方法 ：分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数。 知识点二：整数除以分数的计算方法 整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 知识点三：分数除以分数的计算方法 无论是整数除以分数，还是分数除以分数，都可以运用“转化法”，将除以一个分数转化成这个数的倒数。 知识点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，是把这个数看作单位“1”，单位“1”的量是未知的，可以设单位“1”的量为x，根据乘法的意义列方程解答。 知识点五：分数乘除混合运算的计算方法 分数连除和乘除混合运算的计算方法：计算分数连除和乘除混合运算时，都可以先把其中的除法转化为乘法，再按照分数连乘的方法进行计算。 知识点六：比的写法和各部分名称 1.比的意义：两个数相除又可以叫作两个数的比。 2.比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值。 3.比、除法、分数之间的关系： 联系 区别 除法 被除数 除号 除数(不能为0) 商 一种运算 分数 分子 分数线 分母(不能为0) 分数值 一类数 比 前项 比号 后项(不能为0) 比值 一种关系 知识点七：比的基本性质和化简比 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2.化简比的方法： 1)化简整数比时，通常要把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数； 2)化简分数比和小数比时，通常要把分数比或小数比化成整数比，再按化简整数比的方法进行化简。 知识点八：按比例分配的意义和解题方法 1.按比例分配：把一个数量按一定的比来进行分配。 2.解题方法： （1）先求出总份数，再求出每份是多少，最后分别计算各部分对应的具体数量。 （2）把比转化为总数量的几分之几，用分数乘法直接求各部分的数量。 考点一：分数除法的计算方法及应用 【例1】看一看，想一想，画一画。 （1）上面三幅图中，能正确表示“÷2”意义的有 　2　 个。 （2）请你再画出一幅与上面不一样的图表示“÷2”的意义。 【分析】把图形的面积看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，涂色其中3份，把涂色的面积看作单位“1”，单位“1”被平均分成2份，再涂色其中一份，由此解答本题。（答案不唯一） 【解答】解：（1）三幅图中第一幅和第二幅能正确表示“÷2”意义，则能正确表示“÷2”意义有2个。 （2）如图： （答案不唯一） 故答案为：2。 【点评】本题考查的是分数除法的应用。 1．根据算式分一分，画一画，填一填。 ÷3＝×＝ 【分析】如图，先表示这个长方形的，把它平均分成3份，求其中的1份是多少，就是求的，可以转化为乘法计算，据此分一分，画一画，填一填。 【解答】解： 故答案为：；；。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握分数除以整数的意义和计算方法。 2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，里面介绍了分数除法的一种方法—“经分术”：先统一分数单位，再用分数单位的个数相除来计算结果。例如：。则＝÷＝。 【分析】根据题意，把与化成分数单位相同的分数，即与，然后再相除即可。 【解答】解：÷ ＝÷ ＝ 故答案为：，，。 【点评】考查了分数除法的计算方法的运用。 3．在学习分数除法时，用了很多种方法计算，除了用＝2这种方法之外，还使用了其他两种方法，请你任选一种说说其中的道理。 （1）＝＝6÷3＝2； （2）。 【分析】我选择第二种，，是根据商不变的性质，把被除数和除数同时乘，把除数变成1，然后再进行计算的。 【解答】解：，是根据商不变的性质，把被除数和除数同时乘，把除数变成1，然后再进行计算的。 【点评】解答此题的关键是理解分数除法的计算及应用。 考点二：比的意义、读写法和各部分名称 【例2】中医是中华民族的瑰宝。我国东汉医学家张仲景在《金匮要略》一书中记载了“苓桂术甘汤方”：获苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两。这个药方中药材获苓和白术的质量比是（ 　4　 ：　3　 ），甘草药材的质量是这个药方药材总质量的。 【分析】根据题意，获苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两，说明药方的配比是4：3：2：2，这个药方中药材获苓和白术的质量比是（ 4：3），甘草药材的质量是这个药方药材总质量的＝；据此解答。 【解答】解：获苓和白术的质量比是4：3，甘草药材的质量是这个药方药材总质量的：2÷（4+3+3+2）＝。 故答案为：4，3；。 【点评】本题考查了按比分配的问题应用。 1．美术组有女生24人，男生22人，女生人数是男生的 　　 倍，男生人数与女生人数的最简单的整数比是 　11　 ：　12　 ，男生人数占总人数的 　　 。 【分析】根据求一个数是是另一个数的几倍，用除法求出女生人数是男生人数的多少倍，再根据比的意义，求出女生人数与女生人数的比，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法求出男生人数占总人数几分之几。 【解答】解：24÷22＝ 22：24＝11：12 22÷（24+22） ＝22÷46 ＝ 答：女生人数是男生人数的倍，男生人数与女生人数的最简单的整数比是11：12，男生人数占总人数的。 故答案为：，11，12，。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数是另一个数的几倍（几分之几）的方法及应用，比的意义及应用。 2．12÷　16　 ＝39：52＝＝　0.75　 （填小数） 【分析】根据分数与除法、比之间的关系，解答即可。 【解答】解：12÷16＝39：52＝＝0.75 故答案为：16；；0.75。 【点评】本题考查了分数与除法、比之间的关系，根据题中数据特点分析解答即可。 3．一杯果汁（如图），喝了，还剩，已经喝的和剩下的果汁的比是 　2：3　 。 【分析】由题意可知，把一杯果汁看作单位“1”，观察可知把单位“1”平均分成5份，喝了2份，还剩3份，用分数的分母表示总份数，分子表示有这样的几份；用已喝的份数和剩下的份数列比。据此解答。 【解答】解： 已喝的和剩下的果汁的比是2：3 一杯果汁，喝了，还剩。已喝的和剩下的果汁的比是2：3。 故答案为：；；2：3。 【点评】本题考查了比的意义的应用。 考点三：比与分数、除法的关系 【例3】6：　10　 ＝＝＝0.6＝2÷　　 。 【分析】把0.6化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝3：5，再根据比的性质比的前、后项都乘2就是6：10；根据分数的基本性质，的分子、分母都乘4就是；同理，的分子、分母都乘3就是；根据分数与除法的关系＝3÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘就是2÷。 【解答】解：6：10＝＝＝0.6＝2÷ 故答案为：10；12；15；。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 1．0.375＝　0.3　 ÷0.8＝＝　9　 ：24。 【分析】把0.375化成分数并化简是，根据分数与除法的关系＝3÷8，再根据商不变的性质，被除数、除数都除以10就是0.3÷0.8；根据分数的基本性质，的分子、分母都乘8就是；根据比与分数的关系＝3：8，再根据比的性质，比的前、后项都乘3就是9：24。 【解答】解：0.375＝0.3÷0.8＝＝9：24 故答案为：0.3，64，9。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 2．6÷　10　 ＝0.6＝ 　18　。 【分析】把0.6化成分数是，根据分数与除法的关系＝6÷10；根据比与分数的关系＝6：10，再根据比的性质，比的前、后项都乘3就是18：30；把化简是，根据分数的基本性质，的分子、分母都乘5就是，15＝3+12，25＝5+20，即。 【解答】解：6÷10＝0.6＝18：30＝ 故答案为：10；18；20。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 3．32÷　20　 ＝ 　8　 ：5＝16÷10＝＝ 　1.6　 （写小数） 【分析】根据商不变的性质，16÷10的被除数、除数都乘2就是32÷20；根据比与分数的关系16÷10＝16：10，再根据比的性质比的前、后项都除以2就是8：5；根据比与分数的关系8：5＝，根据分数的基本性质，的分子、分母都乘3就是，24＝16+8；16÷10＝1.6。 【解答】解：32÷20＝8：5＝16÷10＝＝1.6 故答案为：20；8；8；1.6。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 一．选择题（共6小题） 1．打一份稿件，张阿姨用了小时，李叔叔用了小时，张阿姨和李叔叔的工作效率之比是（　　） A．4：5 B．5：4 C． D． 【分析】把工作总量看成单位“1”。张阿姨用了小时，张阿姨的工作效率为1÷＝1×4＝4。李叔叔用了小时，同理，李叔叔的工作效率为1÷＝1×5＝5。张阿姨和李叔叔的工作效率之比为4：5。 【解答】解：把工作总量看成单位“1”。 1÷＝1×4＝4 1÷＝1×5＝5 所以张阿姨和李叔叔的工作效率之比是4：5。 故选：A。 【点评】本题考查了分数的意义，比的意义。 2．五年级男、女生人数比是7：6，女生人数占五年级的（　　） A． B． C． D． 【分析】在这里把男生人数看作7，女生人数看作6，则五年级人数是7+6，求女生人数占五年级的几分之几，用女生人数除以五年级人数． 【解答】解：6÷（7+6） ＝6÷13 ＝， 答：女生人数占五年级的； 故选：D． 【点评】本题考查求一个数是另一个数的几分之几（或几倍），在这里把另一个数看作单位“1”，用这个数除以另一个数（单位“1”）． 3．在一个比中，前项是8，比值是，后项是（　　） A． B．6 C． D． 【分析】根据题意，利用比的前项除以比值即可得到比的后项，据此计算解答。 【解答】解：8＝8×＝ 因此后项是。 故选：D。 【点评】本题考查了比的前项和后项及比值之间的关系。 4．下面的算式中，计算结果最大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分数加减乘除法的计算方法，计算出各个选项的结果，然后再比较进行求解即可。 【解答】解：+＝ ﹣＝ ×＝ ÷＝ ＞＞＞ 所以÷的结果最大。 故选：D。 【点评】本题考查了简单的分数计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。 5．下列算式的结果在和之间的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分数乘除法的计算方法，分别计算出各个算式的结果，然后再进行比较即可。 【解答】解：A：÷＝，＜，不符合题意； B：÷＝，＞，＜，符合题意； C：÷＝，＞，不符合题意； D：÷＝，＞，不符合题意。 故选：B。 【点评】本题主要考查了分数乘除法的计算方法以及大小比较的方法，要熟练掌握。 6．下面的问题可以用解决的是（　　） A．一根木料长5米，用去它的，用掉多少米？ B．一张拼图，先拼完，又拼了剩下的，还剩多少没拼完？ C．一瓶果酱有，淘气家5天吃完，平均每天吃多少千克？ D．把一条2米长的彩带平均分成5份，每份是多长？ 【分析】根据题意，逐项进行分析，依次列出各个选项的算式，然后再进行求解。 【解答】解：A：一根木料长5米，用去它的，要求用掉多少米，用乘法计算，列式为：5×； B：一张拼图，先拼完，又拼了剩下的，要求还剩多少没拼完，把这张拼图看作单位“1”，先拼完还剩下1﹣＝，又拼了剩下的，即×＝，所以一共拼了+＝，还剩下1﹣＝没拼完； C：一瓶果酱有，淘气家5天吃完，要求平均每天吃多少千克，用果酱的质量除以要吃的天数即可，列式为：÷5； D：把一条2米长的彩带平均分成5份，要求每份是多长，根据除法平均分的意义，用彩带长度除以分成的份数即可，列式为：2÷5。 可以用解决的是一瓶果酱有，淘气家5天吃完，平均每天吃多少千克。 故选：C。 【点评】解决本题的关键是找出题中的数量关系，利用数量关系列式计算。 二．填空题（共6小题） 7．甲、乙两人做50个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间的比是 　3：2　 ，工作效率的比是 　2：3　 。 【分析】先统一时间单位，0.8小时＝48分，据此写出两人的工作时间之比；把工作总量看作单位“1”，则甲每分钟完成，乙每分钟完成，据此写出两人的工作效率之比。 【解答】解：0.8×60＝48（分） 甲、乙两人的工作时间的比是72：48，化简得3：2； 甲、乙两人的工作效率的比是：，化简得2：3。 故答案为：3：2；2：3。 【点评】此题主要考查了比的意义，注意结果化到最简。 8．30÷75＝2：　5　 ＝ 　0.4　 （填小数） 【分析】根据比与除法的关系30÷75＝30：75，再根据比的性质比的前、后项都除以15就是2：5；30÷75＝0.4。 【解答】解：30÷75＝2：5＝0.4 故答案为：5；0.4。 【点评】此题主要是考查小数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 9．西渝高铁通车后，西安至重庆列车最快运行时间由现在的约6时减少了约3.5时，通车后时间减少了（ 　　 ）（填几分之几）。 【分析】分析题目，求通车后时间减少了几分之几，就是求缩短的时间占原来运行时间的几分之几，据此用缩短的时间除以原来的运行时间即可解答。 【解答】解：3.5÷6＝＝ 答：通车后时间减少了。 故答案为：。 【点评】本题考查了一个数占另一个数的几分之几的问题应用。 10．在4：5中，　4　 是比的前项，　5　 是比的后项，比值是 　　 。 【分析】比的前项：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比的后项：在两个数的比中，比号后面的数叫做比的后项，比值：比的前项除以后项所得的商。据此解答。 【解答】解：在4：5中，4是比的前项，5是比的后项，比值是。 故答案为：4，5，。 【点评】明确比各部分的名称，是解答此题的关键。 11．18÷＝ 　24　 【分析】一个数除以分数（这个分数不为0），等于这个数乘这个分数的倒数，据此解答。 【解答】解： 故答案为：24。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握分数除法的计算方法。 12．M所在的位置如图，的位置是点 　④　 ，M÷3的位置是点 　①　 。 【分析】根据图示，结合分数的意义可知，M÷表示把0～M之间的线段平均分成2份，取这样的3份，所以是④的位置；M÷3，表示把0～M之间的线段平均分成3份，取这样的1份，所以是①的位置，由此求解。 【解答】解：根据分析可得： M所在的位置如图，的位置是点④，M÷3的位置是点①。 故答案为：④；①。 【点评】本题考查了分数乘除法的意义以及数轴知识，结合题意分析解答即可。 三．判断题（共5小题） 13．一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，则甲队与乙队的工作效率比是5：4。　√　 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据甲、乙单独做所用的工作时间分别求出甲、乙的工作效率，进而写出工作效率比并化简比． 【解答】解：： ＝（）：（） ＝5：4 所以原题解答正确； 故答案为：√． 【点评】此题考查比的意义和简单的工程问题，要先根据甲、乙所用的时间分别求出他们的工作效率，进而写比并化简成最简比． 14．行同一段路，甲用5小时，乙用4小时，乙与甲速度的比是5：4。　√　 【分析】把这条路的长度看作单位“1”，依据“路程÷时间＝速度”，分别求出它们的速度，根据比的意义即可得解。 【解答】解：：＝5：4，所以行同一段路，甲用5小时，乙用4小时，乙与甲速度的比是5：4。 故答案为：√。 【点评】此题主要考查：路程、时间、速度的关系、和比的意义的灵活应用。 15．2÷9用分数来表示是。　√　 【分析】根据除法与分数之间的关系，除式中的被除数、除号、除数分别相当于分数中的分子、分数线、分母． 【解答】解：2÷9用分数来表示是 原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题是考查除法与分数之间的关系，属于基础知识，要记住． 16．分数除法的计算方法中蕴含着转化思想。　√　 【分析】根据乘除法的互逆关系，运用转化思想方法把分数除法变成分数乘法进行计算。 【解答】解：分数除法的计算方法中蕴含着转化思想，本题说法正确。 故答案为：√。 【点评】转化是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。 17．一个数（0除外）除以，相当于这个数缩小原来的。　×　 【分析】一个数除以一个分数等于乘这个数的倒数，所以一个数（0除外）除以，即等于这个数乘10，根据乘法的意义，这个数就扩大到原来的10倍，由此判断。 【解答】解：一个数（0除外）除以，即等于这个数乘10，即这个数就扩大到原来的10倍，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了学生对于分数除法运算法则的理解与运用。 四．计算题（共1小题） 18．直接写得数。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【分析】根据分数除法的计算方法计算即可。 【解答】解： ＝ ＝1 ＝1 ＝19 ＝ ＝ 【点评】本题考查分数除法的计算。除以一个数，等于乘这个数的倒数。 五．操作题（共1小题） 19．画一画，算一算。 ＝ 　　 【分析】把整个长方形的面积看作单位“1”，把单位“1”平均分成6份，取出其中的5份，用分数表示为，再把这5份平均分成2份，其中的一份就是的，即÷2，由此求解。 【解答】解： ＝。 故答案为：。 【点评】本题主要考查了分数的意义以及分数除法的意义，要熟练掌握。 六．应用题（共4小题） 20．药都广场参加健步走的女士有28人，男士比女士少14人。参加健步走的女士人数是男士人数的几倍？参加健步走的男士人数是女士人数的几分之几？ 【分析】（1）女士有28人，男士比女士少14人，则男士有（28﹣14）人，再用女士人数除以男士人数即可求出参加健步走的女士人数是男士人数的几倍； （2）根据分数和除法的关系可知，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，据此把商用分数表示，然后根据分数的基本性质化成最简分数；所以求参加健步走的男士人数是女士人数的几分之几，用男士人数除以女士人数即可。 【解答】解：（1）28﹣14＝14（人） 28÷14＝2 答：参加健步走的女士人数是男士人数的2倍。 （2）14÷28＝ 答：参加健步走的男士人数是女士人数的。 【点评】本题考查了分数的意义及倍的意义的应用。 21．科技节的机器人比赛，1号机器人完成任务用了15分钟，2号机器人完成同样任务用了18分钟，1号和2号机器人的工作效率比是多少？ 【分析】把工作总量看作“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出1号机器人、2号机器人的工作效率，再写出它们的比。 【解答】解：1÷15＝ 1÷18＝ ： ＝18：15 ＝6：5 答：1号和2号机器人的工作效率比是6：5。 【点评】本题考查比的应用，明确工作总量、工作时间、工作效率之间的关系，理解比的意义，掌握化简比的方法是解题的关键。 22．长沙和武汉两地相距340km，陈叔叔开车2小时行了全程的。照这样的速度，行完全程一共要多少小时？ 【分析】把全程看作单位“1”，用除以2小时求出1小时行全程的几分之几，再用单位“1”除以1小时行全程的几分之几就是所求的问题。 【解答】解：1÷（÷2） ＝1÷ ＝（小时） 答：行完全程一共要小时。 【点评】本题考查了分数除法中的工程问题，可以把全程看作单位“1”，关键是求出1小时行全程的几分之几。 23．复习与关联。 下图是玲玲整理的知识图谱的一部分，请把括号里的内容补充完整。 数的意义 整数、小数、分数都是计数单位个数的累加。如： （1）952＝100×9+10×5+1×2，952是由9个百、5个十和2个一组成的。 （2）7.83＝ 　7　 ×　1　 +　8　 ×　0.1　 +　3　 ×　0.01　 ，7.83是由7个一、8个0.1和3个0.01组成的。 （3）＝ 　5　 ×　　 ，是由 　5　 个组成的。 数的运算 乘法：整数、小数、分数乘法都可以用计数单位乘计数单位得新的计数单位，计数单位的个数乘计数单位的个数得新的计数单位的个数。如： （4）30×200＝6000 （5） （6）0.3×0.02＝ 　0.006　 数的运算 除法：分数除以分数，可以借助统一“分数单位”来计算，先通分统一分数单位，再用两个分数单位的个数相除来计算。如： （7） （8）＝ 　　 ÷　　 ＝ 　7　 ÷　20　 ＝ 　　 【分析】（1）952中9在百位上，表示9个百，5 在十位上，表示5个十，2 在个位上，表示 2个一； （2）7.83中7在个位上，表示7个一；8 在十分位上，计数单位是0.1，表示8个0.1；3在百分位上，计数单位是0.01，表示3个0.01，所以7.83＝1×7+0.1×8+0.01×3； （3）的分数单位是，表示5个，所以＝5×； （4）30 表示3个十，200表示2个百，3个十乘2个百，先算计数单位10×100 ＝1000，再算个数3×2＝6，得到6个千即6000； （5）表示3个，表示2个，乘得到新的计数单位，个数3×2＝6，所以结果是6个，即； （6）0.3表示3个0.1，0.02 表示2个0.01，0.1乘0.01得到新的计数单位0.001，个数3×2＝6，所以0.3×0.02＝0.006； （7）先将两个分数通分，统一分数单位，再用分数单位的个数相除； （8）按照（7）的方法，＝÷＝7÷20＝。 【解答】解：下图是玲玲整理的知识图谱的一部分，把括号里的内容补充完整。如下所示： 数的意义 整数、小数、分数都是计数单位个数的累加。如： （1）952＝100×9+10×5+1×2，952是由9个百、5个十和2个一组成的。 （2）7.83＝7×1+8×0.1+3×0.01，7.83是由7个一、8个0.1和3个0.01组成的。 （3）＝5×，是由5个组成的。 数的运算 乘法：整数、小数、分数乘法都可以用计数单位乘计数单位得新的计数单位，计数单位的个数乘计数单位的个数得新的计数单位的个数。如： （4）30×200＝6000 （5） （6）0.3×0.02＝0.006 数的运算 除法：分数除以分数，可以借助统一“分数单位”来计算，先通分统一分数单位，再用两个分数单位的个数相除来计算。如： （7） （8）＝÷＝7÷20＝ 故答案为：（2）7，1，8，0.1，3，0.01；（3）5，，5；（6）0.006，3，0.1，2，0.01，6，0.001； （8），，7，20，。 【点评】本题考查了小数乘法和分数除法算理探究。 一．选择题（共6小题） 1．从甲堆煤中取出给乙堆，这时两堆煤的质量相等．原来甲、乙两堆煤的质量之比是（　　） A．3：4 B．7：5 C．5：7 D．8：6 【分析】“从甲堆煤中取出给乙堆，这时两堆煤的质量相等”，如果把甲堆煤看作是7份数，那么乙堆煤就是7﹣2＝5份数，进而写出甲、乙两堆煤的质量的份数比得解． 【解答】解：甲堆煤的质量：乙堆煤的质量：7：（7﹣2）＝7：5． 答：原来甲、乙两堆煤的质量之比是7：5． 故选：B． 【点评】重点理解“甲取出给乙，两堆煤的质量相等”，说明原来甲比乙多2份数，进而求出原来乙堆煤的份数得解． 2．如图可以表示的计算过程和结果的是（　　） A． B． C． D． 【分析】算式÷2在这里表示：把一个长方形平均分成4份，涂其中的3份，用分数表示是，再把这再平均分成2份，求其中的一份是多少，观察四个选项解答即可。 【解答】解：根据分析可得： 只有可以表示的计算过程和结果。 故选：C。 【点评】本题考查了分数的意义和分数除以整数的计算方法，要熟练掌握。 3．下列式子中的“b”是一个不为0的自然数，哪个式子的得数最大？（　　） A．÷b B．b÷ C．×b D．b﹣ 【分析】不妨设b＝1，进一步计算出结果，比较得出答案即可． 【解答】解：因为“b”是一个不为0的自然数，假设b＝1， 则÷b＝，b÷＝4，×b＝，b﹣＝， 所以最大的是b÷． 故选：B。 【点评】运用举例是解决问题的一种常用方法，简单易行． 4．为了得出的结果，四位同学用不同的方法表达自己的想法，不合理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据到3÷的意义和计算的方法，对4个选项的方法进行分析，找出不合理想法即可。 【解答】解：A：把1米平均分成4份，其中的3份就是米，3÷表示3米里面有几个米，根据图里面可知有4个米，所以想法合理； B：根据商不变的性质可得：3÷＝（3×4）÷（×4）＝12÷3＝4，所以想法合理； C：一个小长方形的面积是1平方厘米，宽为厘米，长方形面积＝长×宽，则长＝1÷＝（厘米），现在有3个这样的长方形，总长度就为×3＝4（厘米）也就是3÷＝4，想法合理； D：根据分数与除法的关系可得：＝3÷4，3÷＝3÷（3÷4）＝3÷3×4＝4，所以选项D想法不合理。 故选：D。 【点评】本题考查了分数除法计算方法以及算理的探究，注意从不同的角度出发，得出不同的结论。 5．与10÷结果不相等的式子是（　　） A．10× B．10×4÷3 C．10÷4×3 D．10÷0.75 【分析】根据分数乘除法以及四则混合运算的顺序，分别计算出各个算式的结果，然后再进行判断即可。 【解答】解：10÷＝ A：10×＝ B：10×4÷3＝ C：10÷4×3＝7.5 D：10÷0.75＝ 所以与10÷结果不相等的式子是10÷4×3。 故选：C。 【点评】本题考查了简单分数除法的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。 6．两个面积都是1cm2的正方形拼成一个长方形，长方形的长与周长的比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：2 D．2：3 【分析】根据面积都是1cm2的正方形的边长是1cm，则围成的长方形的长是1×2＝2（cm）；宽是1cm，据此利用长方形的周长公式求出拼成的长方形的周长，再写出比解答即可。 【解答】解：（1+1）：[（1+1+1）×2] ＝2：[3×2] ＝2：6 ＝1：3 答：则长方形的长与周长的比是1：3。 故选：A。 【点评】此题主要考查长方形的周长公式，关键是弄清楚长方形和正方形边长的关系及长方形的特点。 二．填空题（共6小题） 7．一杯糖水，糖与水的比是1：4，喝去杯糖水后，又用水加满，这时杯中糖与水的比是　1：9　 ． 【分析】根据一杯糖水中糖与水的比是1：4，可知糖水原来一共是5份，喝去杯糖水相当于喝了糖0.5份，剩下糖0.5份；喝了水是2份，剩下水也是2份；后来又用水加满，可知又加入水为2.5份，这样就共有水（2+2.5）份，所以后来糖和水的比应该是0.5：4.5，进一步化简比即可． 【解答】解：一杯糖水中糖与水的比是1：4，可知糖水原来一共是5份， 喝去杯糖水相当于喝了糖0.5份，剩下糖0.5份； 喝了水2份，剩下水也是2份； 后来又用水加满，可知又加入水为2.5份，这样后来就共有水（2+2.5）份， 后来糖和水的比应该是：0.5：4.5＝1：9． 故答案为：1：9． 【点评】此题可以用份数来解决，关键是理解后来水和糖分别占几份，再进一步写比并化简比即可． 8．一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的 　倒数　 ，比如：÷3＝　　 。 【分析】根据分数除以整数的计算法则，一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数，据此解答。 【解答】解：一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的倒数，比如：÷3＝。 故答案为：倒数；。 【点评】本题解题关键是熟练掌握分数除以整数的计算方法。 9．1÷的意义是　已知总数的是1，求总数是多少　 ． 【分析】紧扣分数除法的意义，即可解决问题． 【解答】解：根据分数除法的意义可得： 此题是已知总数的是1，求总数是多少， 答：1÷的意义是已知总数的是1，求总数是多少， 故答案为：已知总数的是1，求总数是多少， 【点评】此题考查了分数除法的意义． 10．根据，，可以得出＝ 　11　 ÷　8　 （填整数） 【分析】根据所给算式发现：分母相同的分数除以分数，用分子除以分子即可。 【解答】解：根据，，可以得出＝÷＝11÷8。 故答案为：11，8。 【点评】本题主要考查分数除法的计算方法，要熟练掌握。 11．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是 　①　 ；将等式变形得，依据是 　③　 ；计算得，所以，依据是 　②　 。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【分析】根据除法与乘法的关系以及等式的基本性质。需要根据等式的变形过程，结合相关数学概念来确定每一步的依据。 【解答】解：①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是①；将等式变形得，依据是③；计算得，所以，依据是②。 故答案为：①；③；②。 【点评】本题主要考查除法与乘法的关系以及等式的基本性质。需要根据等式的变形过程，结合相关数学概念进行解答。 12．＝ 　33　 ：39＝6.6÷　7.8　 。 【分析】根据比与分数的关系＝11：3，再根据比的性质比的前、后项都乘3就是33：39；根据分数与除法的关系＝11÷13，再根据商不变的性质被除数、除数都乘0.6就是6.6÷7.8。 【解答】解：＝33：39＝6.6÷7.8 故答案为：33；7.8。 【点评】此题主要是考查分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 三．判断题（共5小题） 13．分数除以整数（0除外），商比被除数小．　×　 ． 【分析】根据在商非零的除法里，除数＞1，商＜被除数；除数＝1，商＝被除数；除数＜1，商＞被除数；可举例进一步验证． 【解答】解：如÷2＝，则＜， ，则， 说明：分数除以整数（0除外），商等于或小于被除数． 所以原题说法是错误的． 故答案为：×． 【点评】此题考查在商非零的除法里，根据除数大于、等于或小于1的情况下，确定商和被除数的大小关系． 14．一个数除以，就是把这个数扩大8倍．　√　 （判断对错） 【分析】一个数除以，就等于乘它的倒数，也就是乘8，就是把这个数扩大8倍，据此判断． 【解答】解：一个数除以，就等于乘它的倒数，也就是乘8，就是把这个数扩大8倍． 故答案为：√． 【点评】此题考查了分数除法，除以一个分数，就等于乘这个分数的倒数． 15．在探究的算法时，青青这样计算：。（ 　√　 ）（判断对错） 【分析】青青在计算时将被除数2转化为分数，使被除数与除数的分母相同，再通过分子相除、分母相除的方法得到结果。根据分数除法的规则，当两个分数分母相同时，分子相除的结果等于原除法运算的结果，因此计算过程正确。 【解答】解： 验证青青的步骤： （1），转化为同分母分数； （2）； 结果与分数除法的计算结果一致。因此，青青的计算过程是正确的。 故答案为：√。 【点评】此题考查了分数除法的计算。 16．如果●代表一个非零自然数，那么•+、•﹣、•×、•÷。四个式子中，得数最小的是。 　√　 （判断对错） 【分析】根据题意，假设●是1，分别计算出每个算式的结果，再比较大小即可。 【解答】解：假设●是1， •+＝1+＝1 •﹣＝1﹣＝ •×＝1×＝ •÷＝1÷＝7 所以得数最小的是。说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题主要考查了分数加减乘除法的计算方法，把●看作一个具体数，是解答此题的关键。 17．把1克糖溶在10克水中，糖与糖水的比是1：10。　×　 （判断对错） 【分析】把1克糖溶在10克水中，糖1克，糖水为1+10＝11（克），则糖与糖水的比是1：11。 【解答】解：1+10＝11（克）， 糖与糖水的比是1：11。 故题干说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查比的读法、写法及各部分的名称。 四．计算题（共1小题） 18．直接写得数。 ÷2＝ ×42＝ ×2＝ ×4＝ ÷3＝ 9÷＝ 5÷＝ ÷＝ ＝ ×0＝ 【分析】根据分数乘除法的计算法则进行计算即可。 【解答】解：＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝21 ＝ ÷＝ ＝ ＝0 【点评】本题考查分数乘除法的计算。注意计算的准确性。 五．操作题（共1小题） 19．在如图中表示。 【分析】根据题意，把这个图形看成单位“1”，平均分成3份，其中的一份就是，再把这平均分成2份，其中的一份就是的，由此进行画图即可。 【解答】解： ÷2＝ 【点评】本题主要考查了分数的意义以及分数除法的意义，要熟练掌握。 六．应用题（共3小题） 20．王师傅加工800个零件，做了一些后，还剩没有做。没有做的零件数与已经做的零件数的比是多少？ 【分析】把800个零件看做一个整体，做了一些后，还剩没有做，据此求出已经做了几分之几，再和剩下的比即可。 【解答】解：1﹣＝ ： ＝（）：（×4） ＝1：3 答：没有做的零件数与已经做的零件数的比是1：3。 【点评】把800个零件看做一个整体，先求出已经做了几分之几是解题的关键。 21．陆媛从甲市乘火车去乙市，行驶6时走完全程的，按照这样的速度，从甲市到乙市全程需要多长时间？ 【分析】根据题意，把陆媛从甲市乘火车去乙市全程需要的时间看作单位“1”，则它的是6时，用6除以它占全程需要的时间的分率，求出从甲市到乙市全程需要多长时间即可。 【解答】解：6÷＝22（小时） 答：按照这样的速度，从甲市到乙市全程需要22小时长时间。 【点评】此题主要考查了简单的行程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 22．淘淘参加区小学生田径运动会的跑步比赛。比赛中途的某一时刻，淘淘的位置可以用下面的信息反映：①他跑了全程的；②他跑过了中点并超过中点；③他离终点还有320米。根据以上信息，你知道淘淘参加的是多少米项目的跑步比赛吗？ 【分析】分析题意可知，应把全程看成单位“1”；由“他跑了全程的”可知还剩下全程的（1﹣），即320米所对应的数量，由此用除法求出全程即可。 【解答】解：根据分析可得： 320÷（1﹣） ＝320÷ ＝320× ＝800（米） 答：淘淘参加的是800米项目的跑步比赛。 【点评】本题先找出单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法求解。 一．选择题（共6小题） 1．（2025•固始县）如图，正方形A与长方形B有一部分重合在一起，涂色部分的面积既占A的，又占B的，则空白部分②与①的面积比是（　　） A．3：5 B．5：3 C．1：2 D．2：1 【分析】根据题意，把重叠部分的面积看作单位“1”，那么正方形A的面积就是1÷＝3，利用正方形A的面积减去阴影面积即可求出正方形A空白面积，长方形B的面积就是1÷＝5，利用长方形B的面积减去阴影面积即可求出长方形B空白部分面积，然后相比即可。 【解答】解：1 1 （3﹣1）：（5﹣1）＝1：2 答：则空白部分②与①的面积比是1：2。 故选：C。 【点评】本题关键是把重叠部分的面积看作单位“1”，分别表示出A和B的面积，得出AB空白部分的面积，进而得解。 2．（2024春•冷水滩区期末）一瓶牛奶有3L，平均倒入5个杯子里，下面的说法正确的是（　　） A．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 B．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 C．平均每个杯子倒入的牛奶有。 D．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 【分析】一瓶牛奶有3L，平均倒入5个杯子里，平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的1÷5＝，每个杯子有3（升），据此选择。 【解答】解：一瓶牛奶有3L，平均倒入5个杯子里，平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的1÷5＝，因此选项A说法正确。 故选：A。 【点评】本题考查了分数的意义及应用。 3．（2025春•大连期末）在研究如何计算时，下面说法不正确的是（　　） A．把分数化成小数，可以得到： B．运用商不变的性质，可以得到： C．把它们化成计数单位相同的分数，可以得到： D．运用分数与除法的关系，可以得到： 【分析】逐项分析后即可判断正误。 【解答】解：A.＝2÷5＝0.4，所以2÷＝2÷0.4，所以该选项说法正确； B.商不变的基本性质是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。在中，将被除数2和除数同时乘5，得到（2×5）÷（×5）＝10÷2，所以该选项说法正确； C.2＝，那么2÷＝÷，根据分数除法的计算方法，除以一个分数等于乘它的倒数，÷＝×＝10÷2，所以该选项说法正确； D.分数与除法的关系是被除数相当于分子，除数相当于分母，分数线相当于除号。2÷＝2×（除以一个分数等于乘以它的倒数），而不是2÷2÷5，所以该选项说法错误。 综上，只有D选项说法错误。 故选：D。 【点评】本题考查了分数除法算理探究。 4．（2025春•中山区期末）在解释“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的（　　） A．只有①④ B．只有②③ C．只有①②③ D．有①②③④ 【分析】第一个例子是把单位“1”平均分成3份，取其中的2份，÷4表示把平均分成4份，其中的一份是多少，可写成×。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 第二个例子1÷＝3表示整体“1”里面有3个，4÷表示4个“1”里面4×3个，可写成4＝4×3。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 第三个例子根据除法的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变。可得分数除以分数等于分数乘除数的倒数。 第四个例子把单位“1”平均分成4份，其中的一份是，5÷4表示5个单位“1”的是多少，可写成5×。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 【解答】解：第一个例子是把单位“1”平均分成3份，取其中的2份，除以4表示把平均分成4份，其中的一份是多少，用算式÷4＝×。除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 第二个例子1÷＝3表示整体“1”里面有3个，4÷表示4个“1”里面4×3个。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 第三个例子根据除法的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变。可得分数除以分数等于分数乘除数的倒数。 第四个例子把单位“1”平均分成4份，其中的一份是，5÷4表示5个单位“1”的是多少。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。 故选：D。 【点评】明确例子的含义是解决本题的关键。 5．（2025•泰兴市）“把5个同样大的橘子分给小朋友，每人分个，可以分给几人？”小强的算法是等号右边的“4”表示（　　） A．5个橘子平均分给4人 B．1个橘子平均分给4人 C．1人平均分得4个橘子 D．5人平均分得4个橘子 【分析】把1个橘子平均分成4份，每人分个，所以1个橘子平均分给4个人。据此解答。 【解答】解：小强的算法是等号右边的“4”表示1个橘子平均分成4份，每人分个，所以1个橘子平均分给4个人。 故选：B。 【点评】明确个表示把1个橘子平均分成4份，每人分1份，也就是个是解题的关键。 6．（2025春•大东区期末）计算÷3，以下方法正确的是（　　） ① ② ③×3 ④÷3＝6÷7÷3 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】①用分子除以3，计算正确； ②乘以除数3的倒数，计算正确； ③乘以除数3，计算错误； ④用被除数的分子除以分母，再除以除数，计算正确。 【解答】解：根据分析可知，①②④的计算正确。 故选：A。 【点评】此题考查了分数除法的计算。 二．填空题（共6小题） 7．（2025•澄迈县）在生活中，人们有时会用自己身体上的一些“长度”作为单位来测量物体的长度。例如欢欢和乐乐分别以自己的一拃为单位测量了同一根木条的长度，测量结果是：欢欢用了4拃，乐乐用了5拃，如图。欢欢一拃与乐乐一拃的长度比是 　5：4　 ，如果在测量另一个物体的长度时欢欢用了8拃，那么乐乐要用 　10　 拃。 【分析】木条的实际长度是固定的，因此两人拃长与使用次数成反比，并进而求出欢欢用了8拃测量物体时乐乐要用几拃即可解答本题。 【解答】解：设木条实际长度为L，则： 欢欢的一拃长度为： 乐乐的一拃长度为： 欢欢一拃与乐乐一拃的长度比＝：＝5：4 5×8÷4＝10（拃） 答：欢欢一拃与乐乐一拃的长度比是5：4，如果在测量另一个物体的长度时欢欢用了8拃，那么乐乐要用10拃。 故答案为：5：4，10。 【点评】本题考查了比的意义的应用。 8．（2025春•沙河口区期末）在计算时，根据如图的思考过程，写出合理的计算过程：＝ 　　 ＝。 【分析】把长方形平均分成5份，先涂色其中的4份表示，再把涂色部分平均分成2份，其中的1份就表示除以2，也就是求的一半是多少，也就是的是，据此解答。 【解答】解：在计算时，根据如图的思考过程，写出合理的计算过程：＝＝。 故答案为：。 【点评】本题考查了分数除法的意义。 9．（2025春•晋江市期末）《九章算术》是我国古代一部数学专著，该书所介绍的分数除法的计算方法是采用先将两个分数通分，再使分子相除的方法，称为“经分”，如，请你按照上述方法计算＝ 　12　 。 【分析】把被除数和除数进行通分，分母都变成21，然后用分子除以分子即可。 【解答】解：＝＝24÷2＝12 故答案为：12。 【点评】此题考查了分数除法的计算。 10．（2025•渝北区）a和b互为倒数，则＝ 　6　 。 【分析】＝，因为a和b互为倒数，所以ab＝1，那么＝6。 【解答】解：＝＝6 故答案为：6。 【点评】此题考查了分数除法的计算。 11．（2025•铜仁市）计算40÷2＝20，0.4÷2＝0.2，，我们都是把4份平均分成2份，都是在计算算式 　4÷2　 ，只是它们的计数单位不同，结果也不同。 【分析】观察所给式子，它们都是把“4个计数单位”平均分成2份，本质都是在计算4除以2，据此解答即可。 【解答】解：根据分析可知，都是在计算算式4÷2，只是它们的计数单位不同，结果也不同。 故答案为：4÷2。 【点评】此题考查了除法的意义的认识。 12．（2025春•高邑县期中）把一根绳子对折，再对折后的长度为米，这根绳子原来长为　　 米。 【分析】对折再对折，就是把原来的绳子分4份，每份是原来的，把原来的绳子看作单位“1”，用对折再对折后的长度除以，就是原来绳子的长度。 【解答】解：（米） 答：这根绳子原来长为米。 故答案为：。 【点评】已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算。 三．判断题（共5小题） 13．（2025•常州模拟）小明身高154cm，弟弟的身高是1m，小明和弟弟身高的比是154：1。　×　 【分析】先把单位化统一后再写比，进一步化简比即可． 【解答】解：1m＝100cm， 小明和弟弟身高的比是：154：100＝77：50，不是154：1． 故判断为：×． 【点评】此题考查写比和化简比，要注意把单位化统一了再比，进而化简比． 14．（2021秋•邯郸期末）既可以看作一个数，也可以看作一个比。　√　 【分析】既可以看作一个数，即分数，看作分数时诗作：四分之三，也可看作一个比，表示比时，诗作：三比四。 【解答】解：既可以看作一个数，也可以看作一个比。 原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题主要考查了比与分数的关系，比的两种书写格式。 15．（2022秋•南江县期末）分数除以分数，可以用分数的分子相除作分子，分母相除作分母。　√　 【分析】根据分数除法的计算方法此举例说明即可。 【解答】解：，如果用题干描述的方法，；，如果用题干描述的方法，，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】关键是掌握分数除法的计算方法。 16．（2025•营口）。　×　 【分析】÷4＝＝，＝＝，，据此判断即可。 【解答】解：÷4＝＝，＝＝，，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题考查分数除法的计算。 17．（2025•赫山区）一个数除以分数，商一定大于被除数。　×　 【分析】根据商的变化规律解答：两个非零的数相除，当除数大于1，商小于被除数；当除数小于1，商大于被除数；当除数等于1，商等于被除数． 【解答】解：一个数除以分数，所得的结果可能大于、或等于、或小于被除数． 所以本题说法错误； 故答案为：×． 【点评】本题考查了商的变化规律的灵活应用． 四．计算题（共1小题） 18．（2025春•福田区月考）计算下列各题。 【分析】根据分数除法的计算方法进行计算。 【解答】解：（1） ＝49× ＝63 （2） ＝ ＝ （3） ＝ ＝ 【点评】本题考查了分数除法的计算方法的运用。 五．应用题（共4小题） 19．（2023秋•宣恩县月考）要从一个长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板与圆面积的比是多少？ 【分析】根据题意可知，锯下的圆以长方形的宽为直径，再求出圆的面积和长方形的面积，用求得的长方形的面积减去圆的面积求出剩下木板的面积，根据比的意义写出剩下的木板与圆面积的比即可。 【解答】解：4÷2＝2（分米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 20﹣12.56＝7.44（平方分米） 7.44：12.56＝（7.44÷8）：（12.56÷8）＝0.93：1.57＝（0.93×100）：（1.57×100）＝93：157 答：剩下的木板与圆面积的比是93：157。 【点评】此题考查比的应用。掌握长方形、圆形的面积计算公式和化简比是解答的关键。 20．（2025春•临夏州期末）制作一款精密零件，张叔叔需要30分钟，李叔叔需要45分钟。张叔叔用的时间是李叔叔的几分之几？ 【分析】将李叔叔需要的时间看作单位“1”，张叔叔用的时间÷李叔叔用的时间＝张叔叔用的时间是李叔叔的几分之几。 【解答】解：30÷45＝ 答：张叔叔用的时间是李叔叔的。 【点评】本题考查了分数与除法之间的关系。 21．（2025春•增城区期末）五（1）班为班级图书角添置了40本图书。其中《数学魔术》的本数占总数的，《中国神话传说》有10本，其余的是《童话故事》。 （1）《中国神话传说》的本数占添置图书总数的几分之几？ （2）《童话故事》的本数占添置图书总数的几分之几？ 【分析】（1）求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，用《中国神话传说》的本数除以添置图书总数，即可求出《中国神话传说》的本数占添置图书总数的几分之几。 （2）把添置图书总数看作单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法计算，用添置图书总数乘求出《数学魔术》的本数，用添置图书总数依次减去《数学魔术》和《中国神话传说》的本数，可得《童话故事》的本数，用《童话故事》的本数除以添置图书总数即可解答。 【解答】解：（1）10÷40＝ 答：《中国神话传说》的本数占添置图书总数的。 （2）40×＝10（本） 40﹣10﹣10 ＝30﹣10 ＝20（本） 20÷40＝ 答：《童话故事》的本数占添置图书总数的。 【点评】本题主要考查了分数乘法、分数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。（2）求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。 22．（2025•淇滨区）“分数除法”在我国古代的《九章算术》中叫作“经分术”。采取将两个分数通分，然后用分子相除的方法得出结果。例如： （1）请试着用上述方法计算下面算式。（写出计算过程） ＝ 　＝20÷21＝　 （2）为什么能这样计算呢？几名同学发表了以下看法： 兰兰：分数除法，可以先通分，将被除数和除数的分数单位统一，看被除数和除数各有几个这样的分数单位；再把通分后被除数和除数的分数单位的个数相除，就可以得到结果了。 明明：我认为也可以这样表示： 晨晨：我认为整数除法和分数除法的运算道理是一样的，也可以像明明那样计算。例如：60÷20＝（6×10）÷（2×10）＝6÷2＝3。 慧慧：我发现小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是一样的。 你同意慧慧的观点吗？请结合0.12÷0.04的计算过程进行说明。 【分析】（1）先通分，变成除以，然后用20除以21即可； （2）计算0.12：0.04时，将被除数和除数同时扩大100倍，转化为整数除法是12除以4，0.12可以看成12乘0/01，0.04可以看成4乘0.01，然后等于12除以4，得出结论：小数除法通过移动小数点统一单位后进行整数除法，与分数、整数除法的运算原理一致。 【解答】解：（1）＝20÷21＝ （2）根据分析可知，慧慧的观点是正确的，0.12÷0.04＝（12×0.01）÷（4×0.01）＝12÷4＝3。 故答案为：＝20÷21＝。 【点评】此题考查了分数除法的计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 分数除法 知识点一：分数除以整数的计算方法 1.分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的相同，都是已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 2.分数除以整数的计算方法 ：分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数。 知识点二：整数除以分数的计算方法 整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 知识点三：分数除以分数的计算方法 无论是整数除以分数，还是分数除以分数，都可以运用“转化法”，将除以一个分数转化成这个数的倒数。 知识点四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，是把这个数看作单位“1”，单位“1”的量是未知的，可以设单位“1”的量为x，根据乘法的意义列方程解答。 知识点五：分数乘除混合运算的计算方法 分数连除和乘除混合运算的计算方法：计算分数连除和乘除混合运算时，都可以先把其中的除法转化为乘法，再按照分数连乘的方法进行计算。 知识点六：比的写法和各部分名称 1.比的意义：两个数相除又可以叫作两个数的比。 2.比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值。 3.比、除法、分数之间的关系： 联系 区别 除法 被除数 除号 除数(不能为0) 商 一种运算 分数 分子 分数线 分母(不能为0) 分数值 一类数 比 前项 比号 后项(不能为0) 比值 一种关系 知识点七：比的基本性质和化简比 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2.化简比的方法： 1)化简整数比时，通常要把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数； 2)化简分数比和小数比时，通常要把分数比或小数比化成整数比，再按化简整数比的方法进行化简。 知识点八：按比例分配的意义和解题方法 1.按比例分配：把一个数量按一定的比来进行分配。 2.解题方法： （1）先求出总份数，再求出每份是多少，最后分别计算各部分对应的具体数量。 （2）把比转化为总数量的几分之几，用分数乘法直接求各部分的数量。 考点一：分数除法的计算方法及应用 【例1】看一看，想一想，画一画。 （1）上面三幅图中，能正确表示“÷2”意义的有 　2　 个。 （2）请你再画出一幅与上面不一样的图表示“÷2”的意义。 【分析】把图形的面积看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，涂色其中3份，把涂色的面积看作单位“1”，单位“1”被平均分成2份，再涂色其中一份，由此解答本题。（答案不唯一） 【解答】解：（1）三幅图中第一幅和第二幅能正确表示“÷2”意义，则能正确表示“÷2”意义有2个。 （2）如图： （答案不唯一） 故答案为：2。 【点评】本题考查的是分数除法的应用。 1．根据算式分一分，画一画，填一填。 ÷3＝×＝ 2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，里面介绍了分数除法的一种方法—“经分术”：先统一分数单位，再用分数单位的个数相除来计算结果。例如：。则＝÷＝。 3．在学习分数除法时，用了很多种方法计算，除了用＝2这种方法之外，还使用了其他两种方法，请你任选一种说说其中的道理。 （1）＝＝6÷3＝2； （2）。 考点二：比的意义、读写法和各部分名称 【例2】中医是中华民族的瑰宝。我国东汉医学家张仲景在《金匮要略》一书中记载了“苓桂术甘汤方”：获苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两。这个药方中药材获苓和白术的质量比是（ 　4　 ：　3　 ），甘草药材的质量是这个药方药材总质量的。 【分析】根据题意，获苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两，说明药方的配比是4：3：2：2，这个药方中药材获苓和白术的质量比是（ 4：3），甘草药材的质量是这个药方药材总质量的＝；据此解答。 【解答】解：获苓和白术的质量比是4：3，甘草药材的质量是这个药方药材总质量的：2÷（4+3+3+2）＝。 故答案为：4，3；。 【点评】本题考查了按比分配的问题应用。 1．美术组有女生24人，男生22人，女生人数是男生的 　 倍，男生人数与女生人数的最简单的整数比是 　 　 ：　 　 ，男生人数占总人数的 　 。 2．12÷　 　 ＝39：52＝＝　 　 （填小数） 3．一杯果汁（如图），喝了，还剩，已经喝的和剩下的果汁的比是 　 　 。 考点三：比与分数、除法的关系 【例3】6：　10　 ＝＝＝0.6＝2÷　　 。 【分析】把0.6化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝3：5，再根据比的性质比的前、后项都乘2就是6：10；根据分数的基本性质，的分子、分母都乘4就是；同理，的分子、分母都乘3就是；根据分数与除法的关系＝3÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘就是2÷。 【解答】解：6：10＝＝＝0.6＝2÷ 故答案为：10；12；15；。 【点评】此题主要是考查小数、分数、除法、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。 1．10．0.375＝　 　 ÷0.8＝＝　 　 ：24。 2．6÷　 　 ＝0.6＝ 　 　。 3．32÷　 　 ＝ 　 　 ：5＝16÷10＝＝ 　 　 （写小数） 一．选择题（共6小题） 1．打一份稿件，张阿姨用了小时，李叔叔用了小时，张阿姨和李叔叔的工作效率之比是（　　） A．4：5 B．5：4 C． D． 2．五年级男、女生人数比是7：6，女生人数占五年级的（　　） A． B． C． D． 3．在一个比中，前项是8，比值是，后项是（　　） A． B．6 C． D． 4．下面的算式中，计算结果最大的是（　　） A． B． C． D． 5．下列算式的结果在和之间的是（　　） A． B． C． D． 6．下面的问题可以用解决的是（　　） A．一根木料长5米，用去它的，用掉多少米？ B．一张拼图，先拼完，又拼了剩下的，还剩多少没拼完？ C．一瓶果酱有，淘气家5天吃完，平均每天吃多少千克？ D．把一条2米长的彩带平均分成5份，每份是多长？ 二．填空题（共6小题） 7．甲、乙两人做50个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间的比是 　 　 ，工作效率的比是 　 　 。 8．30÷75＝2：　 　 ＝ 　 　 （填小数） 9．西渝高铁通车后，西安至重庆列车最快运行时间由现在的约6时减少了约3.5时，通车后时间减少了（ 　 ）（填几分之几）。 10．在4：5中，　 　 是比的前项，　 　 是比的后项，比值是 　 。 11．18÷＝ 　 　 12．M所在的位置如图，的位置是点 　 　 ，M÷3的位置是点 　 　 。 三．判断题（共5小题） 13．一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，则甲队与乙队的工作效率比是5：4。　 　 14．行同一段路，甲用5小时，乙用4小时，乙与甲速度的比是5：4。　 　 15．2÷9用分数来表示是。　 　 16．分数除法的计算方法中蕴含着转化思想。　 　 17．一个数（0除外）除以，相当于这个数缩小原来的。　 　 四．计算题（共1小题） 18．直接写得数。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 五．操作题（共1小题） 19．画一画，算一算。 ＝ 　 　 六．应用题（共4小题） 20．药都广场参加健步走的女士有28人，男士比女士少14人。参加健步走的女士人数是男士人数的几倍？参加健步走的男士人数是女士人数的几分之几？ 21．科技节的机器人比赛，1号机器人完成任务用了15分钟，2号机器人完成同样任务用了18分钟，1号和2号机器人的工作效率比是多少？ 22．长沙和武汉两地相距340km，陈叔叔开车2小时行了全程的。照这样的速度，行完全程一共要多少小时？ 23．复习与关联。 下图是玲玲整理的知识图谱的一部分，请把括号里的内容补充完整。 数的意义 整数、小数、分数都是计数单位个数的 累加。如： （1）952＝100×9+10×5+1×2，952是由 9个百、5个十和2个一组成的。 （2）7.83＝ 　 ×　 +　 ×　 +　 　 ×　 ，7.83是由7个一、8个0.1和3个0.01组成的。 （3）＝　 ×　 ，是由　 　 个组成的。 数的运算 乘法：整数、小数、分数乘法都可以用计数单位乘计数单位得新的计数单位，计数单位的个数乘计数单位的个数得新的计数单位的个数。如： （4）30×200＝6000 （5） （6）0.3×0.02 ＝　 数的运算 除法：分数除以分数，可以借助统一“分数单位”来计算，先通分统一分数单位，再用两个分数单位的个数相除来计算。如： （7） （8）＝ 　 ÷　 ＝ 　 　 ÷　 　 ＝ 　 　 一．选择题（共6小题） 1．从甲堆煤中取出给乙堆，这时两堆煤的质量相等．原来甲、乙两堆煤的质量之比是（　　） A．3：4 B．7：5 C．5：7 D．8：6 2．如图可以表示的计算过程和结果的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子中的“b”是一个不为0的自然数，哪个式子的得数最大？（　　） A．÷b B．b÷ C．×b D．b﹣ 4．为了得出的结果，四位同学用不同的方法表达自己的想法，不合理的是（　　） A． B． C． D． 5．与10÷结果不相等的式子是（　　） A．10× B．10×4÷3 C．10÷4×3 D．10÷0.75 6．两个面积都是1cm2的正方形拼成一个长方形，长方形的长与周长的比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：2 D．2：3 二．填空题（共6小题） 7．一杯糖水，糖与水的比是1：4，喝去杯糖水后，又用水加满，这时杯中糖与水的比是　 　 。 8．一个数除以整数（0除外）等于这个数乘整数的 　 　 ，比如：÷3＝　 。 9．1÷的意义是　 　 。 10．根据，，可以得出＝ 　 　 ÷　 　 （填整数）。 11．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是 　 　 ；将等式变形得，依据是 　 　 ；计算得，所以，依据是 　 　 。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 12．＝ 　 　 ：39＝6.6÷　 　 。 三．判断题（共5小题） 13．分数除以整数（0除外），商比被除数小。　 　 14．一个数除以，就是把这个数扩大8倍。　 　 15．在探究的算法时，青青这样计算：。 　 　 16．如果●代表一个非零自然数，那么•+、•﹣、•×、•÷。四个式子中，得数最小的是。 　 　 17．把1克糖溶在10克水中，糖与糖水的比是1：10。　 　 四．计算题（共1小题） 18．直接写得数。 ÷2＝ ×42＝ ×2＝ ×4＝ ÷3＝ 9÷＝ 5÷＝ ÷＝ ＝ ×0＝ 五．操作题（共1小题） 19．在如图中表示。 六．应用题（共3小题） 20．王师傅加工800个零件，做了一些后，还剩没有做。没有做的零件数与已经做的零件数的比是多少？ 21．陆媛从甲市乘火车去乙市，行驶6时走完全程的，按照这样的速度，从甲市到乙市全程需要多长时间？ 22．淘淘参加区小学生田径运动会的跑步比赛。比赛中途的某一时刻，淘淘的位置可以用下面的信息反映：①他跑了全程的；②他跑过了中点并超过中点；③他离终点还有320米。根据以上信息，你知道淘淘参加的是多少米项目的跑步比赛吗？ 一．选择题（共6小题） 1．（2025•固始县）如图，正方形A与长方形B有一部分重合在一起，涂色部分的面积既占A的，又占B的，则空白部分②与①的面积比是（　　） A．3：5 B．5：3 C．1：2 D．2：1 2．（2024春•冷水滩区期末）一瓶牛奶有3L，平均倒入5个杯子里，下面的说法正确的是（　　） A．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 B．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 C．平均每个杯子倒入的牛奶有。 D．平均每个杯子倒入的牛奶占这瓶牛奶的。 3．（2025春•大连期末）在研究如何计算时，下面说法不正确的是（　　） A．把分数化成小数，可以得到： B．运用商不变的性质，可以得到： C．把它们化成计数单位相同的分数，可以得到： D．运用分数与除法的关系，可以得到： 4．（2025春•中山区期末）在解释“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的（　　） A．只有①④ B．只有②③ C．只有①②③ D．有①②③④ 5．（2025•泰兴市）“把5个同样大的橘子分给小朋友，每人分个，可以分给几人？”小强的算法是等号右边的“4”表示（　　） A．5个橘子平均分给4人 B．1个橘子平均分给4人 C．1人平均分得4个橘子 D．5人平均分得4个橘子 6．（2025春•大东区期末）计算÷3，以下方法正确的是（　　） ① ② ③×3 ④÷3＝6÷7÷3 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 7．（2025•澄迈县）在生活中，人们有时会用自己身体上的一些“长度”作为单位来测量物体的长度。例如欢欢和乐乐分别以自己的一拃为单位测量了同一根木条的长度，测量结果是：欢欢用了4拃，乐乐用了5拃，如图。欢欢一拃与乐乐一拃的长度比是　 　，如果在测量另一个物体的长度时欢欢用了8拃，那么乐乐要用 　 　 拃。 8．（2025春•沙河口区期末）在计算时，根据如图的思考过程，写出合理的计算过程：＝ 　 　 ＝。 9．（2025春•晋江市期末）《九章算术》是我国古代一部数学专著，该书所介绍的分数除法的计算方法是采用先将两个分数通分，再使分子相除的方法，称为“经分”，如，请你按照上述方法计算＝ 　 　 。 10．（2025•渝北区）a和b互为倒数，则＝ 　 　 。 11．（2025•铜仁市）计算40÷2＝20，0.4÷2＝0.2，，我们都是把4份平均分成2份，都是在计算算式 　 　 ，只是它们的计数单位不同，结果也不同。 12．（2025春•高邑县期中）把一根绳子对折，再对折后的长度为米，这根绳子原来长为　 　 米。 三．判断题（共5小题） 13．（2025•常州模拟）小明身高154cm，弟弟的身高是1m，小明和弟弟身高的比是154：1。　 　 14．（2021秋•邯郸期末）既可以看作一个数，也可以看作一个比。　 　 15．（2022秋•南江县期末）分数除以分数，可以用分数的分子相除作分子，分母相除作分母。　 　 16．（2025•营口）。　 　 17．（2025•赫山区）一个数除以分数，商一定大于被除数。　 　 四．计算题（共1小题） 18．（2025春•福田区月考）计算下列各题。 五．应用题（共4小题） 19．（2023秋•宣恩县月考）要从一个长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板与圆面积的比是多少？ 20．（2025春•临夏州期末）制作一款精密零件，张叔叔需要30分钟，李叔叔需要45分钟。张叔叔用的时间是李叔叔的几分之几？ 21．（2025春•增城区期末）五（1）班为班级图书角添置了40本图书。其中《数学魔术》的本数占总数的，《中国神话传说》有10本，其余的是《童话故事》。 （1）《中国神话传说》的本数占添置图书总数的几分之几？ （2）《童话故事》的本数占添置图书总数的几分之几？ 22．（2025•淇滨区）“分数除法”在我国古代的《九章算术》中叫作“经分术”。采取将两个分数通分，然后用分子相除的方法得出结果。例如： （1）请试着用上述方法计算下面算式。（写出计算过程） ＝ 　 　 （2）为什么能这样计算呢？几名同学发表了以下看法： 兰兰：分数除法，可以先通分，将被除数和除数的分数单位统一，看被除数和除数各有几个这样的分数单位；再把通分后被除数和除数的分数单位的个数相除，就可以得到结果了。 明明：我认为也可以这样表示： 晨晨：我认为整数除法和分数除法的运算道理是一样的，也可以像明明那样计算。例如：60÷20＝（6×10）÷（2×10）＝6÷2＝3。 慧慧：我发现小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是一样的。 你同意慧慧的观点吗？请结合0.12÷0.04的计算过程进行说明。 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