专题01集合与逻辑用语（必备知识+11题型+分层检测）（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第一册

专题01 集合与逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的概念 能准确判断能组成集合的对象； 会利用集合的互异性作检验。 基础必考点，常出现在小题。 集合间的基本关系 能判断集合间的基本关系； 能利用集合间的基本关系求参数或其范围； 能判断集合的子集与真子集个数。 高频易错点，容易忽视。 集合的基本运算 能对离散型或连续性集合做基本的运算； 能根据venn图求集合的运算结果； 能根据集合的运算结果求参数或其范围。 基础必考点，常出现在小题和大题中。 命题的否定 能对全称命题或特称命题作否定。 基础必考点，常出现在小题 充分必要条件 能判断命题的充分必要条件； 能根据命题的充分必要条件求参数或其范围。 基础必考点，常出现在小题和大题中。 知识点01 集合的概念 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. ·示例：由于高个子没有一个明确的标准，某个村子里的高个子不能组成一个集合；若集合，就意味且；. ·易错点：注意集合的互异性。 知识点02 集合的表示方法 1列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ·示例：大于3小于10的奇数组成的集合。 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  ·示例： 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- ·易错点：看集合先看元素类型 知识点03集合间的基本关系 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  ·示例： 已知集合，，判断集合的关系． 解析 ，且，的可能取值为． ． 又，分别是． ．． 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  ·示例： 若，则满足条件的集合的个数是(　　) A． B． C． D． 解析 ， 集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素， 因此满足条件的集合为，，，，，，共个． 故选：． 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) ·示例： 求集合的子集和真子集. 解析 集合的子集是，共个； 集合的子集是，共个； 知识点03 集合的基本运算 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． ·示例： 设集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 解析 ，集合 ，故选:. 2 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； ·示例： 设集合则实数＝　 　． 解析 因为，根据交集的运算推理得：是集合和集合的公共元素， 而集合中有，所以得到或(无解，舍去)，解得． 3 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； ·示例： 已知全集，集合，集合，求集合. 解析 ，，，则． 知识点04 全称量词与特称量词 ① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． ·示例： 对所有末位数是的数能被整除，. ② 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. ·示例： 至少有一个质数是偶数，. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. ·示例： 的否定是 ，并判断他们的真假性. 解析 . 是真命题，是假命题. 知识点05 充分条件与必要条件 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. ·示例： 是的____________条件， 解析 因为.故答案是不充分必要条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 题型一 集合的概念 解｜题｜技｜巧 所研究对象是否能够组成集合，主要看元素的三个特征：确定性、互异性和无序性。 易｜错｜点｜拨 集合中的元素要满足“互异性”，意味着集合中每个元素都会相等；在解题中，要注意用集合的互异性对集合进行检验。 【典例1】 （2024秋•贡井区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．1与{1}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择． 【解答】解：1不能表示一个集合，故A错误； 因为集合中的元素具有无序性，故B正确； 因为集合的元素具有互异性，而{1，1，2}中有相同的元素，故C错误； 因为集合{x|4＜x＜5}中有无数个元素，无法用列举法表示，故D错误． 故选：B． 【典例2】 （2024秋•延边州校级期中）若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为（　　） A．{0，1，4} B．{0，3，4} C．{﹣1，0，3，4} D．{0，1，3，4} 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得． 【解答】解：由{1，3，4，m2}，得m2≠1，则m≠1， 由m∈{1，3，4，m2}，得m＝3，此时m2＝9，符合题意， 或m＝4，此时m2＝16，符合题意， 或m＝m2，则m＝0，此时m2＝0，符合题意， ∴m的可能取值的集合为{0，3，4}． 故选：B． 【变式1】（2024秋•天河区校级期中）下列各组对象可以构成集合的是（　　） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合集合的定义，即可求解． 【解答】解：对于A，优秀的学生无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故A错误； 对于B，边长为2的正方形，满足集合的定义，故B正确； 对于C，比较大的数字无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故C错误； 对于D，著名的数学家无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故D错误． 故选：B． 【变式2】（2024秋•莎车县期中）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合的互异性可知a≠b≠c，进而可判定三角形不可能是等腰三角形． 【解答】解：根据集合的性质可知， a≠b≠c ∴△ABC一定不是等腰三角形． 故选：D． 【变式3】（2023秋•官渡区校级期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（　　） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解． 【解答】解：interesting的所有字母组成的集合为{i，n，t，e，r，s，g}，共有7个元素． 故选：A． 【变式4】（2023秋•榆阳区校级期中）若1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】依题意可得a2+1＝1或a2﹣a﹣1＝1，解得a的值，再检验即可． 【解答】解：因为1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}， 所以a2+1＝1或a2﹣a﹣1＝1，解得a＝0或a＝﹣1或a＝2， 当a＝0时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，1}，符合题意； 当a＝﹣1时，a2+1＝2，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当a＝2时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，1，5}，符合题意； 综上可得a＝0或a＝2． 故选：D． 题型二 集合的表示方法 解｜题｜技｜巧 1 集合的表示方法有自然语言、列举法、描述法； 2 集合的列举法，主要是把集合的元素一个个确定再写下来就可以，当元素有无限个，则可在后面省略号；若集合元素无法写下每个元素时，就不适合用列举法表示； 3 描述法整体的表示形式是，看描述法表示的集合首先要看它的元素类型，比如是数集还是点集，是数集的话，它表示的是满足“”后条件中什么字母；同时要看清楚元素要满足的所有条件； 4 在解题中遇到描述法表示的集合，能化简的尽量化简，能用列举法表示就用列举法表示。 【典例1】（多选）（2023秋•张家口期中）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　） A．{x∈Z|2≤x≤3} B．{x|x2﹣5x+6＝0} C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析、写出对应的集合即可． 【解答】解：对于A，{x∈Z|2≤x≤3}＝{2，3}，满足题意； 对于B，解方程x2﹣5x+6＝0，得x＝2或x＝3，所以该方程的解集为{2，3}，满足题意； 对于C，解方程组，得x＝2，y＝3，可表示为{（2，3）}； 对于D，解不等式组，得2＜x＜3，用集合表示为{x|2≤x≤3}，不满足题意． 故选：AB． 【典例2】（多选）（2024秋•东海县校级月考）下列关于集合的命题中正确的是（　　） A．集合中有3个元素 B．集合B＝{x∈Z|}＝{﹣1，0，1，2} C．集合C＝{x|x＝3k+1，k∈Z}＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．集合为有限集 【答案】ABC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A选项；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数集，即可判定B选项；根据x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z，则k﹣1∈Z，即可判定C选项；通过枚举n∈N的取值，计算对应x的值，通过观察，即可判定D选项． 【解答】解：对于A选项，当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 当a＜0，b＜0时，， 所以集合A＝{﹣2，0，2}，有3个元素，故A正确； 对于B选项，由，得﹣2＜x≤2， 又因为x∈Z，所以x＝﹣1，0，1，2，即集合B＝{﹣1，0，1，2}，故B正确； 对于C选项，因为x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z，则k﹣1∈Z， 所以C＝{x|x＝3k+1，k∈Z}＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，故C正确； 对于D选项，因为n∈N，则n＝0，1，2，3，⋯， 当n＝0时，， 当n＝1时，， 当n＝2时，， 当n＝4时，， 当n＝5时，， 当n＝6时，，⋯， 随着n的变化，x会有无数个不同的值，所以集合D是无限集，故D错误． 故选：ABC． 【变式1】（2024秋•闵行区校级期中）第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【答案】C 【分析】根据点集的表示方法，即可求解． 【解答】解：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即x＞0且y＞0， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为{（x，y）|x＞0且y＞0}． 故选：C． 【变式2】（2024秋•芒市校级期中）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数． 【解答】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}， 当x＝3时，y＝1，2，满足集合B， 当x＝2时，y＝1，3；满足集合B， 当x＝1时，y＝2，3；满足集合B， 共有6个元素． 故选：C． 【变式3】（2024秋•长宁区校级期中）设A＝{（x，y）|1}，B＝{（x，y）|y＝4﹣x2}，若C＝{（x，y）|（x，y}∈B且（x，y）∉A}，试用列举法表示集合C＝　 　 ． 【答案】{（2，0），（﹣2，0）} 【分析】由题意首先确定集合A，B，然后结合C的定义用列举法表示集合C即可． 【解答】解：由题意可得：集合A表示曲线 上的点， 集合B表示曲线y＝4﹣x2 上的点， 结合集合C的定义可得集合C表示的点满足y＝4﹣x2 且4﹣x2＝0， 综上可得：C＝{（2，0），（﹣2，0）}． 故答案为：{（2，0），（﹣2，0）}． 题型三 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 1 集合之间是包含的关系，用或，元素与集合之间是属于的关系，用; 2 要区别子集与真子集的概念，包含与，可以类比(它包含与)； 3 要证明，则根据子集定义，设，再证明就可以，但对于一般的小题，主要理解各个集合的特点便可以判断了； 4集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 易｜错｜点｜拨 若题中已知，一定要注意是否为空集，不确定则要分类讨论。 【典例1】（2024秋•湖北校级期中）集合M＝{x|x＝5k﹣2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}的关系是（　　） A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断M，P，S的关系可得结论． 【解答】解：任取a∈M，则a＝5k1﹣2＝5（k1﹣1）+3，k1∈Z， 所以a∈P，所以M⊆P， 任取b∈P，则b＝5n1+3＝5（n1+1）﹣2，n1∈Z， 所以a∈M，所以P⊆M， 所以M＝P， 任取c∈S，则c＝10m1+3＝5•（2m1）+3，m1∈Z， 所以c∈P，所以S⊆P， 又8∈P，8∉S， 所以S≠P， 所以S⊆P＝M， 故选：C． 【变式1】（2023春•岳阳期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．4 B．8 C．7 D．16 【答案】B 【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}， ∴满足A⊆C⊆B的集合C有： {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}， 共8个． 故选：B． 【变式2】（2024春•腾冲市校级期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的真子集的个数为（　　） A．6 B．8 C．3 D．7 【答案】D 【分析】根据题意，先得集合C中有3个元素，由集合的元素数目与其真子集数目的关系，可得答案． 【解答】解：集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}＝{﹣1，1，3} 集合{﹣1，1，3}中有3个元素，则其真子集有23﹣1＝7个， 故选：D． 【变式3】（2025春•北京校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5，⋯，2025}的子集B满足：对任意x，y∈B，有x+y∉B，则集合B中元素个数的最大值是（　　） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，2023，…，1014，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解． 【解答】解：假设B中的最大元素为2025， 将剩下的元素分成为（1，2024），（2，2023），..，（1012，1013）， 则共有1012组， 若B中元素多于1013个，结合抽屉原理可得， 一定有两个数在同一组，两个数的和为2025， 此时与题目条件矛盾． 同理可得B中的最大元素为2024，…，1014，均不成立， 故B中元素不可能多于1013． 所以当B＝{1013，1014，1015，⋯，2025}时， B中元素个数最多有2025﹣1013+1＝1013． 故选：D． 【变式4】（2024秋•宜宾期中）定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b﹣a，其中a、b∈R．已知集合，，且M、N都是集合{x|1≤x≤2}的子集． （1）求集合M∩N的“长度”最小值 （2）若，集合M∪N的“长度”大于，求n的取值范围． 【分析】（1）根据“长度”的定义进行分析，从而确定正确答案． （2）根据“长度”的定义列不等式，由此求得n的取值范围． 【解答】解：（1）依题意集合，，且M、N都是集合{x|1≤x≤2}的子集， 可知集合M，N不是空集， 要使M、N都是集合{x|1≤x≤2}的子集， 则需且， 解得且， 要使M∩N的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立． 当m＝1，n＝2，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合M∩N的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合M∪N的“长度”大于，故或， 即或，又，故． 题型四 根据集合间的基本关系求参数或其范围 易｜错｜点｜拨 1 若题中已知B⊆A，要注意集合B是否是空集，若不确定则要分类讨论； 2 题中遇到参数，往往都要分类讨论，则要思考好“分类讨论的标准是什么”，并且要作到不重不漏。 【典例1】（2024秋•叶县校级期中）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{x|x＜2} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x≤3} D．{x|2＜x≤3} 【分析】分集合B是否是空集进行讨论即可求解． 【解答】解：当B＝∅时，满足B为A的真子集，此时m+1＞2m﹣1，解得m＜2． 当B≠∅时，则或，解得2≤m≤3． 综上，m≤3． 故选：C． 【典例2】（2023秋•礼泉县期中）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x∈R|1＜ax＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【答案】A 【分析】先求出集合A，然后对a的正负进行分类讨论，结合集合的包含关系可求． 【解答】解：由x2﹣1≥0可得x≥1或x≤﹣1，即A＝{x|x≥1或x≤﹣1}， 因为集合B＝{x∈R|1＜ax＜2}， 若B⊆A， 当a＝0时，B＝∅，符合题意； 当a＞0时，B＝{x|}，则或1， 解得﹣2≤a＜0或0＜a≤1， 即0＜a≤1， 当a＜0时，B＝{x|}， 则1或1， 解得﹣1≤a＜0， 综上，﹣1≤a≤1． 故选：A． 【变式1】（2024秋•雨花区校级期中）设集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1，1） C．[0，2] D．（﹣1，1] 【分析】通过解绝对值不等式确定集合A的区间，再利用数轴直观分析B⊆A时区间端点的约束关系，转化为不等式组求解． 【解答】解：由，得， 解得﹣1＜x＜2，故A＝（﹣1，2）， 集合B＝（a，a+1），若B⊆A，则B的区间需完全包含于A内， 从数轴上看，B是长度为1的开区间， 需满足：左端点a不小于A的左端点﹣1，右端点a+1不大于A的右端点2， 因此列不等式组：， 解得﹣1≤a≤1，所以a的取值范围是． 故选：A． 【变式2】（2024春•鄞州区校级期中）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|a＜1} B．{a|a≤1} C．{a|a＜1或a≥0} D．{a|a＜0或0＜a＜1} 【分析】分B＝∅和B≠∅，结合B⊆A得出a所满足的条件，进而可得出所求的答案． 【解答】解：当B＝∅时，ax+1≤0无解，此时a＝0，满足题意． 当B≠∅时，ax+1≤0有解，即a≠0， 若a＞0时，则B＝{x|x}， 所以要使B⊆A，需满足，解得0＜a＜1； 若a＜0时，则B＝{x|x}， 所以要使B⊆A，需满足，解得a＜0． 综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜1}． 故答案为：A． 【变式3】（2023春•岳阳期中）集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|2x2﹣ax﹣1＜0}，M⊆N，则实数a的范围（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣1，0） 【分析】本题考查集合基本运算及含参不等式的求解方法，属于中档题 【解答】解：M＝（0，1），设f（x）＝2x2﹣ax﹣1，要使M⊆N，则f（1）≤0， 所以2﹣a﹣1≤0，因此a≥1， 故选：B． 【变式4】（多选）（2023秋•山东期中）已知集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，B＝{x|ax2﹣2ax﹣1＝0}，且B⊆A，则实数a可能的取值是（　　） A． B．0 C．﹣1 D． 【分析】首先求出集合A，然后结合B⊆A 的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案． 【解答】解：A＝{x|x2﹣6x+5＝0}＝{1，5}，且B⊆A，则： ①当B＝∅时，a＝0或，解得a＝0或﹣1＜a＜0，A适合题意； ②若B＝{1}，则，解得a＝﹣1， ③若B＝{5}，则，此时无解， ④若B＝{1，5}，则，此时无解，不合题意； 综上：a的值为0和﹣1． 故选：ABC． 题型五 集合的基本运算 解｜题｜技｜巧 1 要理解集合的基本运算及其对应符号，简单来说交集可用“公共”、并集用“全部”、补集用“剩下”去理解； 2 在进行集合运算时，要把集合进行化简到最简形式再运算，能用列举法表示的就用列举法； 3 若要根据venn图进行集合运算，可以先判断出venn图中表示的集合运算形式再求解，也可以把每个集合中的元素写在venn图上再确定答案； 4 集合的运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【典例1】（2025春•北仑区校级期中）已知集合A＝{x|x＝5n+1，n∈N}，B＝{y|0＜y＜21，y∈N}，则集合A∩B的子集的个数为（　　） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【答案】C 【分析】先求出A∩B，再利用子集个数公式求解． 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝5n+1，n∈N}，B＝{y|0＜y＜21，y∈N}， 所以A∩B＝{1，6，11，16}， 所以集合A∩B的子集的个数为24＝16． 故选：C． 【典例2】（2023秋•玉溪校级期中）设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜x2﹣6}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．[﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，3] 【分析】根据题意先求出集合B，进而求出∁RB，最后求出A∪（∁RB）即可． 【解答】解：由x＜x2﹣6可得x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2， 所以∁RB＝{x|﹣2≤x≤3}，A∪（∁RB）＝[﹣2，+∞）． 故选：A． 【变式1】（2023秋•玉溪校级期中）设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜x2﹣6}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．[﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，3] 【答案】A 【分析】根据题意先求出集合B，进而求出∁RB，最后求出A∪（∁RB）即可． 【解答】解：由x＜x2﹣6可得x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2， 所以∁RB＝{x|﹣2≤x≤3}，A∪（∁RB）＝[﹣2，+∞）． 故选：A． 【变式2】（2024秋•敦煌市校级期中）已知集合M＝{x∈N|﹣1≤x≤4}，集合N＝{x∈R|x2∈M}，则∁M（M∩N）＝（　　） A．{3，4} B．{﹣1，3，4} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】由交集、补集运算即可求解． 【解答】解：因为M＝{x∈N|﹣1≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，而N＝{x∈R|x2∈M}， 可得：， 所以M∩N＝{0，1，2}， 故∁M（M∩N）＝{3，4}． 故选：A． 【变式3】（2024秋•朝阳区校级期中）如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x≤0} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x〈0或x〉4} 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合． 【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|x＞0}， 依题意，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}， 而B＝{x|x＞0}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞0}， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为∁U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤0}． 故选：C． 【变式4】（多选）（2024秋•福州期中）已知全集U＝{x|x＜10，x∈N}，A⊆U，B⊆U，A∩（∁UB）＝{1，5}，（∁UA）∩（∁UB）＝{3，7，9}，A∩B＝{4}，则下列选项正确的是（　　） A．8∉B B．{5}⊆A C．7∈∁U（A∪B） D．A的不同真子集个数为8 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案． 【解答】解：因为U＝{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 因为（∁UA）∩（∁UB）＝{3，7，9}＝∁U（A∪B），所以3，7，9∉A，B， 因为A∩（∁UB）＝{1，5}，所以1，5∈A，1，5∉B， 又A∩B＝{4}，说明4∈A，B， 综上，0∈B，0∉A，同理2，6，8∈B，2，6，8∉A， 画出维恩图如下： 对于A，8∈B，故A错误； 对于B，{5}⊆A，故B正确； 对于C，7∈∁U（A∪B），故C正确； 对于D，A的不同真子集个数为7，故D错误． 故选：BC． 【变式5】（多选）（2024秋•长寿区校级期中）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A﹣B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列解答正确的是（　　） A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B﹣A＝{3，7，8} B．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|﹣2≤x＜4}，则A﹣B＝{x|x＜﹣2或x≥4} C．如果A⊆B，那么A﹣B＝∅ D．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则A﹣B＝A∩（∁UB） 【分析】依题意根据A﹣B的定义可知，可先求出A∩B，再求出其以A为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论． 【解答】解：根据差集定义B﹣A即为{x|x∈B且x∉A}， 由A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，可得B﹣A＝{3，8}，所以A错误； 由定义可得A﹣B即为{x|x∈A且x∉B}， 由A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|﹣2≤x＜4}，可知A﹣B＝{x|x＜﹣2或x≥4}，即B正确； 若A⊆B，那么对于任意x∈A，都满足x∈B，所以{x|x∈A且x∉B}＝∅，因此A﹣B＝∅，所以C正确； 易知A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}在图中表示的区域可表示为∁A（A∩B），也即A∩（∁UB）， 可得A﹣B＝A∩（∁UB），所以D正确． 故选：BCD． 题型六 根据集合的运算结果求参数或其范围 解｜题｜技｜巧 1 集合运算的性质：，，不要死记，可用venn图或集合运算的定义去理解； 2 根据集合的运算得到集合间的关系的话，则要注意集合A是否是空集； 3 若题中有较为复杂的集合运算，则可利用venn图辅助思考，或根据集合的运算律把运算先化简。 【典例1】（2024秋•端州区校级期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x﹣m＜0}． （1）若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩∁UB； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值集合； （3）若A∩B＝A，求实数m的取值集合． 【分析】利用交集、补集的性质和不等式的性质求解． 【解答】解：（1）m＝3时，A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x﹣3＜0}＝{x|x＜3}． ∵全集U＝A∪B＝{x|x＜4}， ∴A∩∁UB＝{x|﹣2＜x＜4}∩{x|3≤x＜4}＝{x|3≤x＜4}； （2）∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，A∩B＝∅， ∴m≤﹣2，∴实数m的取值集合为{m|m≤﹣2}； （3）∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，A∩B＝A， ∴m≥4，∴实数m的取值集合为{m|m≥4}． 【典例2】（2024秋•秦都区校级期中）设函数的定义域为集合A，已知集合B＝{x|3＜2x+1＜7}，C＝{x|x≥m}，全集为R． （I）求（∁RA）∩B； （II）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围． 【分析】（I）求得集合A，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合； （II）运用并集和交集的定义，即可得到所求m的范围． 【解答】解：（I）函数的定义域为： 集合A＝{x|3﹣x＞0且x﹣2＞0}＝{x|2＜x＜3}， 集合B＝{x|3＜2x+1＜7}＝{x|1＜x＜3}， （∁RA）∩B＝{x|x≥3或x≤2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x≤2}； （II）若（A∪B）∩C≠∅， 而A∪B＝{x|1＜x＜3或2＜x＜3}＝{x|1＜x＜3}， C＝{x|x≥m}， 可得m≥3时，（A∪B）∩C＝∅， 则（A∪B）∩C≠∅，可得m＜3． 【变式1】（2024秋•甘肃校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，且A∩B＝B，则实数a的取值集合是 　 　 ． 【分析】根据一元二次方程得出集合A，然后根据集合B按照B＝∅和B≠∅分类，结合子集的定义即可得出． 【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 所以由A∩B＝B可得：B⊆A， 当B＝∅时，Δ＝a2﹣8＜0，即﹣2a＜2，符合题意； 当B≠∅时， 1．当Δ＝a2﹣8＝0，即a＝2或a＝﹣2， 当a＝2时，B＝{}，不满足题意； 当a＝﹣2时，B＝{}，不满足题意； 2．当Δ＝a2﹣8＞0，即a＞2或a＜﹣2， 由题意可知：1，2是方程x2﹣ax+2＝0的两根， 所以a＝1+2＝3． 综上所述，实数a的取值集合为{a|﹣2a＜2或a＝3}． 故答案为：{a|﹣2a＜2或a＝3}． 【变式2】（2024秋•信州区校级期中）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝3﹣x2，x∈R}，集合B是函数 y的定义域，集合C＝{x|5﹣a＜x＜a}． （1）求集合A、B （2）求集合A∪（∁UB）（结果用区间表示）； （3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围． 【分析】（1）由题意，求解y＝3﹣x2（x∈R）的值域，即可得集合A．求解函数 y的定义域即可得B集合． （2）先（∁UB）的集合，再求A∪（∁UB）； （3集合C＝{x|5﹣a＜x＜a}，C⊆（A∩B），求出A∩B，对C进行讨论，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）集合A＝{y|y＝3﹣x2，x∈R}， 那么：y＝3﹣x2（x∈R）的值域为（﹣∞，3]； 所以：集合A＝{y|y≤3}． 函数 y的定义域满足：，解得：2≤x＜5， 所以：集合B＝{x|2≤x＜5}． （2）∵集合B＝{x|2≤x＜5}． ∴∁UB＝{x|2＞x或x≥5}． 所以：A∪（∁UB）＝（﹣∞，3]∪[5，+∞）． （3）C＝{x|5﹣a＜x＜a}，C⊆（A∩B）， ∵A∩B＝{x|2≤x≤3} 当C＝∅时，满足题意，则5﹣a≥a，解得：a． 当C≠∅时，，解得： 综合所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3]． 【变式3】（2024秋•浦东新区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0，x∈R}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）已知集合B有两个元素x1，x2，用实数a来表示|x1﹣x2|并指出a的取值范围； （3）设U＝R，已知∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由2∈B，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合B元素情况分类求解即可． 【解答】解：（1）由题意得A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 因为A∩B＝{2}，所以2∈B， 所以22+4（a+1）+a2﹣5＝0， 即4+4a+4+a2﹣5＝0，化简得a2+4a+3＝0， 即（a+3）（a+1）＝0，解得a＝﹣3或a＝﹣1， 检验：当a＝﹣3时，B＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，满足A∩B＝{2}， 当a＝﹣1时，B＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，满足A∩B＝{2}， 所以a＝﹣3或a＝﹣1； （2）因为B集合中有两个元素x1，x2， 所以方程x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0有两个根， 所以Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＞0，即a＞﹣3， 且x1+x2＝﹣2（a+1），， 所以， 且a的取值范围为{a|a＞﹣3}； （3）因为A＝{1，2}，且， 当B＝∅时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＜0， 解得a＜﹣3，符合题意； 当B＝{1}时，则，无解； 当B＝{2}时，则，所以a＝﹣3； 当B＝{1，2}时，则，无解， 综上，a的范围为{a|a≤﹣3}． 题型七 全称量词与存在量词 解｜题｜技｜巧 1 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 2 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 3 根据全称命题或特称命题的真假性求参数时，可以利用它们的真假性是相反。 【典例1】（2024秋•漳州期中）命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是（　　） A．∀x＞2，x2﹣1≤0 B．∀x≤2，x2﹣1＞0 C．∃x＞2，x2﹣1≤0 D．∃x≤2，x2﹣1≤0 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是特称命题，得解． 【解答】解：命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是：∃x＞2，x2﹣1≤0， 故选：C． 【典例2】（2024秋•淄博期中）已知命题p：∃x∈R，（m+1）（x2+1）≤0，命题q：∀x∈R，x2﹣mx+1＞0恒成立，若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） 【答案】D 【分析】由题意可得，p，q至少一个假命题，然后结合含有量词的命题的真假关系即可求解． 【解答】解：因为p与q至多有一个是真命题，即p，q至少一个假命题， 由p是假命题得：m+1＞0，解得m＞﹣1， 由q是假命题得：Δ＝m2﹣4≥0，解得m≤﹣2或m≥2， 所以m≤﹣2，或m＞﹣1． 故选：D． 【变式1】（2023秋•榆林期中）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（　　） A．∀x∈R，x2+1＜0 B．∀x∈R，x2+1≤0 C．∃x∈R，x2+1≤0 D．∃x∈R，x2+1＜0 【答案】D 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定“∃x∈R，x2+1≤0”， 故选：C． 【变式2】（2024秋•广州校级期中）已知命题“∀x∈R，”是假命题，则实数a的取值范围为 　 　 ． 【答案】（﹣∞，0]∪[4，+∞） 【分析】直接利用全称命题和特称命题的转换，命题真假的判断和一元二次不等式有根的充要条件求出实数a的取值范围． 【解答】解：命题“∀x∈R，”是假命题， 则命题“∃x∈R，”为真命题， 故，整理得a2﹣4a≥0， 解得a≥4或a≤0， 故实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 【变式3】（2024春•马山县校级期中）命题：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为真命题，则实数a的最大值为 　 　 ． 【答案】5 【分析】利用含有量词命题的否定及不等式恒成立可解得a的最大值 【解答】解：由特称命题的否定可知：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为：∀x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4≥0，为真命题． 分离参数化简得：恒成立． 对∃，当且仅当x＝2时取得最小值4， 即a2﹣4a﹣1≤4， ∴a∈[﹣1，5]， ∴a的最大值为5． 故答案为：5． 【变式4】（2023秋•杜集区校级期中）已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”． （1）写出命题p的否定形式￢p； （2）若命题￢p是一个假命题，求实数a的取值范围． 【分析】（1）利用特称命题与全称命题的关系即可得出； （2）利用不等式恒成立，列出不等式组，即可求解a的范围． 【解答】解：（1）￢p：“∃x∈R，使得2ax2+ax+1≤0”； （2）命题￢p为假命题， 可得命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”为真命题． 即∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0恒成立． 当a＝0时，1＞0恒成立． 当a＞0时，，得0＜a＜8， ∴实数a的取值范围为[0，8）． 题型八 充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 判断充分条件或必要条件，可根据定义判断， 完成“是的______条件”题型， 从左到右，若则充分，若则不充分；从右到左，若则必要，若则不必要. 也可以用集合判断， 命题对应集合，若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 【典例1】（2024秋•广西校级期中）“a+b＜0”是“a＜0，b＜0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质、特例法，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【解答】解：因为a＜0，b＜0，所以a+b＜0，即由a＜0，b＜0⇒a+b＜0， 当a＝1，b＝﹣2时，显然a+b＜0成立，但是a＜0，b＜0不成立， 因此“a+b＜0”是“a＜0，b＜0”的必要而不充分条件． 故选：C． 【典例2】（2024秋•北辰区校级期中）设集合，集合B＝{x||x﹣2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】首先求出A和B表示的集合，进一步利用集合间的关系判断充分性和必要性． 【解答】解：集合，整理得：，即A＝{x|0≤x＜3}； 集合B＝{x||x﹣2|≤1}，整理得﹣1≤x﹣2≤1，故1≤x≤3，即B＝{x|1≤x≤3}； 故“m∈A”是“m∈B”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式1】（2022秋•龙岩期中）设x∈R，则“x≥1”是“x2﹣x≥0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法解x2﹣x≥0，结合充分条件和必要条件的定义即可求解． 【解答】解：由x2﹣x≥0，可得x≥1或x≤0， ∴“x≥1”是“x2﹣x≥0”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2】（2023秋•沙市区校级期中）命题“∀2≤x≤3，3x2﹣a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A．a≤13 B．a≤12 C．a≤8 D．a≤6 【答案】A 【分析】根据条件，将问题转化成3x2≥a在2≤x≤3上恒成立，从而得到a≤12，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果． 【解答】解：由“∀2≤x≤3，3x2﹣a≥0”为真命题，得3x2≥a对于2≤x≤3恒成立， 令y＝3x2，易知，2≤x≤3时，y≥12，所以，a≤12， 故“a≤13”是命题“∀2≤x≤3，3x2﹣a≥0”为真命题的一个必要不充分条件． 故选：A． 【变式3】（多选）（2024秋•兖州区期中）下列说法正确的是（　　） A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 【答案】BD 【分析】结合不等式性质检验选项A，C，D，结合集合交集运算检验选项B． 【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，有，但a＞b， 反之当a＝﹣2，b＝2时，a＜b，但，所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当A＝{1}，B＝{2}时，A∩B＝∅，但A≠∅， 当A＝∅时，A∩B＝∅，故B正确； 当ac2＞bc2时，可得a＞b， 反之，a＞b时，若c＝0，则ac2＝bc2， 所以两者不是充要条件，故C错误； 若a2+b2≠0⇔a，b不同时为0⇔|a|+|b|≠0，D正确． 故选：BD． 题型九 根据命题的充分必要条件求参数或其范围 解｜题｜技｜巧 根据题中给到的充分条件或必要条件求参数，主要还是利用集合解题 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【典例1】（2025春•化州市期中）已知p：m﹣2＜x＜m+1，q：x2﹣8x+12＜0，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．4＜m＜5 B．4≤m≤5 C．m＞5或m＜4 D．m＞5或m≤4 【分析】首先解一元二次不等式得到q，再根据p是q的充分不必要条件，得到p与q的推导关系，从而得到不等式组，解得即可． 【解答】解：由x2﹣8x+12＜0，得2＜x＜6， ∴p：m﹣2＜x＜m+1，q：2＜x＜6， 又p是q的充分不必要条件， 所以由p能推出q，而由q推不出p，∴，∴4≤m≤5． 故选：B． 【典例2】（2024秋•德州期中）已知集合． （1）当m＝1时，求A∩（∁RB）； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 【分析】（1）解不等式确定集合A，然后根据集合的运算法则计算； （2）由题意得出B⊆A，然后根据集合的包含关系，分类讨论求解． 【解答】解：（1）由可得，，解得﹣3≤x＜4， 所以A＝{x|﹣3≤x＜4}， m＝1，则B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|x＜1或x＞2}， 所以A∩（∁RB）＝{x|﹣3≤x＜1或2＜x＜4}． （2）由（1）A＝{x|﹣3≤x＜4}， 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A， 若B＝∅，则m﹣1＞m+1，即m＞2， 若B≠∅，则2m﹣1≤m+1，即m≤2， 要使B⊆A，则，得﹣1≤m≤2， 综上m的取值范围是{m|m≥﹣1}． 【变式1】（2024秋•城阳区校级期中）已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|﹣m+3≤x≤2m}，B不是空集，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．{m|m＜2} B．{m|m≤2} C．{m|1≤m＜2} D．{m|1≤m≤2} 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得． 【解答】解：已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|﹣m+3≤x≤2m}，B不是空集， 由x∈B是x∈A的充分不必要条件，得B是A的非空真子集， 则，解得，而当m＝2时，B＝A，当m＝1时，B＝{2}符合题意， 所以实数m的取值范围为1≤m＜2． 故选：C． 【变式2】（2024秋•江西期中）已知集合A＝{x|1⩽x⩽2}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a⩽0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，3） B．（2，6） C．[2，+∞） D．（2，+∞） 【分析】由题意得A⫋B，结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B， 因为A＝{x|1⩽x⩽2}，则必有a＞1， B＝{x|（x﹣1）（x﹣a）⩽0}＝{x|1⩽x⩽a}，所以a＞2． 故选：D． 【变式3】（2024秋•邵阳校级期中）已知命题“∃x∈R，方程x2+2x﹣m+6＝0有实根”是真命题． （1）求实数m的取值集合A； （2）已知集合B＝{x|2a﹣1≤x≤3a﹣1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意可得Δ≥0，运算求解即可； （2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，分B＝∅和B≠∅两种情况，结合包含关系列式求解． 【解答】（1）由题可知，命题“∃x∈R，方程x2+2x﹣m+6＝0有实根”是真命题， 则Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（6﹣m）≥0，则m≥5， 所以A＝{m|m≥5}． （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B⫋A， ①当B＝∅时，2a﹣1＞3a﹣1，即a＜0，满足题意； ②当B≠∅时，，即a≥3，满足题意； 综上所述：a的取值范围为（﹣∞，0）∪[3，+∞）． 题型十 充要条件的判断和证明 解｜题｜技｜巧 若要证明命题的充要条件是命题，需要证明其充分性和必要性； 以命题证明命题成立（必要性），同时也要以命题证明命题成立（充分性）。 从集合的角度来看，即证明两个集合相等。 【典例1】（2020秋•徐汇区校级期中）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是（　　） A．a＜0＜b B．b＜a＜0 C．a＞b＞0 D． 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：ab（a﹣b）＞0， ⇔a2b﹣ab2＞0， ⇔a2b＞ab2， ⇔， ⇔． 所以ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是，． 故选：D． 【典例2】 （2024秋•蒲城县校级月考）已知△ABC的三条边为a，b，c，求证：“△ABC是等边三角形”的充要条件是“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”． 【分析】利用因式分解结合等边三角形的定义及充要条件的定义证明即可． 【解答】解：先证必要性，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc， 则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， 根据（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0知， 当且仅当a＝b＝c时满足a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即满足必要性， 再证充分性，若△ABC为等边三角形，即a＝b＝c， 显然a2+b2+c2＝3a2，ab+ac+bc＝3a2， 即a2+b2+c2＝ab+ac+bc，满足充分性． 综上“△ABC是等边三角形”的充要条件是“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”． 【变式1】（2024秋•山西期中）已知a，b∈R，则“a2＞b2”是“a4＞b4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件， 【解答】解：当a2＞b2≥0时，两边同时平方可得，（a2）2＞（b2）2，即a4＞b4，充分性成立； 当a4＞b4≥0时，，即a2＞b2，必要性成立． 故选：C． 【变式2】（2024秋•广东期中）方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根的一个充要条件是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＜﹣1 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可． 【解答】解：由方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根知，，解得a＜0． 故选：A． 【变式3】（2023秋•明光市校级月考）求方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件． 【分析】结合二次方程根的分步求出m的范围，结合充要条件的定义即可求解． 【解答】解：若方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实数根， 则，解得． 故方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实数根的必要条件为． 反之，若，则﹣4＜﹣12m＜0，0＜4﹣12m＜4，即Δ＝4﹣12m＞0， ∴方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，设两根为x1，x2， 则，由m＞0得， ∴x1，x2同号，即充分性成立． 因此方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是{m|}． 题型十一 新定义问题 解｜题｜技｜巧 新定义问题，理解定义的本质是关键所在；若一下子很难理解到位，则可以通过一些特例进行消化，再试图把其特例的共性找到，从而找到新定义的本质。 【典例1】（2024•徐汇区校级期中）集合S＝{1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是　 　 ． 【分析】由S＝{1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【解答】解：∵S＝{1，2，3，4，5，6}， 其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是： 共有{1，2，5，6}，{2，3，5，6}，{3，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个 那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个． 故答案为6． 【典例2】（2024秋•六盘水期中）已知集合A＝{x1，x2，x3，⋯，xn}⊆N+，其中n∈N+且n≥3．若集合A满足：①x1＜x2＜x3＜⋯＜xn；②对于A中的任意两个元素xi，xj（i，j∈{1，2，3，⋯，n}），满足；则称集合A是关于实数K的“压缩集”．例如，集合A＝{2，3，4}是关于K＝12的“压缩集”，理由如下： ①2＜3＜4；②，，． （1）判断集合A＝{3，4，5}是否是关于K＝20的“压缩集”，并说明理由： （2）若集合A是关于K＝20的“压缩集”， （i）求证：，i∈{1，2，3，⋯，n}；（提示：） （ii）求A中元素个数的最大值． 【分析】（1）根据K＝20的“压缩集”定义判断即可； （2）设A＝{x1，x2，⋯，xi，⋯，xj，⋯，xn}⊆N+且x1＜x2＜⋯＜xi＜⋯＜xj＜⋯＜xn﹣1＜xn，则， （i）根据，结合即可证； （ii）根据（i）可得，所以xn﹣5＜4，即xn﹣5只可能是1、2、3，从而项数最多为8，再举例说明8可以取到，即可得答案． 【解答】解：（1）集合A＝{3，4，5}是关于K＝20的“压缩集”，理由如下： 由题意，对于A＝{3，4，5} 显然3＜4＜5， 又因为，，， 所以对于其中任意两个元素都有成立， 故A＝{3，4，5}是关于K＝20的“压缩集”； （2）设A＝{x1，x2，⋯，xi，⋯，xn﹣1，xn}⊆N+且x1＜x2＜⋯＜xi＜⋯＜xn﹣1＜xn， 所以， （i）证明：因为集合A是关于K＝20的“压缩集”， 所以A中的任意两个元素xi，xj（i＜j），满足， 所以，得证； （ii）由（i）可得，所以，即xn﹣5＜4，即比xn﹣4大的只可能是1、2、3，最多有3个， 即A中最多有8个元素，分别是xn、xn﹣1、xn﹣2、xn﹣3、xn﹣4、3、2、1， 考虑n＝8，可以发现A＝{1，2，3，4，5，7，11，25}是满足题意的，故最多有8个元素， 综上，A中元素个数的最大值为8． 【变式1】（2024•天门期中）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②﹣3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”． 其中，正确结论的是　 　 ． 【分析】对各个选项进行分析：①∵2011÷5＝402…1；②∵﹣3÷5＝﹣1…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案． 【解答】解：①∵2011÷5＝402…1，∴2011∈[1]，故①正确； ②∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误； ③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； ④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0， 反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确． 故答案为：①③④ 【变式2】（2024•吉林期中）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是　 　 ． 【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中有限个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案． 【解答】解：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； 而{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中有限个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ 因此②是集合X上的拓扑的集合τ； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； 而{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中有限个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ 因此④是集合X上的拓扑的集合τ； 故答案为②④． 【变式3】（2024秋•湖北期中）已知n为正整数，集合Mn＝{（x1，x2，⋯，xn）|x1∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α＝（a1，a2，⋯，an）和β＝（b1，b2，⋯，bn），定义： α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；d（α，β）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|an﹣bn|． （1）当n＝3时，设α＝（1，0，1），β＝（1，1，0），写出α﹣β，并计算d（α，β）； （2）若集合S满足S⊆M3，且∀α，β∈S，d（α，β）＝2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若α，β∈Mn，且d（α，β）＝k，任取γ∈Mn，求d（α﹣γ，β﹣γ）的值． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可； （3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可． 【解答】解：（1）由题意可知，α﹣β＝（0，1，1），所以d（α，β）＝0+1+1＝2； （2）最大值是4，理由如下： 此时S＝{（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）} 或S＝{（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）}， 若还有第5个元素，则必有（1，1，1），（0，0，0）和（0，1，0），（1，0，1）和（0，0，1），（1，1，0）和（1，0，0），（0，1，1）之一出现， 其对应的d（α，β）＝3，不符合题意； （3）设α＝（a1，a2，…，an），β＝（b1，b2，…，bn），γ＝（c1，c2，…，cn）， 所以ai，bi，ci∈{0，1}，|ai﹣bi|∈{0，1}，（i＝1，2，3，⋯n）， 从而α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）∈Mn， 又d（α﹣γ，β﹣γ）＝||a1﹣c1|﹣|b1﹣c1||+||a2﹣c2|﹣|b2﹣c2||+…+||an﹣cn|﹣|bn﹣cn||， 当ci＝0 时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|ai﹣bi|； 当ci＝1时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）|＝|ai﹣bi|， 所以d（α﹣γ，β﹣γ）＝d（α，β）， 所以d（α﹣γ，β﹣γ）＝k． 【变式4】（2023秋•密云区期末）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素ai（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； （Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）； （Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”； （Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”． ①证明：n为奇数； ②求集合A中元素个数的最小值． 【分析】（Ⅰ）根据定义直接判断即可得到结论； （Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，an}所有元素之和为M，由题可知，M﹣ai（i＝1，2，…，n） 均为偶数，因此ai（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．分类讨论M为奇数和 M为偶数的情况，分析可得集合A中元素个数n为奇数；②结合（Ⅰ）（Ⅱ）问，依次验证当n＝3时，当n＝5时，当n＝7时集合A是否为“可分集合”，从而证明结论． 【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”； （Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5， 若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②； 若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④． 由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾； 由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾． 因此当n＝5时，集合 一定不是“可分集合”； （Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，an}的所有元素之和为M． 由题可知，M﹣ai（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此ai（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数． 如果M为奇数，则ai（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+an，所以n为奇数． 如果M为偶数，则M﹣ai（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设ai＝2bi，则{b1，b2，…，bn}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数． 综上所述，集合A中元素个数为奇数． ②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”． 当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”． 当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为： 3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13， 1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11， 则集合A是“可分集合”． 所以集合A中元素个数n的最小值是7． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2024秋•海南期中）下列说法正确的是（　　） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程x2＝1的解构成的集合与{﹣1，1}相等 C．{（1，3）}＝{（3，1）} D．方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{a，1} 【答案】B 【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意a＝1的情况． 【解答】解：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，A错； 由x2＝1，可得x＝﹣1或x＝1，对应集合为{﹣1，1}，B对； （1，3），（3，1）表示不同的点，故集合不相等，C错； 方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{1}，不能写成{a，1}，D错． 故选：B． 2（2024秋•民勤县校级期中）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【答案】C 【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可． 【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 3（2024秋•漯河校级期中）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合M＝{0，1，5}，N＝{0，2，3，5}，则N∩（∁UM）＝（　　） A．{2，3} B．{1，4} C．{0，5} D．{0，2，3，4，5} 【答案】A 【分析】由集合的运算法则计算． 【解答】解：由全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合M＝{0，1，5}，N＝{0，2，3，5}， 可得∁UM＝{2，3，4}，则N∩（∁UM）＝{2，3}． 故选：A． 4（2025春•廊坊期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，若A∩B＝{x|3＜x＜5}，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由A∩B＝{x|3＜x＜5}，分析集合A，B的端点值，知2a﹣1＝3，求解即可． 【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，且A∩B＝{x|3＜x＜5}， ∴，解得a＝2． 故选：B． 5（2024秋•杨浦区校级期中）已知a＞0，b＞0，则“a+b＞2”是“ab＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项． 【解答】解：若a＝1.5，b＝0.6，满足a+b＞2，但ab＜1， 若a＞0，b＞0，ab＞1，则，即a+b＞2， 所以“a+b＞2”是“ab＞1”的必要不充分条件． 故选：B． 6（2024秋•花山区校级期中）已知集合A＝{x|x（x﹣2）＞3}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．[0，1] D． 【答案】B 【分析】将集合A化简，根据条件可得B⊆A，然后分m＝0，m＜0，m＞0讨论，化简集合B，列出不等式求解，即可得到结果． 【解答】解：由x（x﹣2）＞3，可得x2﹣2x﹣3＞0， 所以x＜﹣1或x＞3， 所以A＝{x|x＜﹣1或x＞3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A，且集合B＝{x|mx+1＜0}， 所以①当m＝0时，B＝∅，满足要求； ②当m＞0时，则，可得，解得0＜m≤1； ③当m＜0时，则，可得，解得， 综上可得m的取值范围是． 故选：B． 7（多选）（2024秋•宁远县校级期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅； （ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素． 那么用列举法表示集合A为（　　） A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4} 【答案】BC 【分析】结合题意，由集合A中元素的个数分类讨论，从而确定答案． 【解答】解：由题意，若集合A中有一个元素， 则集合B中有三个元素， 故3∉B，故3∈A， 故A＝{3}； 若集合A中有两个元素， 则集合B中有两个元素， 故2∉B，2∉A， 故不成立； 若集合A中有三个元素， 则集合B中有1个元素， 故3∉A，故3∈B， 故A＝{1，2，4}； 故选：BC． 8（多选）（2024秋•赛罕区校级期中）下列命题正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0” B．a+b＝0的充要条件是1 C．∀x∈R，x2＞0 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 【答案】AD 【分析】利用全称命题的否定判断A，利用举实例判断BC，利用充分条件的定义判断D． 【解答】解：A，∵∃x∈R，x2+x+1≥0的否定是∀x∈R，x2+x+1＜0，∴A正确， B，当a＝b＝0时，满足a+b＝0，但1不成立，∴B错误， C，当x＝0时，x2＝0，∴C错误， D，当a＞1，b＞1时，则ab＞1，∴充分性成立，∴D正确， 故选：AD． 9（2025春•吉林校级期中）设集合A＝{1，n，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若{1}⊆（A∩B）且B⊆A，则m+n＝ 　 　 ． 【答案】6 【分析】根据集合间的关系可知1∈B，可得m＝3，再由B⊆A求得n＝3，即可得解． 【解答】解：因为集合A＝{1，n，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}， 若{1}⊆（A∩B）， 则1∈A且1∈B， 可得1﹣4+m＝0， 解得m＝3， 所以B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}， 又因为B⊆A， 所以n＝3， 所以m+n＝6． 故答案为：6． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2024秋•锦江区校级期中）给定集合M，N，定义M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，若M＝{x|﹣2≤x≤2}，N，下列选项错误的是（　　） A．N＝{y|y≥1} B．M﹣N＝{x|﹣2≤x＜1} C．N﹣M＝{x|x≥2} D．N﹣（N﹣M）＝{x|1≤x≤2} 【答案】C 【分析】先利用基本不等式求出集合N，再根据新定义逐项判断即可． 【解答】解：对于集合N，因为x＞﹣1，则x+1＞0， 所以y＝x（x+1）11，当且仅当x+1，即x＝0时，等号成立， 所以集合N＝{y|y≥1}，故A正确， 又因为M＝{x|﹣2≤x≤2}， 所以M﹣N＝{x|﹣2≤x＜1}，N﹣M＝{x|x＞2}， 故B正确，C错误， 所以N﹣（N﹣M）＝{x|1≤x≤2}，故D正确． 故选：C． 2（2024秋•湖北校级期中）已知集合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，6） B． C． D．[，5）∪（5，）∪{4} 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合M含有4个元素，即不等式a≤x≤2a﹣1的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数a的取值范围． 【解答】解：若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素， 结合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，可知a＜2a﹣1，即a＞1，且区间[a，2a﹣1]中含有4个整数， ①当1＜a＜4时，[a，2a﹣1]的区间长度2a﹣1﹣a＝a﹣1＜3，此时[a，2a﹣1]中不可能含有4个整数； ②当a＝4时，[a，2a﹣1]＝[4，7]，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当a＞4时，[a，2a﹣1]的区间长度大于3， （i）若[a，2a﹣1]的区间长度a﹣1∈（3，4），即4＜a＜5． 若2a﹣1是整数，则区间[a，2a﹣1]中含有4个整数，根据2a﹣1∈（7，9），可知2a﹣1＝8，a， 此时[a，2a﹣1]＝[，8]，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若2a﹣1不是整数，则区间[a，2a﹣1]中含有5、6、7、8这4个整数，则必须4＜a＜5且8＜2a﹣1＜9，解得； （ii）若a＝5时，[a，2a﹣1]＝[5，9]，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； （iii）当a＞5时，[a，2a﹣1]的区间长度a﹣1＞4，此时[a，2a﹣1]中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故2a﹣1＜10，即a，结合a＞5可得． 综上所述，a＝4或a＜5或，即实数a的取值范围是[，5）∪（5，）∪{4}． 故选：D． 3（2024秋•南京期中）对于正整数集合M＝{a1，a2，a3，…，an}（n∈N，n≥2），如果对于M中的任意两个元素x，y，都有|x﹣y|＞2，那么称M是“聚优集”．若集合A⊆{1，2，3，…，2026}，且A是“聚优集”，则集合A所含元素个数的最大值为（　　） A．675 B．676 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】根据“聚优集”的定义可以得到A中的任意两个不同的元素x，y，若x＞y，都有x﹣y≥3，进而得到x﹣y的最小值为3，进而求解即可． 【解答】解：∵集合A⊆{1，2，3，…，2026}，且A是“聚优集”， ∴对于集合A中的任意两个不同的元素x，y，设x＞y，则x﹣y≥3， 要想D所含元素个数最大，则要x﹣y尽可能小， 故需使得x﹣y的最小值为3， 将1至2026个元素按如下分组： {1，2，3}，{4，5，6}，……，{2023，2024，2025}，{2026}， ∴应取A＝{1，4，7，…，2023，2026}，其中任意两个元素的差值x﹣y（x＞y）都大于2， 故其是“聚优集”， ∴“聚优集”A所含元素个数的最大值为676． 故选：B． 4（多选）（2024秋•蒲城县校级期中）定义集合A与B的运算：A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∪B）}，A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∩B）}．已知A＝（﹣1，4]，B＝[0，7），则（　　） A．A•B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞） B．A•B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞） C．A•（∁RB）＝[4，7] D．（∁RA）•B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞） 【答案】ABD 【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可． 【解答】解：集合A与B的运算：A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∪B）}，A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∩B）}． 由A＝（﹣1，4]，B＝[0，7）以及定义运算可知，A∪B＝（﹣1，7），所以A•B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞），A正确； 又A∩B＝[0，4]，所以A•B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞），B正确； 又∁RB＝（﹣∞，0）∪[7，+∞），则A∪（∁RB）＝（﹣∞，4]∪[7，+∞），所以A•（∁RB）＝（4，7），C错误； 又∁RA＝（﹣∞，﹣1]∪（4，+∞），则（∁RA）∩B＝（4，7）， 所以（∁RA）•B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞），D正确． 故选：ABD． 5（2024秋•泉州校级期中）已知集合A＝{x|x2+2024x+2025＝0}，B＝{x|（x2+ax）（x2+4ax+4）＝0}，记非空集合S中元素的个数为|S|，已知||A|﹣|B||＝1，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则|T|＝　 　 ． 【答案】3 【分析】先分析得|A|＝2，进而得到|B|＝1或|B|＝3，再分类讨论|B|的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于a的方程或不等式，从而得解． 【解答】解：对于x2+2024x+2025＝0，有Δ＝20242﹣4×2025＞0， 所以集合A＝{x|x2+2024x+2025＝0}中有两个元素，即|A|＝2， 因为||A|﹣|B||＝1，所以|B|＝1或|B|＝3， 对于（x2+ax）（x2+4ax+4）＝0，易知x＝0必是方程中的一解 当|B|＝1时，B＝{0}，所以x2+ax＝0有唯一解，且x2+4ax+4＝0无解 ，解得a＝0； 当|B|＝3时，若x2+ax＝0有唯一解，a＝0，则x2+4ax+4＝0无解，不满足题意； 若x2+ax＝0有两解，则x2+4ax+4＝0有唯一解， ，解得a＝﹣1或a＝1； 综上，实数a的所有可能取值为﹣1，0，1，则|T|＝3． 故答案为：3． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2023•甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅ 【答案】A 【分析】根据集合的基本运算，即可求解． 【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}， ∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集， ∴∁U（A∪B）＝{x|x＝3k，k∈Z}． 故选：A． 2（2024秋•海淀区校级期中）已知集合A＝{（s，t）||s|+|t|≤2，s∈Z，t∈Z}，若B⊆A，且对任意的（a，b）∈B，（c，d）∈B，均有ab+cd≤ad+bc，则B中元素个数的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据已知可得集合A，由ab+cd≤ad+bc可知a﹣c与b﹣d异号或其中至少有一个为0，通过列举可得集合B，即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{（s，t）||s|+|t|≤2，s∈Z，t∈Z}， 所以A＝{（﹣2，0），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，0）， （1，1），（1，﹣1），（2，0），（0，0），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1）}， 由ab+cd≤ad+bc，得（b﹣d）（a﹣c）≤0，所以a﹣c与b﹣d异号或其中至少有一个为0， 又B⊆A，（a，b）∈B，（c，d）∈B， 所以满足条件的集合B＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（0，﹣2），（0，2）}或 B＝{（0，0），（1，0），（﹣1，0），（﹣2，0），（2，0）}或 B＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣2），（﹣2，0），（0，﹣1）}或 B＝{（0，1），（1，0），（0，2），（2，0），（1，1）}， 所以集合B中元素个数的最大值为5． 故选：C． 3（2025春•北京校级期中）对任何非空有限数集S，我们定义其“绝对交错和”如下；设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为|a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1an|；当S＝{a}时；S的“绝对交错和”为|a|，若数集T＝{2，0，π，}，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（　　） A．8（2） B．8 C．8（π） D．8π 【答案】D 【分析】由题意集合T的非空子集和交错和的定义分析即可． 【解答】解：T＝{2，0，}， 若T中任意一个小于π的元素a出现在不含π的子集Tk中， 则a也一定出现在T的子集或Tk， 反之，如果不出现，则都不出现， 而a在T和Tk，的交错和中一个为a，一个为﹣a， 所以总和为0， 而含有π的特殊个数为23个， 所以所有非空子集的交错和为23×π＝8π， 故选：D． 4（2022秋•苏州期中）若将有限集合A的元素个数记为card（A），对于集合M＝{x|x2﹣（a+3）x+3a＜0，x∈Z}，N＝{x|x2﹣5x+4≤0，x∈Z}，下列说法正确的是（　　） A．若a＝1，则card（M∪N）+card（M∩N）＝4 B．若card（M∩N）＝1，则a≥4或a≤2 C．若card（M∪N）＝4，则0≤a≤5 D．存在实数a，使得card（M∩N）＝card（M）+card（N） 【答案】C 【分析】首先解一元二次不等式求出集合N，再对a分类讨论求出集合M，最后根据所给对于及集合的运算一一分析即可． 【解答】解：解x2﹣5x+4≤0得1≤x≤4， 所以N＝{x|x2﹣5x+4≤0，x∈Z}＝{1，2，3，4}， 对于A：当a＝1时x2﹣4x+3＜0，即（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜3， 所以M＝{x|x2﹣（a+3）x+3a＜0，x∈Z}＝M＝{x|1＜x＜3，x∈Z}＝{2}， 所以M∪N＝{1，2，3，4}，M∩N＝{2}，所以card（M∪N）+card（M∩N）＝5，故A错误； 由x2﹣（a+3）x+3a＜0，即（x﹣3）（x﹣a）＜0， 当a＞3时解得3＜x＜a，当a＝3时解得x∈∅，当a＜3时解得a＜x＜3， 即当a＞3时M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，当a＝3时M＝∅，当a＜3时M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}， 对于B：若card（M∩N）＝1， 若a＜3则M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}，则M＝{2}，此时1≤a＜2， 若a＞3则M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，则M＝{4}，此时a＞4，综上可得a＞4或1≤a＜2，故B错误； 对于C：若card（M∪N）＝4，当a＝3时显然满足，当a＞3时则，解得3＜a≤5， 当a＜3时则，解得0≤a＜3， 综上可得0≤a≤5，故C正确； 对于D：因为card（N）＝4，card（M∩N）≤card（N）＝4， 若card（M∩N）＝card（M）+card（N），则card（M∩N）＝4， 此时card（M）＝0，即M＝∅，则M∩N＝∅，与card（M∩N）＝4矛盾，故D错误； 故选：C． 5（2024秋•岳麓区校级期中）设a，b，c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论可能的是　 　 ①|S|＝1且|T|＝0 ②|S|＝1且|T|＝1 ③|S|＝2且|T|＝2 ④|S|＝2且|T|＝3． 【答案】①②③ 【分析】方程（x+a）（x2+bx+c）＝0的解的个数取决于Δ＝b2﹣4ac，至少有一个x＝﹣a；方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0的解的个数取决于a是否等于0及Δ＝b2﹣4ac，讨论举例． 【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0若有实数根，则方程cx2+bx+1＝0也有实数根，且相应的实数根互为倒数， 且若a≠0，则方程x+a＝0与方程ax+1＝0的根也互为倒数． 若a＝b＝c＝0，则满足|S|＝1且|T|＝0，故①正确； 若a＝1，b＝0，c＝1，则满足|S|＝1且|T|＝1，故②正确； 若a＝﹣1，b＝2，c＝1，则满足|S|＝2且|T|＝2，故③正确； 若|T|＝3．则方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有三个不同的实根，则他们的倒数也不同，故|S|＝3，则④错误． 故答案为①②③． 6（2024秋•浦东新区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0，x∈R}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）已知集合B有两个元素x1，x2，用实数a来表示|x1﹣x2|并指出a的取值范围； （3）设U＝R，已知∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由2∈B，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合B元素情况分类求解即可． 【解答】解：（1）由题意得A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， 因为A∩B＝{2}，所以2∈B， 所以22+4（a+1）+a2﹣5＝0， 即4+4a+4+a2﹣5＝0，化简得a2+4a+3＝0， 即（a+3）（a+1）＝0，解得a＝﹣3或a＝﹣1， 检验：当a＝﹣3时，B＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，满足A∩B＝{2}， 当a＝﹣1时，B＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，满足A∩B＝{2}， 所以a＝﹣3或a＝﹣1； （2）因为B集合中有两个元素x1，x2， 所以方程x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0有两个根， 所以Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＞0，即a＞﹣3， 且x1+x2＝﹣2（a+1），， 所以， 且a的取值范围为{a|a＞﹣3}； （3）因为A＝{1，2}，且， 当B＝∅时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＝8a+24＜0， 解得a＜﹣3，符合题意； 当B＝{1}时，则，无解； 当B＝{2}时，则，所以a＝﹣3； 当B＝{1，2}时，则，无解， 综上，a的范围为{a|a≤﹣3}． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的概念 能准确判断能组成集合的对象； 会利用集合的互异性作检验。 基础必考点，常出现在小题。 集合间的基本关系 能判断集合间的基本关系； 能利用集合间的基本关系求参数或其范围； 能判断集合的子集与真子集个数。 高频易错点，容易忽视。 集合的基本运算 能对离散型或连续性集合做基本的运算； 能根据venn图求集合的运算结果； 能根据集合的运算结果求参数或其范围。 基础必考点，常出现在小题和大题中。 命题的否定 能对全称命题或特称命题作否定。 基础必考点，常出现在小题 充分必要条件 能判断命题的充分必要条件； 能根据命题的充分必要条件求参数或其范围。 基础必考点，常出现在小题和大题中。 知识点01 集合的概念 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. ·示例：由于高个子没有一个明确的标准，某个村子里的高个子不能组成一个集合；若集合，就意味且；. ·易错点：注意集合的互异性。 知识点02 集合的表示方法 1列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ·示例：大于3小于10的奇数组成的集合。 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  ·示例： 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- ·易错点：看集合先看元素类型 知识点03集合间的基本关系 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  (感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有) 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  ·示例： 已知集合，，判断集合的关系． 解析 ，且，的可能取值为． ． 又，分别是． ．． 真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  ·示例： 若，则满足条件的集合的个数是(　　) A． B． C． D． 解析 ， 集合中除了含有两个元素以外，至少必须含有另外一个元素， 因此满足条件的集合为，，，，，，共个． 故选：． 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为.(这个跟高二的二项式定理有关) ·示例： 求集合的子集和真子集. 解析 集合的子集是，共个； 集合的子集是，共个； 知识点03 集合的基本运算 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． ·示例： 设集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 解析 ，集合 ，故选:. 2 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； ·示例： 设集合则实数＝　 　． 解析 因为，根据交集的运算推理得：是集合和集合的公共元素， 而集合中有，所以得到或(无解，舍去)，解得． 3 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； ·示例： 已知全集，集合，集合，求集合. 解析 ，，，则． 知识点04 全称量词与特称量词 ① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． ·示例： 对所有末位数是的数能被整除，. ② 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. ·示例： 至少有一个质数是偶数，. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. ·示例： 的否定是 ，并判断他们的真假性. 解析 . 是真命题，是假命题. 知识点05 充分条件与必要条件 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. ·示例： 是的____________条件， 解析 因为.故答案是不充分必要条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 题型一 集合的概念 解｜题｜技｜巧 所研究对象是否能够组成集合，主要看元素的三个特征：确定性、互异性和无序性。 易｜错｜点｜拨 集合中的元素要满足“互异性”，意味着集合中每个元素都会相等；在解题中，要注意用集合的互异性对集合进行检验。 【典例1】 （2024秋•贡井区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．1与{1}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示 【典例2】 （2024秋•延边州校级期中）若m∈{1，3，4，m2}，则m可能取值的集合为（　　） A．{0，1，4} B．{0，3，4} C．{﹣1，0，3，4} D．{0，1，3，4} 【变式1】（2024秋•天河区校级期中）下列各组对象可以构成集合的是（　　） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 【变式2】（2024秋•莎车县期中）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】（2023秋•官渡区校级期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（　　） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【变式4】（2023秋•榆阳区校级期中）若1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（　　） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1或2 D．0或2 题型二 集合的表示方法 解｜题｜技｜巧 1 集合的表示方法有自然语言、列举法、描述法； 2 集合的列举法，主要是把集合的元素一个个确定再写下来就可以，当元素有无限个，则可在后面省略号；若集合元素无法写下每个元素时，就不适合用列举法表示； 3 描述法整体的表示形式是，看描述法表示的集合首先要看它的元素类型，比如是数集还是点集，是数集的话，它表示的是满足“”后条件中什么字母；同时要看清楚元素要满足的所有条件； 4 在解题中遇到描述法表示的集合，能化简的尽量化简，能用列举法表示就用列举法表示。 【典例1】（多选）（2023秋•张家口期中）下列集合中，可以表示为{2，3}的是（　　） A．{x∈Z|2≤x≤3} B．{x|x2﹣5x+6＝0} C． D．不等式组的解集 【典例2】（多选）（2024秋•东海县校级月考）下列关于集合的命题中正确的是（　　） A．集合中有3个元素 B．集合B＝{x∈Z|}＝{﹣1，0，1，2} C．集合C＝{x|x＝3k+1，k∈Z}＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．集合为有限集 【变式1】（2024秋•闵行区校级期中）第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【变式2】（2024秋•芒市校级期中）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2024秋•长宁区校级期中）设A＝{（x，y）|1}，B＝{（x，y）|y＝4﹣x2}，若C＝{（x，y）|（x，y}∈B且（x，y）∉A}，试用列举法表示集合C＝　 　 ． 题型三 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 1 集合之间是包含的关系，用或，元素与集合之间是属于的关系，用; 2 要区别子集与真子集的概念，包含与，可以类比(它包含与)； 3 要证明，则根据子集定义，设，再证明就可以，但对于一般的小题，主要理解各个集合的特点便可以判断了； 4集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 易｜错｜点｜拨 若题中已知，一定要注意是否为空集，不确定则要分类讨论。 【典例1】（2024秋•湖北校级期中）集合M＝{x|x＝5k﹣2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}的关系是（　　） A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 【变式1】（2023春•岳阳期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．4 B．8 C．7 D．16 【变式2】（2024春•腾冲市校级期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的真子集的个数为（　　） A．6 B．8 C．3 D．7 【变式3】（2025春•北京校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5，⋯，2025}的子集B满足：对任意x，y∈B，有x+y∉B，则集合B中元素个数的最大值是（　　） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【变式4】（2024秋•宜宾期中）定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b﹣a，其中a、b∈R．已知集合，，且M、N都是集合{x|1≤x≤2}的子集． （1）求集合M∩N的“长度”最小值 （2）若，集合M∪N的“长度”大于，求n的取值范围． 题型四 根据集合间的基本关系求参数或其范围 易｜错｜点｜拨 1 若题中已知B⊆A，要注意集合B是否是空集，若不确定则要分类讨论； 2 题中遇到参数，往往都要分类讨论，则要思考好“分类讨论的标准是什么”，并且要作到不重不漏。 【典例1】（2024秋•叶县校级期中）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{x|x＜2} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x≤3} D．{x|2＜x≤3} 【典例2】（2023秋•礼泉县期中）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x∈R|1＜ax＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【变式1】（2024秋•雨花区校级期中）设集合，B＝{x|a＜x＜a+1}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1，1） C．[0，2] D．（﹣1，1] 【变式2】（2024春•鄞州区校级期中）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|a＜1} B．{a|a≤1} C．{a|a＜1或a≥0} D．{a|a＜0或0＜a＜1} 【变式3】（2023春•岳阳期中）集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|2x2﹣ax﹣1＜0}，M⊆N，则实数a的范围 A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣1，0） 【变式4】（多选）（2023秋•山东期中）已知集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，B＝{x|ax2﹣2ax﹣1＝0}，且B⊆A，则实数a可能的取值是（　　） A． B．0 C．﹣1 D． 题型五 集合的基本运算 解｜题｜技｜巧 1 要理解集合的基本运算及其对应符号，简单来说交集可用“公共”、并集用“全部”、补集用“剩下”去理解； 2 在进行集合运算时，要把集合进行化简到最简形式再运算，能用列举法表示的就用列举法； 3 若要根据venn图进行集合运算，可以先判断出venn图中表示的集合运算形式再求解，也可以把每个集合中的元素写在venn图上再确定答案； 4 集合的运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【典例1】（2025春•北仑区校级期中）已知集合A＝{x|x＝5n+1，n∈N}，B＝{y|0＜y＜21，y∈N}，则集合A∩B的子集的个数为（　　） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【典例2】（2023秋•玉溪校级期中）设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜x2﹣6}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．[﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，3] 【变式1】（2023秋•玉溪校级期中）设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜x2﹣6}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．[﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，3] 【变式2】（2024秋•敦煌市校级期中）已知集合M＝{x∈N|﹣1≤x≤4}，集合N＝{x∈R|x2∈M}，则∁M（M∩N）＝（　　） A．{3，4} B．{﹣1，3，4} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【变式3】（2024秋•朝阳区校级期中）如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x≤0} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x〈0或x〉4} 【变式4】（多选）（2024秋•福州期中）已知全集U＝{x|x＜10，x∈N}，A⊆U，B⊆U，A∩（∁UB）＝{1，5}，（∁UA）∩（∁UB）＝{3，7，9}，A∩B＝{4}，则下列选项正确的是（　　） A．8∉B B．{5}⊆A C．7∈∁U（A∪B） D．A的不同真子集个数为8 【变式5】（多选）（2024秋•长寿区校级期中）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A﹣B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列解答正确的是（　　） A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B﹣A＝{3，7，8} B．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|﹣2≤x＜4}，则A﹣B＝{x|x＜﹣2或x≥4} C．如果A⊆B，那么A﹣B＝∅ D．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则A﹣B＝A∩（∁UB） 题型六 根据集合的运算结果求参数或其范围 解｜题｜技｜巧 1 集合运算的性质：，，不要死记，可用venn图或集合运算的定义去理解； 2 根据集合的运算得到集合间的关系的话，则要注意集合A是否是空集； 3 若题中有较为复杂的集合运算，则可利用venn图辅助思考，或根据集合的运算律把运算先化简。 【典例1】（2024秋•端州区校级期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x﹣m＜0}． （1）若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩∁UB； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值集合； （3）若A∩B＝A，求实数m的取值集合． 【典例2】（2024秋•秦都区校级期中）设函数的定义域为集合A，已知集合B＝{x|3＜2x+1＜7}，C＝{x|x≥m}，全集为R． （I）求（∁RA）∩B； （II）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围． 【变式1】（2024秋•甘肃校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，且A∩B＝B，则实数a的取值集合是 　 　 ． 【变式2】（2024秋•信州区校级期中）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝3﹣x2，x∈R}，集合B是函数 y的定义域，集合C＝{x|5﹣a＜x＜a}． （1）求集合A、B （2）求集合A∪（∁UB）（结果用区间表示）； （3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围． 【变式3】（2024秋•浦东新区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0，x∈R}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）已知集合B有两个元素x1，x2，用实数a来表示|x1﹣x2|并指出a的取值范围； （3）设U＝R，已知∩B＝∅，求实数a的取值范围． 题型七 全称量词与存在量词 解｜题｜技｜巧 1 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 2 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 3 根据全称命题或特称命题的真假性求参数时，可以利用它们的真假性是相反。 【典例1】（2024秋•漳州期中）命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是（　　） A．∀x＞2，x2﹣1≤0 B．∀x≤2，x2﹣1＞0 C．∃x＞2，x2﹣1≤0 D．∃x≤2，x2﹣1≤0 【典例2】（2024秋•淄博期中）已知命题p：∃x∈R，（m+1）（x2+1）≤0，命题q：∀x∈R，x2﹣mx+1＞0恒成立，若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．（﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） 【变式1】（2023秋•榆林期中）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（　　） A．∀x∈R，x2+1＜0 B．∀x∈R，x2+1≤0 C．∃x∈R，x2+1≤0 D．∃x∈R，x2+1＜0 【变式2】（2024秋•广州校级期中）已知命题“∀x∈R，”是假命题，则实数a的取值范围为 　 　 ． 【变式3】（2024春•马山县校级期中）命题：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为真命题，则实数a的最大值为 　 　 ． 【变式4】（2023秋•杜集区校级期中）已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”． （1）写出命题p的否定形式￢p； （2）若命题￢p是一个假命题，求实数a的取值范围． 题型八 充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 判断充分条件或必要条件，可根据定义判断， 完成“是的______条件”题型， 从左到右，若则充分，若则不充分；从右到左，若则必要，若则不必要. 也可以用集合判断， 命题对应集合，若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 【典例1】（2024秋•广西校级期中）“a+b＜0”是“a＜0，b＜0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2024秋•北辰区校级期中）设集合，集合B＝{x||x﹣2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2022秋•龙岩期中）设x∈R，则“x≥1”是“x2﹣x≥0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2023秋•沙市区校级期中）命题“∀2≤x≤3，3x2﹣a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A．a≤13 B．a≤12 C．a≤8 D．a≤6 【变式3】（多选）（2024秋•兖州区期中）下列说法正确的是（　　） A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 题型九 根据命题的充分必要条件求参数或其范围 解｜题｜技｜巧 根据题中给到的充分条件或必要条件求参数，主要还是利用集合解题 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【典例1】（2025春•化州市期中）已知p：m﹣2＜x＜m+1，q：x2﹣8x+12＜0，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．4＜m＜5 B．4≤m≤5 C．m＞5或m＜4 D．m＞5或m≤4 【典例2】（2024秋•德州期中）已知集合． （1）当m＝1时，求A∩（∁RB）； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 【变式1】（2024秋•城阳区校级期中）已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|﹣m+3≤x≤2m}，B不是空集，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．{m|m＜2} B．{m|m≤2} C．{m|1≤m＜2} D．{m|1≤m≤2} 【变式2】（2024秋•江西期中）已知集合A＝{x|1⩽x⩽2}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a⩽0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，3） B．（2，6） C．[2，+∞） D．（2，+∞） 【变式3】（2024秋•邵阳校级期中）已知命题“∃x∈R，方程x2+2x﹣m+6＝0有实根”是真命题． （1）求实数m的取值集合A； （2）已知集合B＝{x|2a﹣1≤x≤3a﹣1}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 题型十 充要条件的判断和证明 解｜题｜技｜巧 若要证明命题的充要条件是命题，需要证明其充分性和必要性； 以命题证明命题成立（必要性），同时也要以命题证明命题成立（充分性）。 从集合的角度来看，即证明两个集合相等。 【典例1】（2020秋•徐汇区校级期中）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是（　　） A．a＜0＜b B．b＜a＜0 C．a＞b＞0 D． 【典例2】 （2024秋•蒲城县校级月考）已知△ABC的三条边为a，b，c，求证：“△ABC是等边三角形”的充要条件是“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”． 【变式1】（2024秋•山西期中）已知a，b∈R，则“a2＞b2”是“a4＞b4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（2024秋•广东期中）方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根的一个充要条件是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＜﹣1 【变式3】（2023秋•明光市校级月考）求方程mx2﹣2x+3＝0有两个同号且不相等的实数根的充要条件． 题型十一 新定义问题 解｜题｜技｜巧 新定义问题，理解定义的本质是关键所在；若一下子很难理解到位，则可以通过一些特例进行消化，再试图把其特例的共性找到，从而找到新定义的本质。 【典例1】（2024•徐汇区校级期中）集合S＝{1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是　 　 ． 【典例2】（2024秋•六盘水期中）已知集合A＝{x1，x2，x3，⋯，xn}⊆N+，其中n∈N+且n≥3．若集合A满足：①x1＜x2＜x3＜⋯＜xn；②对于A中的任意两个元素xi，xj（i，j∈{1，2，3，⋯，n}），满足；则称集合A是关于实数K的“压缩集”．例如，集合A＝{2，3，4}是关于K＝12的“压缩集”，理由如下： ①2＜3＜4；②，，． （1）判断集合A＝{3，4，5}是否是关于K＝20的“压缩集”，并说明理由： （2）若集合A是关于K＝20的“压缩集”， （i）求证：，i∈{1，2，3，⋯，n}；（提示：） （ii）求A中元素个数的最大值． 【变式1】（2024•天门期中）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②﹣3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”． 其中，正确结论的是　 　 ． 【变式2】（2024•吉林期中）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是　 　 ． 【变式3】（2024秋•湖北期中）已知n为正整数，集合Mn＝{（x1，x2，⋯，xn）|x1∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α＝（a1，a2，⋯，an）和β＝（b1，b2，⋯，bn），定义： α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；d（α，β）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|an﹣bn|． （1）当n＝3时，设α＝（1，0，1），β＝（1，1，0），写出α﹣β，并计算d（α，β）； （2）若集合S满足S⊆M3，且∀α，β∈S，d（α，β）＝2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若α，β∈Mn，且d（α，β）＝k，任取γ∈Mn，求d（α﹣γ，β﹣γ）的值． 【变式4】（2023秋•密云区期末）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素ai（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； （Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）； （Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”； （Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，an}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”． ①证明：n为奇数； ②求集合A中元素个数的最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2024秋•海南期中）下列说法正确的是（　　） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程x2＝1的解构成的集合与{﹣1，1}相等 C．{（1，3）}＝{（3，1）} D．方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{a，1} 2（2024秋•民勤县校级期中）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 3（2024秋•漯河校级期中）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合M＝{0，1，5}，N＝{0，2，3，5}，则N∩（∁UM）＝（　　） A．{2，3} B．{1，4} C．{0，5} D．{0，2，3，4，5} 4（2025春•廊坊期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜5}，B＝{x|2a﹣1＜x＜2a+6}，若A∩B＝{x|3＜x＜5}，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5（2024秋•杨浦区校级期中）已知a＞0，b＞0，则“a+b＞2”是“ab＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（2024秋•花山区校级期中）已知集合A＝{x|x（x﹣2）＞3}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．[0，1] D． 7（多选）（2024秋•宁远县校级期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅； （ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素． 那么用列举法表示集合A为（　　） A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4} 8（多选）（2024秋•赛罕区校级期中）下列命题正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0” B．a+b＝0的充要条件是1 C．∀x∈R，x2＞0 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 9（2025春•吉林校级期中）设集合A＝{1，n，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若{1}⊆（A∩B）且B⊆A，则m+n＝ 　 　 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1（2024秋•锦江区校级期中）给定集合M，N，定义M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，若M＝{x|﹣2≤x≤2}，N，下列选项错误的是（　　） A．N＝{y|y≥1} B．M﹣N＝{x|﹣2≤x＜1} C．N﹣M＝{x|x≥2} D．N﹣（N﹣M）＝{x|1≤x≤2} 2（2024秋•湖北校级期中）已知集合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，6） B． C． D．[，5）∪（5，）∪{4} 3（2024秋•南京期中）对于正整数集合M＝{a1，a2，a3，…，an}（n∈N，n≥2），如果对于M中的任意两个元素x，y，都有|x﹣y|＞2，那么称M是“聚优集”．若集合A⊆{1，2，3，…，2026}，且A是“聚优集”，则集合A所含元素个数的最大值为（　　） A．675 B．676 C．1012 D．1013 4（多选）（2024秋•蒲城县校级期中）定义集合A与B的运算：A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∪B）}，A•B＝{x|x∈R，且x∉（A∩B）}．已知A＝（﹣1，4]，B＝[0，7），则（　　） A．A•B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞） B．A•B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞） C．A•（∁RB）＝[4，7] D．（∁RA）•B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞） 5（2024秋•泉州校级期中）已知集合A＝{x|x2+2024x+2025＝0}，B＝{x|（x2+ax）（x2+4ax+4）＝0}，记非空集合S中元素的个数为|S|，已知||A|﹣|B||＝1，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则|T|＝　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1（2023•甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅ 2（2024秋•海淀区校级期中）已知集合A＝{（s，t）||s|+|t|≤2，s∈Z，t∈Z}，若B⊆A，且对任意的（a，b）∈B，（c，d）∈B，均有ab+cd≤ad+bc，则B中元素个数的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3（2025春•北京校级期中）对任何非空有限数集S，我们定义其“绝对交错和”如下；设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为|a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1an|；当S＝{a}时；S的“绝对交错和”为|a|，若数集T＝{2，0，π，}，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（　　） A．8（2） B．8 C．8（π） D．8π 4（2022秋•苏州期中）若将有限集合A的元素个数记为card（A），对于集合M＝{x|x2﹣（a+3）x+3a＜0，x∈Z}，N＝{x|x2﹣5x+4≤0，x∈Z}，下列说法正确的是（　　） A．若a＝1，则card（M∪N）+card（M∩N）＝4 B．若card（M∩N）＝1，则a≥4或a≤2 C．若card（M∪N）＝4，则0≤a≤5 D．存在实数a，使得card（M∩N）＝card（M）+card（N） 5（2024秋•岳麓区校级期中）设a，b，c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论可能的是　 　 ①|S|＝1且|T|＝0 ②|S|＝1且|T|＝1 ③|S|＝2且|T|＝2 ④|S|＝2且|T|＝3． 6（2024秋•浦东新区期中）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）＝0，x∈R}． （1）若A∩B＝{2}，求实数a的值； （2）已知集合B有两个元素x1，x2，用实数a来表示|x1﹣x2|并指出a的取值范围； （3）设U＝R，已知∩B＝∅，求实数a的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $