精品解析：四川省绵阳第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

四川省绵阳第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据子集的概念、交集和并集运算、补集运算分析选项是否成立. 【详解】对于A：集合，，不满足，则A错； 对于B：，则B错； 对于C：，则C正确； 对于D：，则D错. 故选：C. 2. 已知复数z满足：（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，依题意利用复数的乘方和复数相等的充要条件，列出方程，求解即得复数，从而可得其虚部. 【详解】设，则， 可得，解得或， 因z在复平面内对应的点位于第三象限，故， 即，故复数z的虚部为. 故选：C. 3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出,再代入公式即可. 【详解】因为，， 所以, 又因为 所以解得. 所以 所以. 故选：B. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A. B. ； C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误； 故选：B. 5. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围； 【详解】解：直线分别与轴，轴交于，两点， 令，得，令，得， ，，， 圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以 故选：A 6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，，， 由成等比数列，得，解得， 所以， 则， 则. 故选：D. 7. 已知，，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间，上，不等式恒成立，则实数　　 A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得，，求出的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到的最值． 【详解】解：，， ，又点在直线上， ，， ，，， 当，时，， 在，上单调递增， （1），在，上单调递增， 或， 的最大值为，无最小值， 故选：A． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 二、多选题：本大题共3小题，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无理数放缩进行大小比较即可. 【详解】利用是单调递增函数，可得，故A正确； 利用指数函数的单调性可知：， 利用幂函数的单调性可知：，所以，故B错误； 利用指数函数单调性可知：， 利用对数函数单调性可知：，所以，故C正确； 利用作商法， 因为，所以， 即，所以，故D正确； 故选：ACD 10. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，且，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 若平面与平面的交线为直线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理证明A，利用等体积法计算点到平面的距离，即可判断B，过点作交于点，连接，则即为二面角的平面角，即可判断C，根据线面平行的性质判断D. 【详解】对于A：因为平面，平面，所以， 又为矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B：平面，平面， 所以，，又， 所以，，， 所以，又， 设点到平面的距离为，则， 所以，即，解得，故B错误； 对于C：在平面中过点作交于点，连接， 因为平面，由三垂线定理，可得即为二面角的平面角， 又，所以， 所以，即二面角的正切值为，故C正确； 因为，平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为直线，平面，所以，故D正确； 故选：ACD 11. 已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. 当P为C与的交点时， D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D. 【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为， 将点代入得，所以双曲线方程为， 得其离心率为，故A正确； B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图， ，所以，得，故B错误； C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知， ，解得， 又，在中，由余弦定理得，故C正确； D：设，则， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若正数，满足，则的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】“1” 根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值. 【详解】∵正数，满足， ∴，当且仅当也即当时取“”． 故答案为：16. 13. 直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小值，从而可求出的值 【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：， 所以则的最小值为：， 此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得． 故答案为：． 14. 已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得当为奇数和为偶数时，数列的通项公式，再用分组求和法求得数列前项的和. 【详解】当是奇数时，，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，，，所以，，，…，，…是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以，即 . 【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式与求和公式，考查化归与转化的数学思想.属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算即可得； （2）由题意可得，再利用范围结合同角三角函数基本关系计算即可得. 【小问1详解】 由题意得 ， 而，故的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 由，得， 从而． 16. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，极小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【小问1详解】 ，由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． （1）若，求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， ． 18. 已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率． （1）若． （ⅰ）求的渐近线方程； （ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：； （2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）证明：设直线AB的方程为， 由消元得：且， 故，故， 所以故， 又直线的方程为， 所以，同理， 所以 ， 故． （2）是，定值为 【解析】 【分析】（1）根据离心率可求，故可得（ⅰ）中方程；设直线AB的方程为，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理化简后可得它们相等. （2）设，求出切点弦的方程后再求出切点弦与渐近线的交点后可求得面积为定值. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意得，所以， 解得，又，所以． 故双曲线的渐近线方程为； （ⅱ）略 【小问2详解】 设两个切点为，由题意知斜率存在， 直线方程为， 联立，故， 由可得， 整理得到：， 故，故，所以， 同理直线方程为， 由过P点可得可得直线的方程为， 不妨设直线与x轴交于点，与两条渐近线的交点分别为，， 由可得；同理 则围成三角形的面积为： ， 因P在双曲线上，，则为定值． 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中 （1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）是“”数列， 理由如下：时，由，可得， 两式作差可得即， 则，两式作差可得，即， 由，可得，则， 则对任意成立，则为首项是，公比为3的等比软列， 则为数列； （3）存在，，理由如下： 由是数列，可得是公比为2的等比数列， 即，则， 由，可得，则， 则， 则，若正整数满足，则， 由，则，则， 若，则，不满足， 若，则，则，即， 则，则正整数，则； 因此存在满足条件的. 【解析】 【分析】（1）计算，故是公比为1的等比数列，计算得到答案. （2）是“”数列，化简得到，即，得到证明. （3）是公比为2的等比数列，，利用累加法得到，得到，计算得到答案. 【详解】（1）由题意可得， 由数列为“数列”可得，即， 则是公比为1的等比数列，即， 则是首项为1，公差为3的等差数列，； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了数列的新定义，累加法求通项公式，解数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用和理解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足：（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z的虚部为（ ） A. 2i B. 3 C. D. 3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A. B. ； C. D. . 5. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间，上，不等式恒成立，则实数　　 A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，且，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 若平面与平面的交线为直线，则 11. 已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. 当P为C与的交点时， D. 的最小值为1 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若正数，满足，则的最小值为______． 13. 直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________． 14. 已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 16. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． （1）若，求的值； （2）求线段的长． 18. 已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率． （1）若． （ⅰ）求的渐近线方程； （ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：； （2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由． 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中 （1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $