重难点专训08 洛必达法则在导数中的应用（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训08 洛必达法则在导数中的应用 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：洛必达法则的简单计算 2 题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题 3 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 7 一、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 二、洛必达法则的适用情况 高中阶段求解参数取值范围时，常会用到 “参数分离” 的方法。但分离后有时会遇到特殊情况：分子与分母的比值，可能是两个无穷小量的比、两个无穷大量的比，也可能是两个无限趋近于零的数的比。这类比值的结果不确定 —— 既可能是一个固定的数值，也可能不存在（即极限无意义）。如果想算出这类比值的具体结果，就需要用到 “洛必达法则” 这一工具。 三、洛必达法则的三个法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； (3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； (3)，则：=. 四、型、型、型、型、型的处理 1、型的转化： 或； 2、型的转化： 3、型、型、型的转化：幂指函数类 题型一：洛必达法则的简单计算 典例1-1．计算极限． 典例1-2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 变式1-1． ． 变式1-2．计算极限． 变式1-3．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 变式1-4．定义．那么在上的取值范围是 ． 题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题 典例2-1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 典例2-2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 变式2-1．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 变式2-2．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 变式2-3．已知函数．当时，求的取值范围． 变式2-4．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 巩固过关 1．我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（    ） A． B． C．1 D．2 3．，恒成立，求的取值范围 4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则 该法则表述为：“设函数，满足下列条件： ①，； ②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数； ③，其中A是某固定实数； 则.” 那么，假设有函数，. (1)若恒成立，求t的取值范围； 5．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； 6．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 7．恒成立,求的取值范围 创新提升 1．已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 2．“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． 指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； 3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训08 洛必达法则在导数中的应用 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：洛必达法则的简单计算 2 题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题 5 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 15 一、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 二、洛必达法则的适用情况 高中阶段求解参数取值范围时，常会用到 “参数分离” 的方法。但分离后有时会遇到特殊情况：分子与分母的比值，可能是两个无穷小量的比、两个无穷大量的比，也可能是两个无限趋近于零的数的比。这类比值的结果不确定 —— 既可能是一个固定的数值，也可能不存在（即极限无意义）。如果想算出这类比值的具体结果，就需要用到 “洛必达法则” 这一工具。 三、洛必达法则的三个法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； (3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； (3)，则：=. 四、型、型、型、型、型的处理 1、型的转化： 或； 2、型的转化： 3、型、型、型的转化：幂指函数类 题型一：洛必达法则的简单计算 典例1-1．计算极限． 【答案】 【详解】解：因为问题是型未定式， 连续n次施行洛必达法则，有． 典例1-2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 变式1-1． ． 【答案】1 【详解】． 故答案为：1. 变式1-2．计算极限． 【答案】 【详解】由洛必达法则知，． 变式1-3．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3)1 【详解】（1）令，则 由洛必达法则可得， 则 （2）令， 则 由洛必达法则可得，. 继续用洛必达法则可得，. 则=0 （3） 又时，， 则 由洛必达法则可得， ． 则 变式1-4．定义．那么在上的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得， 构造函数， 则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即，所以， 所以在单调递减， 因为，时，， 所以. 故答案为：. 题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题 典例2-1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 典例2-2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式2-1．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 变式2-2．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 变式2-3．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 变式2-4．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 巩固过关 1．我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 故选：B 2．（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3．，恒成立，求的取值范围 【答案】 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则 该法则表述为：“设函数，满足下列条件： ①，； ②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数； ③，其中A是某固定实数； 则.” 那么，假设有函数，. (1)若恒成立，求t的取值范围； 【答案】(1) 【详解】（1）若恒成立，即恒成立， 当时，，成立， 当时，，令， ，令， ， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 所以当时，，即单调递增， 由洛必达法则知：， 所以当时，，所以, 同理，当时，可得，所以 综上所述：t的取值范围为. 5．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，，成立.当时，由可得， 令， ， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. 所以在上单调递减，. 由洛必达法则：， . 6．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 7．恒成立,求的取值范围 【答案】 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 创新提升 1．已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当且仅当时取等号，理由见解析 (3)能， 【详解】（1）依题意得：， 所以是等差数列， 首项，公差， 所以，从而； （2）由（1）得， 构造函数，则 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，即， 累加即得，当且仅当时取等号； （3），， 不妨设，令， 则，， 令，由，得，在上单调递增， 由洛必达法则得，从而，所以． 2．“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． 指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)，的取值范围是；【详解】（1）证明：时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 所以时曲线在点处的切线与曲线也相切． （2）． 由，得， 令，则与的零点相同，与的零点相同， 又， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增；时，单调递减， 所以和在上都是增函数，在上都是减函数， 所以时，时，， 因为有两个零点，即有两个零点， 所以，且解得． 当时，， 又时， 根据洛必达法则可知，时， 所以时， 所以时，在区间和上各有一个零点，所以， 因此，若函数各有两个零点，的取值范围是． 3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 【答案】(1)①1；② (2)是，证明见解析 【详解】（1）①根据洛必达法则，； ②设，两边同时取对数得，， 设，， ∴，∴ （2）∵，， ∴，，， ∴ ∴，均有， ∴是区间上的2阶无穷递降函数. 方法一： 以上同理可得， 由①，得 ∴，. 方法二： 设，， 则 设，，则 ∴在上单调递增，又，∴在上恒成立， ∴∴在上单调递增，∵， ∴在上但成立，∴， ∴在上单调递增， 又 ∴，. 【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数，根据洛必达法则求出，得解； 第2小题，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可. 4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)证明见详解. 【详解】（1）记， 因为， 所以在区间不恒成立， 所以，不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）记，则， 因为， 所以，所以. （3）因为，所以， 所以， 即对任意，均有， 所以， 因为， 所以 ， 所以，时，. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点： （1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点； （2）利用好定义所给的表达式及相关条件； （3）含有参数时要注意分类讨论. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $