专题05 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 23 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 例2（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E．    (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　． (2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【详解】（1）∵平分，，，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G．∴, ∵为的角平分线， ∴，∴，∴， ∴，∴．    例3（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到于时，如图①所示，试证明． (2)当绕点旋转到和不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②成立，理由见解析，图③不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：如图①中，当绕点旋转到于时，有， 又，四边形是矩形， ∵为边的中点，∴，∵中，，，∴， ∵，，， ∴，∴，∴四边形是正方形， ∵，，∴，∴， 设的直角边长，则正方形的边长为， ，正方形的面积 即； （2）①上述结论成立；理由如下：连接，如图②所示：，，为中点， ，，，，，， 又，， 在和中，，， ； ②图③不成立；；理由如下：连接，如图③所示： 与①同理得：，，∴， ， ．、、的关系是：． 例4（24-25八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴∴是等腰直角三角形， ∴∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴∴ 即 ∴ 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 【答案】(1)不变(2)①，；②；；(3)(4)证明见详解 【详解】（1）解：根据题意可知，当绕着点D运动时，线段与的数量关系不发生改变； （2）解：①，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，， 为等边三角形，故， ②解：连接，，，点为边的中点， 即为的角平分线，，， ，， ，； （3）观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论； （4）解：法一：过点作，，垂足分别为，， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 法二：在上截取，点为边的中点，，，， ，，， 在四边形中，，， 则，，，又， 例2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ，平分，， ，，， ，，， ，，，即， 又，，，， ， ，平分，，，，． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分，， ，是等边三角形，，，， ，，，， ，，又，，， ，，． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H，， 平分，，，，． ，，， ，，，即， 又，，，， ， ，平分，，，，． 方法二：如图4，在上截取，连接．，平分，， ，是等边三角形，，， ，，，即， ，，， 又，，，， ，． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形，，， 点C与点D关于直线对称，是线段的垂直平分线， ，，，， ，，． 在上取点M使，连接，，是等边三角形， ，，，即， ，，，． ②，．如图6，连接， 点C与点D关于直线对称，是线段的垂直平分线， ，，， ，， ，． 在上截取，连接，，是等边三角形， ，，，，， ，． 例3（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴，即． ∵点D是的中点，∴，∴，∴； （2）①如图，过点D作．    ∵，∴， ∴，即．∵是等边三角形，点D是中点， ∴，∴是等边三角形，∴，． 在和中，∴，∴； ②∵，∴．∵， 又∵，∴， ∴之间的数量关系为． 例4（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析 【详解】解∶ （1）是的角平分线， ， ，， 在中， 设， 则， 由勾股定理得 同理：    （2）（1）中结论仍然成立，理由∶如图2， 过点 C作于 F，于 G， ∴，∵，∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴，∴， ∴， ，∴， (3)结论为∶ 理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴， ∴，∴， ， ∴，    模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：如图，作于E，于F．则， 又点P为定角的平分线上的一个定点，， 与互补，， ，又，， 在和中，，，，故（1）正确； ，，， 的值不变；故（2）正确； ，四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的，的长改变，故（4）错误；综上可知，正确的个数是3个，故选B． 例2（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 例3（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析． 【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°， ∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB． （3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE． 例4（24-25·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，，∴，∵，∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理可得， ∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴． 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ，， ∵为等边三角形，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于，于，∴， ∴，∴，故①正确； ②如图：作交于，则，， ∴为等边三角形，，∴，，∴； 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ③如图，作于，∵，∴设，则，∴， 由②可得：，∴，∴，∴， ∴，∴， 由②可得：，∴，∵，∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵，∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴，∴， ∵，∴，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】过点作于点，于点 ∵平分，∴，∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵，∴∴， ∴∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得：∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得：∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 3.（24-25·福建·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，，，， ，， 平分，，，， 在和中，， ，， 在和中，，， ，故①正确，，定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：过点作于点， 于点， 如图所示： ∵点是的平分线上的一点，∴， ∵， ，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是等边三角形；故①正确； ，，即， ∵点是的平分线上的一个定点，∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故②正确； 如图，当时，点O与点F重合，， ，，∴一定与不平行， 故③错误．故选： C． 5．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵等边，∴，如图，作交于点， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵为的中点，∴，∵，， ∴，∵， ∴，∴，∵，，∴，， ∴，∴，故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【详解】解：过点作，垂足为点．∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，且，∴，∴， ∵，∴故①错误， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∵∴，∵，∴，故③正确， ∵，∴， ∴．故④正确．故答案为3． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图，作轴于，则， ，，， 在和中，，， ，，，点的坐标为； （2），理由如下：如图（2）作轴于，轴于， ∵是第一象限角的平分线，且轴于，轴于， ∴， ，，， 在和中，，，； （3），理由如下：如图，作轴于，轴于， 由（2）可得，，，，． 8.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)结论正确，证明见解析(3)结论：OE=2OD．证明见解析 【详解】（1）证明：如图1中， 在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD=∠POE． （2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K． ∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK， ∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°， 在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH=PK， 在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD=PE． （3）解：结论：OE=2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT， 在△POD和△POT中，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP=∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°， ∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°， ∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE， ∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足．(1)如图1，若为轴上一点，连接，且于点交于点，求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，求证：平分； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)不改变；1 【详解】（1）解：如图1，，，， 则． 即，，． 在与中，； （2）证明：过分别作于点，作于点，如图2． 在四边形中，，． ∵，∴； 在与中，，． ，平分； （3）解：的值不发生改变，等于1． 理由如下：连接，如图3． 为的中点，， ，． 即，． 在与中，，， ． 10．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)＝(2)，理由见解析(3)(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC， ∵PE⊥OA，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90° ∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP 又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=； （2）解：PE=PF，理由如下：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∵PM⊥OA，PN⊥OB，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°， 与（1）同理可证PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF； （3）解：GE2+FH2=EF2，理由如下：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH， ∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），∴GE=OF， 同理可证明△EPO≌△FPH，∴FH=OE， 在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2； （4）解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H． 在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°， ∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF． 11．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析  （2），理由见解析 【详解】（1）. 证明：如图，过点 作于，于.故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵ ，∴ . ∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2），理由：如图，过点作于，于，故 ∵平分，∴， 在和中， ，∴，∴ ， ∵，∴， ∵ ，∴， 在和中， ，∴，∴． 12．（24-25八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】（2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或 【详解】解：（1）如图1，∵，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故答案为：； （2）．理由是：取中点G，连接，如图2 ∵点G是斜边中点，∴， ∵，，点D为的中点， ∴，∴，即， 又∵，∴， ∵，，∴为等边三角形， ∴，，∴，∴， ∴，∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时，，此时F在的延长线上， 同（2）可得：，∴， ∵，，∴， 当点E在延长线上时，如图4，同理可得：； 综上：的长为或． 13.（24-25八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 【答案】8;(1)上述结论成立;(2)①见详解;②上述结论不成立，. 【详解】解：∵，∴，在中，，，∴ ， ∵点是的平分线上的点，∴，同理，，∴，故答案为8； （1）上述结论成立. 理由：如图2，       过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （2）①补全图形如图3. ②上述结论不成立，. 理由：过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴. 14．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． (1)当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） (2)当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） (3)当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析(2)（1）中的关系仍成立，理由见解析 (3)（1）中的关系不成立，应为，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴，同理：，∴； （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作于F，于G， ∴，∵，∴， 同（1）的方法得，，∴， ∵，且点C是的平分线上一点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）（1）中结论不成立，结论为：， 理由：过点C作于F，于G， ∴，∵，∴， 同（1）的方法得，，∴， ∵，且点C是的平分线上一点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 15．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，将绕点D旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图3，连接，请直接写出、、之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，详见解析(2)将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，详见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下：连接，如图： ，，，即， ，为中点，是的平分线， ，，角平分线上的点到两边的距离相等；故答案为：； （2）将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下： 过作于，于，如图： 同（1）可得，，， ，即， ，∴，；. （3）解：过作于，于，连接，如图： ∴四边形是矩形， 由（1）可得，∴四边形是正方形，∴， ∵是的中点，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，，∴，又由（2）可得∴， ∴，， 在中，， ∴． 16．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 【答案】（1）成立，见解析；（2）图③的结论不成立.图③的结论为BM-CN = BD. 【详解】(1)证明:图②的结论成立，为BM +CN = BD.理由如下：如图，过点D作DE//AC交AB于点E. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°. ∵DE//AC，∴∠BED=∠BDE =∠A=∠C=∠B= 60°， ∴△BDE是等边三角形，∴∠EDC = 120°.∴∠EDN +∠NDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠EDN十∠MDE = 120°，∴∠NDC=∠MDE. ∵D是BC的中点，∴BD = DC，∴BD=DE = DC. ∵∠BED=∠C =60°∴△DME≌△DNC.∴ME = NC，∴BM十ME= BE，∴BM十CN= BD. (2)解:图③的结论不成立.正确结论为BM-CN = BD.理由如下：如图，过点D作DF//AC交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∴DF//AC， ∴∠BFD=∠BDF=∠A=∠ACB =∠B = 60°.,∴△BDF是等边三角形， ∴∠FDC =∠MFD=∠DCN=120°，∴∠FDM +∠MDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠MDC十∠NDC = 120°,∴∠NDC=∠FDM. ∵D是BC的中点，∴BD = DC,∴BD=DF = DC. ∵∠MFD=∠DCN=120°,∴△DMF≌△DNC,∴MF = NC,∴BM-MF =BF ,∴BM-CN =BD . 17．（24-25辽宁九年级期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 【详解】解：图②中OD＋OE＝OC成立． 证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q 有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ， 又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC． 图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB， ∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE， ∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK=OC，∴OD，OE，OC满足OE-OD=OC． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 7 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 18 23 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 例2（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E．    (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　． (2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想． 例3（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知中，，，为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到于时，如图①所示，试证明． (2)当绕点旋转到和不垂直时，如图②图③所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明，与之间的数量关系，并证明． 例4（24-25八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F． (1)提出问题：当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； ②当时，如图所示，此时________，线段与之间的数量关系：______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论________ (4)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡一题多解，有三位同学给出了思路，请结合以下思路或者其他思路写出证明过程．（注：使用两种及以上方法正确证明得全分） 思路1：要证明数量关系，可以通过证明三角形全等来实现，如果没有全等可以构造全等三角形，可以是角平分线、中线、高线等； 思路2：由于，联想通常在等边三角形出现，考虑在内部构造等边三角形； 思路3：由于有条件，，出现边角重合，考虑可以通过构造折叠图形来证明全等． 例2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 例3（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由．   例4（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 例3（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 例4（24-25·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25·福建·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在等边中，，为的中点，，交线段于点，交的延长线于点．若，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 8.（24-25七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足．(1)如图1，若为轴上一点，连接，且于点交于点，求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，求证：平分； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 10．（24-25八年级下·四川达州·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． (1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”） (2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由． 【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______． 【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 11．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由． 12．（24-25八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】（2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 13.（24-25八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 14．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． (1)当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） (2)当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） (3)当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 15．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，将绕点D旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图3，连接，请直接写出、、之间的数量关系，不必证明． 16．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 17．（24-25辽宁九年级期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $