专题03 整式的加减 七类题型（专项训练）数学青岛版2024七年级上册

专题03 整式的加减（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式的加减运算（常考点） 1 题型二、整式的加减中的化简求值（重点） 1 题型三、整式加减中的无关型问题（难点） 2 题型四、整式的加减的应用 2 题型五、带有字母的绝对值化简问题 3 题型六、数字类规律探索 3 题型七、图形类规律探索 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、整式的加减运算 1．化简： 2．化简=（　　） A．x B． C． D． 3．计算： ． 4．化简： (1)； (2)． 5．求整式与的差． 题型二、整式的加减中的化简求值 6．合并同类项，并求代数式的值：，其中． 7．先化简，再求值：，其中，． 8．先化简，再求值： ，其中，． 9．先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值： 的值，其中x、y满足． 题型三、整式加减中的无关型问题 11．要使关于x的多项式化简后不含x的二次项，则m的值是（   ）． A． B．4 C． D．6 12．若化简的结果与的取值无关，则值为 ． 13．已知 ， 且无论x，y为何值时，的值始终不变． (1)分别求a、b的值； (2)求的值． 14．先化简再求值，试求的值，已知多项式的值与x无关． 15．若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值． 题型四、整式的加减的应用 16．某商店有一种商品每件成本a元，按成本增加b元定出售价，销售件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售件． (1)该商店销售件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 17．x表示一个两位数，y表示一个三位数，若把x放在y的左边组成一个五位数，记为A，把y放在x的左边组成一个五位数记为B． (1)用含x、y的式子表示； (2)是9的倍数吗？为什么？ 18．已知：甲的年龄为m岁，乙的年龄比甲的年龄的3倍少7岁，丙的年龄比乙的年龄还多3岁，求甲、乙、丙三人年龄之和． 19．某中学合唱团出场时第一排站了名同学，从第二排起每排都比前一排多1人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名同学参加演唱？ 20．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 题型五、带有字母的绝对值化简问题 21．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 22．有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 23．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 24．已知、、的位置如图：则化简 ． 25．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简． 题型六、数字类规律探索 26．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：    请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 27．（找规律）找规律，填数．1，3，2，6，4，9，8， ， ，， ，，··· 28．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为第2025次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 29．【阅读材料】 观察下列式子：①；②；③；④，根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（  ）×（  ）； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． 30．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 题型七、图形类规律探索 31．烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 32．观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 33．如下图，第1个图形需要8根小棒，第2个图形需要15根小棒，第3个图形需要22根小棒．如果依次摆下去，第10个图形需要（    ）根小棒． A．63 B．71 C．80 D．81 34．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖有规律地拼成若干个图案（如下图），那么，第6个图案中有白色地板砖( )块，第n个图案中有白色地板砖( )块． 35．将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为 颗． 1．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 2．（2025·重庆·三模）已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·广东广州·三模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ． 4．（2025·湖北·二模）设，，则 ． 5．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 6．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 7．（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 8．（2025·河北邯郸·一模）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 9．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 10．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式的加减运算（常考点） 1 题型二、整式的加减中的化简求值（重点） 2 题型三、整式加减中的无关型问题（难点） 3 题型四、整式的加减的应用 5 题型五、带有字母的绝对值化简问题 7 题型六、数字类规律探索 8 题型七、图形类规律探索 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、整式的加减运算 1．化简： 【答案】 【解析】解： ．　 2．化简=（　　） A．x B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 故选A． 3．计算： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 5．求整式与的差． 【答案】 【解析】解：原式． 题型二、整式的加减中的化简求值 6．合并同类项，并求代数式的值：，其中． 【答案】，2 【解析】解： ， 当时， 原式 ． 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】解： 原式． 8．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【解析】解： ， 当，时，原式 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】解： ， 当时， 原式． 10．先化简，再求值： 的值，其中x、y满足． 【答案】，1 【解析】解：原式， ∵， ∴， 则原式． 题型三、整式加减中的无关型问题 11．要使关于x的多项式化简后不含x的二次项，则m的值是（   ）． A． B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】解： ， ∵关于x的多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故选：A． 12．若化简的结果与的取值无关，则值为 ． 【答案】 【解析】解： ， ∵结果与的取值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知 ， 且无论x，y为何值时，的值始终不变． (1)分别求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)4 【解析】（1）解： ， ∵的值始终不变， ∴，， ∴，； （2）解：． 14．先化简再求值，试求的值，已知多项式的值与x无关． 【答案】， 【解析】 ∵多项式的值与x无关， ∴， ∴ ∴原式 ． 15．若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值． 【答案】 【解析】 ， ∵多项式的值与字母x无关， ∴，， ，， 把，代入原式． 题型四、整式的加减的应用 16．某商店有一种商品每件成本a元，按成本增加b元定出售价，销售件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售件． (1)该商店销售件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 【答案】(1)该商店销售件这种商品的总售价为（元）； (2)销售件这种商品共盈利（元）． 【解析】（1）解：根据题意得：（元）， ∴该商店销售件这种商品的总售价为（元）； （2）根据题意得： （元）， ∴销售件这种商品共盈利（元）． 17．x表示一个两位数，y表示一个三位数，若把x放在y的左边组成一个五位数，记为A，把y放在x的左边组成一个五位数记为B． (1)用含x、y的式子表示； (2)是9的倍数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是9的倍数．理由见解析 【解析】（1）解：由题意得，， ； （2）解：是9的倍数． 因为， 所以是9的倍数． 18．已知：甲的年龄为m岁，乙的年龄比甲的年龄的3倍少7岁，丙的年龄比乙的年龄还多3岁，求甲、乙、丙三人年龄之和． 【答案】岁 【解析】解：由题意得，乙的年龄为岁，丙的年龄为岁， 甲、乙、丙年龄之和（岁）． 19．某中学合唱团出场时第一排站了名同学，从第二排起每排都比前一排多1人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名同学参加演唱？ 【答案】该合唱团一共有（）名同学参加演唱 【解析】解：第一排站了n名学生，第二排站了名学生，第三排站了名学生，第四排站了名学生， 则． 所以，该合唱团一共有（）名同学参加演唱． 20．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 【答案】图②中两块阴影部分的周长和是． 【解析】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 题型五、带有字母的绝对值化简问题 21．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解析】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 22．有理数在数轴上所对应的点的位置如图，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：． 故选：D． 23．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】0 【解析】解：由数轴可知，，且， ，，， ， ， 故答案为： 24．已知、、的位置如图：则化简 ． 【答案】/ 【解析】解：根据数轴可得， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 25．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简． 【答案】 【解析】由数轴得：， ∴， ∴ ． 题型六、数字类规律探索 26．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：    请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴的余数为：1， 即的余数为：1， ∴若今天是星期三，则经过天后是星期四． 故选：A． 27．（找规律）找规律，填数．1，3，2，6，4，9，8， ， ，， ，，··· 【答案】 【解析】解：观察可得，数列由两个交错的数列组成： 原数列的奇数位置的数值分别为1，2，4，8，?，?，可以看作是从1开始，每个数依次乘以2，则8后面依次是， 原数列的偶数位置的数值分别为3，6，9，? ，15，18，可以看作是从3开始，每个数依次加3，则9后面是． 故答案为：，， 28．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为第2025次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【解析】解：由题知， 当开始输入的x值为81时， 第一次输出的结果为27， 第二次输出的结果为9， 第三次输出的结果为3， 第四次输出的结果为1， 第五次输出的结果为3， 第六次输出的结果为1， …， 由此可见，从第三次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1． 因为2025为奇数， 所以第2025次输出的结果为3． 故选：B． 29．【阅读材料】 观察下列式子：①；②；③；④，根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（  ）×（  ）； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． 【答案】(1)7，8； (2)，证明见解析． 【解析】（1）解：由题意得，， 故答案为：7，8； （2）解：由题意可得规律为，证明如下， ∵， ， ∴． 30．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 【答案】(1)第个数为，第个数为 (2)前个数中，正数有个，负数有个 (3)在这一组数中，理由见解析 【解析】（1）解：观察这组数可得：分子是开始的连续的自然数，每个分数的分母都比分子大，且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数． 第个数是第偶数个数是正数，第个数是第奇数个数是负数， 这一列数中的第个数是，第个数是． （2）解：， 在前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：在这一列数中．理由如下： 和的分子是，是偶数， 这列数的第个数是正数． 故在这一列数中． 题型七、图形类规律探索 31．烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【解析】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 32．观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 【答案】A 【解析】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 第4个图形中五角星的个数为：， 所以由规律可知：第个图形中五角星的个数为， 则第9个图形中五角星的个数为：，故选项A符合题意． 故选：A． 33．如下图，第1个图形需要8根小棒，第2个图形需要15根小棒，第3个图形需要22根小棒．如果依次摆下去，第10个图形需要（    ）根小棒． A．63 B．71 C．80 D．81 【答案】B 【解析】解：第1个图形需要小棒的根数为根， 第2个图形需要小棒的根数为根， 第3个图形需要小棒的根数为根， 归纳类推得：第个图形需要小棒的根数为根，其中，且为正整数， 则第10个图形需要小棒的根数（根）， 故选：B． 34．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖有规律地拼成若干个图案（如下图），那么，第6个图案中有白色地板砖( )块，第n个图案中有白色地板砖( )块． 【答案】 26 4n＋2 【解析】解：第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第6个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有块， 故答案为：；． 35．将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为 颗． 【答案】20 【解析】解：∵第①个图案中棋子的颗数为， 第②个图案中棋子的颗数为， 第③个图案中棋子的颗数为， 第④个图案中棋子的颗数为， …… ∴第7个图案中棋子的颗数为． 故答案为20． 1．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 2．（2025·重庆·三模）已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①要使满足条件的两个整式M的和为单项式，则需满足两个整式中的对应系数互为相反数，这与系数递减的条件矛盾，即不存在，①说法正确； ②当时， a，b可从5，4，3，2中取满足条件的值为：，或，或，或，或，或，共6种； d，e可从0，，，中取满足条件的值为，或，或，或，或，或，共6种； 再根据的条件，可得满足条件的有： ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 共8个，故②错误； ③以此类推当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，； 共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，；共2个； 综上，满足条件的所有整式M共个，③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的有关概念，整式的加减运算，分类讨论思想的运用，解题关键是理熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 3．（2025·广东广州·三模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ． 【答案】 【解析】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·湖北·二模）设，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【解析】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 6．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【解析】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 7．（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【解析】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 8．（2025·河北邯郸·一模）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：根据题意可知 ． （2）解：当时， 解得， ． 当时， ． 9．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【解析】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 10．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【解析】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $