专题07 圆（宁夏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 圆 考点1 圆的有关概念及性质 1.（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　 　 ． 2．（2022•宁夏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝　 　 ． 3．（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　 　 °． 4．（2025•宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　 °． 考点2 圆的有关计算 1．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2022•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（　　） A．（2π）cm2 B．（8π）cm2 C．（8π）cm2 D．（16π）cm2 考点3圆的综合应用 1．（2021•宁夏）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM． （1）求证：直线BF与半圆O相切； （2）若已知AB＝3，求BD•BC的值． 2．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 3．（2023•宁夏）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC． （1）求证：AC平分∠BAE； （2）若AC＝5，tan∠ACE，求⊙O的半径． 4．（2024•宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 5．（2025•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD． （1）求证：∠CBD＝∠BDC； （2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． 1．10．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　 °． 2．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积为 　 　 ． 3．（2025•宁夏兴庆区校级二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则长度为 　 　 ． 4．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为　 　 cm． 5．（2025•宁夏一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　 　 ． 6．（2025•宁夏利通区校级三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D，交BC于点E，点F在BA的延长线上，连接DF，且∠F＝∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若BE＝2，，求AF的长． 7．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求阴影部分的面积． 8．（2025•宁夏兴庆区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积． 9．（2025•宁夏吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝2CE，OA＝3，求阴影部分的面积． 10．（2025•宁夏兴庆区校级四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是边AC上的点，点O是边AB上的点，过点E作⊙O与边BC，AB分别相交于点D，F，． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）当BC＝6，时，求AF的长． 11．（2025•宁夏一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线交线段AC于点E，且DE＝CE． （1）求证：直线DE与⊙O相切； （2）已知⊙O的半径是4，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 12．（2025•宁夏金凤区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，CD是⊙O的切线，交AB的延长线于点D，半径OE⊥AB，CE交AB于点F． （1）求证：DC＝DF； （2）若∠OEC＝15°，OE＝6，求图中阴影部分的面积． 13．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，连接AC、CE、EB，过点C作CD⊥EB，交EB的延长线于点D，∠ABE＝2∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 考点1 圆的有关概念及性质 1.（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 　 　 ． 【分析】连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解． 【解答】解：连接OA，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∴OA＝AC＝2， 即⊙O的半径为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明△OAC为等边三角形是解题的关键． 2．（2022•宁夏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝　 　 ． 【分析】根据垂径定理得BDAB＝8，再利用余弦的定义可得． 【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D， ∴BDAB＝8， ∴cosB， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 3．（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　 　 °． 【分析】由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC＝180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC＝180°，因此∠CDE＝∠B，由圆周角定理求出∠B＝70°，得到∠CDE＝70°． 【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠B∠AOC140°＝70°， ∴∠CDE＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE＝∠B． 4．（2025•宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　 °． 【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，得出，，进而得出∠ABC+∠ACB＝126°，即可得出答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴，， ∵∠A＝54°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝117°， 故答案为：117． 【点评】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，掌握其性质是解题的关键． 考点2 圆的有关计算 1．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算． 【解答】解：连接BC，如图， 由作法可知AC＝BC＝AB＝2， ∴△ACB为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC， ∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O ＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O ＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O ＝4222﹣π×12 π﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式． 2．（2022•宁夏）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为（　　） A．（2π）cm2 B．（8π）cm2 C．（8π）cm2 D．（16π）cm2 【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【解答】解：在Rt△OCF中，∠COF＝180°﹣∠BOF＝60°， ∴∠OFC＝30°， ∵OC＝2cm， ∴OF＝2OC＝4cm， 连接OE，则OE＝OF＝4cm， 在Rt△BOE中，∠B＝30°， ∴∠DOE＝60°，OB＝2OE＝8cm， 根据勾股定理得，BE4cm， ∴S阴影＝S△BOE﹣S扇形DOEBE•OE44π＝（8π）cm2， 故选：C． 【点评】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 考点3圆的综合应用 1．（2021•宁夏）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM． （1）求证：直线BF与半圆O相切； （2）若已知AB＝3，求BD•BC的值． 【分析】（1）连接AO，证明OA⊥AB即可． （2）证明△BAD∽△BCA，可得结论． 【解答】（1）证明：如图，连接AO． ∵FE⊥BC， ∴∠CEM＝90°， ∴∠C+∠CME＝90°， ∵FA＝FM， ∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∴∠FAM+∠OAC＝90°， ∴∠OAF＝90°， ∴OA⊥AB， ∵OA是半径， ∴BF是⊙O的切线． （2）解：连接AD． ∵CD是直径， ∴∠DAC＝90°， ∴∠C+∠ADC＝90°， ∵∠BAO＝90°， ∴∠BAD+∠OAD＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠BAD+∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴， ∴BD•BC＝BA2＝9． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）证明：∵线段AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2023•宁夏）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC． （1）求证：AC平分∠BAE； （2）若AC＝5，tan∠ACE，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC∥AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论； （2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE＝90°，再利用（1）的结论可得tan∠ABC＝tan∠ACE，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线DC是⊙O的切线，切点为C， ∴OC⊥DC， 又∵AE⊥DC，垂足为E， ∴OC∥AE， ∴∠EAC＝∠ACO， ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠EAC＝∠OAC， ∴AC平分∠BAE； （2）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵AE⊥DC， 由（1）得：∠EAC＝∠OAC， ∴∠ABC＝∠ACE， 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE， ∴， ∴BC， 在Rt△ABC中，AB， ∴OA． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024•宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 【分析】（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由D为△ABC 的内心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE∥AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BGO＝90°，根据切线的性质得到∠FEO＝90°，根据平行线的判定定理得到结论； （2）连接BE，根据三角函数的定义得到∠AEC＝30°，求得∠ABC＝∠AEC＝30°，求得EF＝OE•tan60°＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE，交BC于点G， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵D为△ABC 的内心， ∴∠OAE＝∠CAE， ∴∠OEA＝∠CAE， ∴OE∥AC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BGO＝90°， 又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， ∴∠FEO＝90°， ∴∠BGO＝∠FEO， ∴BC∥EF； （2）解：∵， ∴∠AEC＝30°， ∴∠ABC＝∠AEC＝30°， ∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°， ∴EF＝OE•tan60°＝2， ∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE ． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2025•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD． （1）求证：∠CBD＝∠BDC； （2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． 【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠DAC＝∠BAC，根据圆周角定理得，则∠CBD＝∠CDB； （2）由∠ADC+∠ABC＝180°，∠EBC+∠ABC＝180°，推导出∠ADC＝∠EBC，而DC＝BC，AD＝EB，可证明△ADC≌△EBC，得AD＝EB，∠DAC＝∠E，则AE＝AB+AD，因为∠DAC＝∠BDC，所以∠E＝∠BDC，再证明∠EAC＝∠DBC，进而证明△EAC∽△DBC，得，则． 【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB． （2）∵， ∴DC＝BC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠EBC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠EBC， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC（SAS）， ∴AD＝EB，∠DAC＝∠E， ∴AE＝AB+EB＝AB+AD， ∵∠DAC＝∠BDC， ∴∠E＝∠BDC， ∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠DBC， ∴△EAC∽△DBC， ∴， ∴， ∴． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADC≌△EBC及△EAC∽△DBC是解题的关键． 1．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　 °． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，根据圆周角定理得到∠D∠AOC，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵四边形OABC是菱形， ∴∠B＝∠AOC， ∴∠AOC+∠D＝180°， 由圆周角定理得：∠D∠AOC， ∴∠D＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接并且延长AO交BC于点D，连接BO、CO，则∠AOB＝∠AOC360°＝120°，AO＝BO＝CO＝4，求得∠BOD＝∠COD＝60°，所以OD⊥BC，则∠ODB＝90°，∠OBD＝30°，所以ODBO＝2，则BD2，求得S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接并且延长AO交BC于点D，连接BO、CO， ∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为4， ∴∠AOB＝∠AOC360°＝120°，AO＝BO＝CO＝4， ∴∠BOD＝∠COD＝180°﹣120°＝60°， ∵BO＝CO，OD平分∠BOC， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝30°， ∴ODBO＝2， ∴BD2， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB4×2， 故答案为：． 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2025•宁夏兴庆区校级二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为π米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD＝60°，则长度为 　 　 ． 【分析】由弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），即可计算． 【解答】解：∵圆心角∠AOD＝60°， ∴的长π， ∴OA＝1米， ∴OB＝OA+AB＝1+0.8＝1.8（米）， ∴的长π（米）， 故答案为：π米． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 4．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为　 　 cm． 【分析】先根据平行四边形的性质可得∠BCD＝∠A＝110°，再根据三角形的内角和定理可得∠CBD＝20°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BNM＝∠CBD＝20°，最后根据三角形的外角性质可得∠NMC的度数；先利用弧长公式求出扇形MCN的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长求解即可得． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝110°， ∴∠BCD＝∠A＝110°， ∵∠BDC＝50°， ∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝180°﹣110°﹣50°＝20°， 由圆的性质可知，， ∴∠BNM＝∠CBD＝20°， ∴∠NMC＝∠BNM+∠CBD＝20°+20°＝40°， ∴扇形MCN的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为4π÷2π＝2（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆周角定理、展开图折叠成几何体、圆锥的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 5．（2025•宁夏一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　 　 ． 【分析】延长BC，AD交于点E，根据圆内接四边形的性质可得∠A＝60°，∠ADC＝90°，由含30度角的直角三角形的性质得AE＝2AB＝8，CE＝2CD，由勾股定理得，求出，再由勾股定理求出即可求解． 【解答】解：如图，延长BC，AD交于点E，连接AC， 由条件可知∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，AC是直径， ∴∠CDE＝90°，∠E＝30°， ∵AB＝4， ∴AE＝2AB＝8，CE＝2CD， ∵AD＝5， ∴DE＝3， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2025•宁夏利通区校级三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AC的平行线交⊙O于点D，交BC于点E，点F在BA的延长线上，连接DF，且∠F＝∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若BE＝2，，求AF的长． 【分析】（1）由题意可得∠C＝90°，根据平行线的性质可得∠EOB+∠B＝90°，根据∠F＝∠B可证OD⊥DF，即可证明DF是⊙O的切线； （2）根据三角函数求出AB＝5，根据勾股定理求出AC＝3，根据计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB＝90°，即∠EOB+∠B＝90°， ∵∠F＝∠B，∠FOD＝∠EOB， ∴∠F+∠FOD＝90°， ∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵DE∥AC，O是AB的中点，BE＝2， ∴ ∴E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝4， ∵ ∴， ∴AB＝5， ∴， ∴在Rt△ABC中，， ∴， ∵∠B＝∠F， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线的性质，切线的判定，三角函数，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（2025•宁夏金凤区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，BE，OC交AE于G，由切线得到∠OCD＝90°，再由结合垂径定理得到OC⊥AE，即∠AGO＝∠OCD＝90°，则DC∥AE； （2）连结OE、BE，由EF垂直平分OB，得到OE＝BE＝OB，则△OEB为等边三角形．∠BOE＝60°，推出∠OAE＝∠OEA＝∠D＝30°，得到OD＝2OC＝OA+AD，OC＝OA＝AD＝6，最后根据S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAE计算即可． 【解答】（1）证明：连接OC，BE，OC交AE于G， ∵⊙O的切线CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴OC⊥AE， ∴∠AGO＝90°， ∴∠AGO＝∠OCD＝90°， ∴DC∥AE（同位角相等，两直线平行）； （2）解：连结OE、BE， ∵EF垂直平分OB， ∴OE＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵OE＝OB， ∴△OEB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）． ∴∠BOE＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣60°＝120°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°． ∵DC∥AE， ∴∠D＝∠OAE＝30°． ∵∠OCD＝90°， ∴OD＝2OC＝OA+AD， ∵OA＝OC，DA＝6， ∴OC＝OA＝AD＝6， ∴AO＝OE＝OC＝6，， ∴， ∴． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，掌握线段垂直平分线的性质，扇形的面积是解题的关键． 8．（2025•宁夏兴庆区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论； （2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接BF，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD， ∵CE⊥AD， ∴BF∥CE， ∵点C为劣弧的中点， ∴OC⊥BF， ∵BF∥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）连接OF，CF， ∵OA＝OC，∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∴∠FOC＝∠BOC＝60°， ∵OF＝OC， ∴∠OCF＝∠COB， ∴CF∥AB， ∴S△ACF＝S△COF， ∴阴影部分的面积＝S扇形COF， ∵AB＝4， ∴FO＝OC＝OB＝2， ∴S扇形FOC， 即阴影部分的面积为：． 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 9．（2025•宁夏吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝2CE，OA＝3，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，证明∠EAC＝∠ACO，可得OC∥AE，再进一步可得结论； （2）连接DB，OD，证明四边形DECF是矩形，可得DF＝EC，再证明AD＝DB，可得∠DAB＝∠DBA＝45°，可得∠DOA＝2∠DBA＝90°，利用S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD可得答案． 【解答】（1）证明：AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．如图1，连接OC，则OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO，， ∴∠BAC＝∠EAC， ∴∠EAC＝∠ACO， ∴OC∥AE， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：AB是⊙O的直径，如图2，连接DB，OD，BD，OC交于点F， ∴∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝90°， ∵∠AEC＝∠ECO＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴DF＝EC，∠DFC＝90°， ∴OC⊥BD， ∴DF＝FB， ∴DB＝2DF＝2EC， ∵AD＝2CE， ∴AD＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴∠DOA＝2∠DBA＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，扇形面积的计算，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 10．（2025•宁夏兴庆区校级四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是边AC上的点，点O是边AB上的点，过点E作⊙O与边BC，AB分别相交于点D，F，． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）当BC＝6，时，求AF的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，平行线的判定和性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质列方程求出半径即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OE，OD， ∵， ∴∠EOF＝∠DOE， ∵∠B∠DOF， ∴∠B＝∠EOF， ∴OE∥BC， ∵∠C＝90°， ∴∠OEA＝90°， 即OE⊥AC， ∵OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，BC＝6，tanA， ∴AC＝8，AB10， ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴， 设⊙O的半径为r，即OE＝OB＝OF＝r，则OA＝10﹣r， ∴， 解得r， ∴AF＝102． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握掌握切线的判定和性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 11．（2025•宁夏一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线交线段AC于点E，且DE＝CE． （1）求证：直线DE与⊙O相切； （2）已知⊙O的半径是4，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD、AD，由AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，得∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，推导出∠EDA＝∠EAD，∠ODA＝∠OAD，进而推导出∠ODE＝∠BAC＝90°，即可证明直线DE与⊙O相切； （2）先证明CE＝AE＝DEAC，再根据⊙O的半径是4，∠B＝30°，求得OD＝OA＝OBAB＝4，AB＝8，∠AOD＝2∠B＝60°，则△AOD是等边三角形，所以AD＝OD＝4，∠BAD＝60°，求得BD＝4，∠CAD＝30°，则AC＝2CD，由ADCD＝4，求得CD，进而求得S△ABD＝8，S△ACD，则S△AOD＝4，S△AED，而S扇形AOD，则S阴影＝S△AOD+S△AED﹣S扇形AOD． 【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA， ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A， ∴∠ADB＝90°，AC⊥AB， ∴∠ADC＝∠BAC＝90°， ∴∠EDA＝∠EDC＝90°，∠EAD+∠C＝90°， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠EDA＝∠EAD， ∵∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODE＝∠ODA+∠EDA＝∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE与⊙O相切． （2）解：∵∠EDC＝∠C，∠EDA＝∠EAD， ∴CE＝AE＝DEAC， ∵⊙O的半径是4，∠B＝30°， ∴OD＝OA＝OBAB＝4，AB＝8，∠AOD＝2∠B＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OD＝4，∠BAD＝60°， ∴BD4，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， ∴AC＝2CD， ∵ADCD＝4， ∴CD， ∵S△ABD4×48，S△ACD4， ∴S△AODS△ABD＝4，S△AEDS△ACD， ∵S扇形AOD， ∴S阴影＝S△AOD+S△AED﹣S扇形AOD＝4， ∴阴影部分的面积为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2025•宁夏金凤区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，CD是⊙O的切线，交AB的延长线于点D，半径OE⊥AB，CE交AB于点F． （1）求证：DC＝DF； （2）若∠OEC＝15°，OE＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CD，根据同角的余角相等、对顶角相等得到∠DCF＝∠DFC，得到DC＝DF； （2）根据直角三角形的性质求出∠OFE，由（1）中结论求出∠D，进而求出∠COD，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠DCF+∠OCF＝90°， ∵OE⊥AB， ∴∠OEF+∠OFE＝90°， ∵OC＝OE， ∴∠OEF＝∠OCF， ∴∠DCF＝∠OFE， ∵∠DFC＝∠OFE， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴DC＝DF； （2）解：∵∠OEC＝15°， ∴∠OFE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠DCF＝∠DFC＝75°， ∴∠D＝180°﹣75°×2＝30°， ∴∠COD＝60°，CD6， ∴S阴影部分＝S△OCD﹣S扇形COD6×6186π． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 13．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，连接AC、CE、EB，过点C作CD⊥EB，交EB的延长线于点D，∠ABE＝2∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． 【分析】（1）连接OC，则∠BOC＝2∠A，而∠ABE＝2∠A，所以∠BOC＝∠ABE，则OC∥ED，因为∠D＝90°，所以∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，即可证明CD是⊙O的切线； （2）连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠A＝∠E，则tanA＝tanE，所以AC＝3BC，由ABBC＝2，求得BC＝2，则AC＝6． 【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠A， ∵∠ABE＝2∠A， ∴∠BOC＝∠ABE， ∴OC∥ED， ∵CD⊥EB，交EB的延长线于点D， ∴∠D＝90°， ∴∠OCD＝180°﹣∠D＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径，AB＝2， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠E， ∴tanA＝tanE， ∴AC＝3BC， ∵ABBC＝2， ∴BC＝2， ∴AC＝3×2＝6， ∴AC的长是6． 【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $