第六章 一次函数（知识清单）数学鲁教版五四制2024七年级上册

该初中数学讲义围绕一次函数单元构建了清晰的知识体系，通过思维导图梳理函数定义、表达方式、图像特征及应用关系，用表格对比正比例函数与一次函数的异同，借助图像法和待定系数法强化数形结合思想，突出k值对函数增减性的影响这一核心难点，体现知识间的逻辑关联与结构化呈现。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如例题2中通过分类讨论等腰直角三角形的三种情况，培养学生严谨推理意识和几何直观能力，同时在易错点解析中强调k≠0条件的重要性，帮助学生规避常见误区。每道典型题均配有解题思路拆解和规范书写示范，基础薄弱生可依模板掌握基本步骤，优等生能拓展思维深度，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主复习与课堂高效推进。

第六章 一次函数 1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有__________________________，那么我们称y是x的___________，其中x是______________，y是_____________。 2.表示函数的一般方法：_____________、_________________和_____________。 3.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的___________。 4.如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（，为常数，≠0）的形式，那么称y是x的________________。特别地，当＝0时，称y是x的_____________________。 5.对于一次函数而言，自变量每增加1，函数值就_____________，函数值的变化是“均匀”的。 6.把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的_____________和______________，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图象叫作该___________________。 7.画函数图象的一般步骤：_________、__________、____________。 8.在正比例函数y=kx中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而_________；当k＜0时，y的值随着x值的增大而___________。 9.一次函数的图象经过点_______________,与函数y=kx的图象_________。 10.在一次函数y=kx+b中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而___________；当k＜0时，y的值随着x值的增大而___________。 11.k值相同的两个一次函数图象__________。 12.先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做__________________。 13.一般地，当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程________________的解。从图象上看，一次函数的图象与__________________________就是方程的解. 易错点1 忽略k≠0的条件 错误：已知一次函数求参数的过程中，忽略k≠0的条件而错误。 注意：一次函数的形式：（，为常数，≠0）。 例题1 若函数是一次函数，则的值为 ． 易错点2 忽略多解而导致错误 错误：在需要分类讨论的问题中，未考虑到所有可能的情况。 注意：要全面分析问题，不要片面的做出结论。 例题2如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点P是第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为 ．    1．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ． 2．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 5．若函数是一次函数，则k的值是 ． 6．如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 7．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 8．已知一次函数的图象经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在轴上求一点，使的面积为9，求点的坐标． 9．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 10． 如图，直线与两坐标轴分别交于点A、B，直线与y轴交于点C．与直线交于点D，的面积为． (1)求k的值； (2)点P在直线上，如果的面积为4，求点P的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第六章一次函数 思维导图 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x与y 并目对于变量X的每一个值，变量y都有唯一的值与 它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量 函数的高合 y是因变量 表示函数的一般方法 列表法、表达式法和图像法 函数 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值ā，函数有 唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 函数值 时的函数值。 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y= kx+b(k,b为常数，k0)的形式，那么称y是x的 一次函数的隔念 一次函数。 正比例运数的概念 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数， 认识一次函数 对于一次函数y=kX+b而言，自变量每增加1，函数值 就增加k,函数值的变化是均匀的。 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作 为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相 西数的图象 应的点，所有这些点组成的图象叫作该通数的图象。 画函数图急的一設步强 列表、描点、连线 一次函数 在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的 增大而增大：当k<0时，y的值随着x值的增大而减 正比例函数的性质 小 次函数的图象 一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b)与函数y kX的图象平行。 在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的信随着x值的 —次函数的性质 增大而增大：当k<O时，y的值随着X值的增大而减 小 k值相同的两个一次函数图象平行. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数 的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系 待定系数法 数法 一股地，当一次函数y=kX+b的函数值为0时，相应 次函数的应用 的自变量的值就是方程kx+b=0的解，从图急上看 一次函数y=kX+b的图象与轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0的解. 一元一次方程与一次数的关系 1/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x与y,并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与 它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 2表示函数的一般方法：列表法、表达式法和图像法 3.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值。 4.如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，那么称y是 ×的一次函数。特别地，当b=0时，称y是×的正比例函数。 5.对于一次函数y=kx+b而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是“均匀”的。 6把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相 应的点，所有这些点组成的图象叫作该函数的图象。 7.画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。 8在正比例函数ykx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而 减小。 9.一次函数y=kx+b的图象经过点(0，b),与函数y=kx的图象平行。 10.在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随着×值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大 而减小。 11.k值相同的两个一次函数图象平行。 12先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定 系数法。 13.一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程x+b=0的解。从图象上 看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程x+b=0的解 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错总结 易错点1忽略k0的条件 错误：已知一次函数求参数的过程中，忽略k≠0的条件而错误。 注意：一次函数的形式：y=kx+b(k,b为常数，k≠0)。 例题1若函数y=(a-1)x-2是一次函数，则a的值为 【答案】-1 【解析】解：：函数y=(a-1)x4-2是一次函数， .a=1,且a-1≠0， 解得a=-1, 故答案为：-1 易错点2忽略多解而导致错误 错误：在需要分类讨论的问题中，未考虑到所有可能的情况。 注意：要全面分析问题，不要片面的做出结论。 例题2如图，直线y=-2x+6与x轴，y轴分别交于点A,点B,点P是第一象限内的一个动点，若以A,B ,P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为」 B A 【答案】(9,3)或(6,9)或 99 2'2 【解析】存在点P.理由如下： 令x=0,得y=-2x+6=6,B(0,6),0B=6 令y=0,得-2x+6=0,解得x=3,A3,0),OA=3 3/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当∠PAB=90°时，过P作PD⊥x轴于D,如图1， :∠AB0+∠0AB=90°，∠PAD+∠0AB=90°， A 图1 .∠ABO=∠PAD 在△ABO和△PAD中， ∠ABO=∠PAD ∠AOB=∠PDA=90°， BA=PA .△ABO≌△PAD(AAS), :AD=OB=6,PD=0A=3, .0D=0A+AD=3+6=9, :P的坐标为(9,3) ②当LPBA=90°时，过P作PE⊥y轴于E,如图2， E B A 图2 同理可证△ABO≌△BPE, :BE=0A=3,PE =OB=6, 0E=0B+BE=6+3=9, :P的坐标为(6,9) ③当LAPB=90°时，如图3，过P作PG⊥x轴，过B作BH⊥PG交GP延长线于H, 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B --H :△PAB为等腰直角三角形， AG主 图3 PA=PB,∠APB=90°， ∴.∠BPH+∠APG=90°， 又∠BPH+∠PBH=90°， ∠APG=∠PBH· 在△PBH和△APG中， ∠APG=∠PBH ∠PHB=∠AGP=90° PB=PA △PBH≌△APG(AAS) :BH=PG,PH =GA, 设BH=PG=x,PH=GA=y, 由图易得GH=OB=6,BH=OG, .x+y=6,x=y+3 解得r= 3 2y=2 P的坐标为侣 综上，P的坐标为9到或6列安[？ 故答案为：(9,3)或(6,9)或22 99 易错训练 1.已知函数y=(m+3)x-8+4是关于x的一次函数，则m的值是 5/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3 【解析】解：：函数y=(m+3xm-8+4是关于x的一次函数 .m2-8=1且m+3≠0， 解得：m=3 故答案为：3 2.若关于x的函数y=(m-3)xm-2-6是一次函数，则m的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】解：关于x的函数y=(m-3)xm-2-6是一次函数， m-3≠0 m-2=14 m=1, 故选：C 3.如果函数y=m2-1)xm-1-m是一次函数，那么m的值是（） A.1 B.2 C.±1 D.±2 【答案】B 【解析】解：函数y=m2-1xm-1-m是一次函数 .m-1=1,且m2-1≠0， 解得m=2,且m≠±1， 综上，m的值为2， 故选：B 4.对于函数y=(k-3)x+k+3,当k时，它是关于x的正比例函数；当k时，它是关于x的 一次函数 【答案】 =-3 ≠3 【解析】当y是关于x的正比例函数时，得k-3≠0，k+3=0 解得k=-3; 当y是关于x的一次函数时，得k-3≠0 解得k≠3； 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为 =-3,≠3 5.若函数y=(k+2)x1+4是一次函数，则k的值是 【答案】2 【解析】解：根据题意得k-1=1且k+2≠0， 解得k=2· 故答案为：2 6.如图，一次函数y=x+b的图象经过点C,与x轴相交于点B.一次函数y=2x-6的图象与直线 y=+b相交于点A,与x轴相交于点D,DB=3.若点E是直线y=x+b上一动点，且满足△BDC的面积 是BDE面积的2倍，则点E的坐标为 y=2x-6 y=kx+b 4 、E 2/D B 【答案】(4,2或(8，-2) 【解析】解：在y=2x-6中，当y=0时，x=3, D(3,0), DB=3. .B6,0) 由图象得：C(2,4) :.S.BDC=2 x3×4=6 6k+b=0 由条件可知 2k+b=4 k=-1 解得 b=6 7/11 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :直线BC的解析式为y=-x+6, 设点E(m,-m+6), 1 1 S.ane=2×3×l6-m= S.BDC=3. 解得m=4或8 E4,2)或(8，-2)· 故答案为：（4,2)或(8，-2) 7.如图，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,若点C是x轴上一点（不与点A重合），且 S△4Bc=2 SABOC,则点C的坐标为 【答案】(2,0)或 【解析】解：：直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B, 当x=0时，y=4,当y=0时，2x+4=0,解得x=-2, :点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(0,4)， :点C是x轴上一点（不与点A重合），且SA4Bc=2S△oc, :点C在点A右侧， 设点C的坐标为(c,0), 则×[c-(-2]×4=2××x4. 整理得2c=c+2, 当c>0时，2c=c+2,解得c=2; 当c<0时，-2c=c+2,解得c=一7 综上所述，点C的坐标为(2,0)或 8/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：20或号0 8.已知一次函数y=x+b的图象经过点A-2,0),B(0,3) (1)求该一次函数的表达式， (2)在x轴上求一点C,使ABC的面积为9，求点C的坐标 3 【答案（④）=2x+3 (2(4,0)或(-8,0 【解析】(1)解：将点A-2,0),B(0,3)代入y=x+b, -2k+b=0 可得方程组 b=3 把b=3代入-2k+b=0,得-2k+3=0, 解得：k=3 所以该一次函数的表达式为y=3 (2)解：设点C的坐标为x,0), A-2,0,B(0,3, .AC在x轴上的距离为x-（-2)=x+2,B到x轴的距离为3. 由48C的面积为9，可得+2×3=9.即+2小-6， 解得x=4或x=-8, 所以点C的坐标为(4,0)或(-8,0) 2 9.已知一次函数y=- x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B· (1)求点A,点B的坐标 (2)点C在x轴上，ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点C的坐标 【答案】(1)A3,0),B(0,2) 2(-3,0)或3+13,0或3-13,0 【懈)解：一次画数y=号r+2与X销交于点A,与y轴交于点， 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 令x=0,得y=2,则B(0,2)；令y=0,得x=3,则A(3,0) .A(3,0,B(0,2): (2)解：根据题意，作出等腰ABC,如图所示： B 当AB=BC时，点C与点A(3,0)关于y轴对称，即C(-3,0) 在RtaA0B中，由勾股定理可知AB=√32+22=√3， 当AB=AC时，分两种情况： 当点C在x轴负半轴上时，则0C=AC-0A=√3-3，即C3-V3,0, 当点C在x轴正半轴上时，则0C=0A+AC=3+√3，即C3+V3,0: 综上所述，点C的坐标为(-3,0)或3+3,0或3-3,0 10.如图，直线y=kx+1(k≠0)与两坐标轴分别交于点A、B,直线y=-2x+4与y轴交于点C.与直线 y=+1交于点D,△ACD的面积为 v=x+1 y--2x+4 (1)求k的值： (2)点P在直线y=-2x+4上，如果△B0P的面积为4，求点P的坐标. 【答案】(1)1 (2(-2,8)或(6，-8) 【解析】(1)解：把x=0代入y=-2x+4得，y=4, 10/11