精品解析：安徽省池州市2025-2026学年 九年级上学期开学数学试题

九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是 （ ） A. 方差越大，数据越稳定 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 7. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 8. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标为________． 12. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 14. 如图，矩形中，．是上一点，且． （1）_________； （2）如图2，为上一点，于点于点，则_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． （1）请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； （2）请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 20. 为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图； （2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 六、（本题满分12分） 21. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长； （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选B． 3. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 5. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长是， 故选：． 6. 下列命题中，是真命题的是 （ ） A. 方差越大，数据越稳定 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用方差的意义、直角三角形的性质、矩形的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、方差越大，数据波动越大，越不稳定，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意； C、矩形的对角线相等但不一定垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 7. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正n边形的一个外角的度数是解题的关键．由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为， ∴正n边形的一个内角的度数为， ∴正n边形的一个外角的度数为， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：     由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．让P的横坐标减2，纵坐标减3即可得到点坐标． 【详解】解：根据题意，点的横坐标为：；纵坐标为； ∴点的坐标是． 故答案为：． 12. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键． 【详解】解：小王的最终成绩为分， 故答案为：． 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 14. 如图，矩形中，．是上一点，且． （1）_________； （2）如图2，为上一点，于点于点，则_________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质，在中实施勾股定理计算即可． （2）连接，根据，列式计算即可． 【详解】（1）设， ∵矩形，， ∴，， 在中，， 解得：， 故答案为：3． （2）连接， ∵，，， ∴． 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先运用平方差与完全平方公式计算，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． （1）请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； （2）请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 如图，点M即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用勾股定理数形结合的思想画出三角形即可； （2）取格点、，连接交于点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 【答案】 由题意得点E，D分别是AC，AB的中点， ∴ED是△ABC的中位线． ∴DEBC，DE= BC． ∵F，G分别是BO，CO的中点， ∴FG是△OBC的中位线． ∴FGBC，FG=BC，． ∴DEFG， DE=FG． ∴四边形EDFG是平行四边形． ∴DF＝EG． 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，FGBC，FG=BC，从而得到DEFG且DE=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DEGF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并判断出四边形DEGF是平行四边形是解题的关键． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：能完全溶解，理由如下： 当时，， ∵， ∴能完全溶解． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练掌握一次函数的基本性质及图象是解此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，将点，的坐标代入函数解析式，求出k，b后可得解； （2）已知条件将代入解析式中，求出y，最后比较得出结论． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， ∵的图象过点与， ∴将两点的坐标代入函数解析式中得， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 略 20. 为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图； （2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【答案】（1）20，162， 补全的频数分布直方图如下： （2） 解：男生跳绳成绩更好，理由： 因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好； （3）570人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图可得的值；利用频数分布直方图，结合条件可得的值；利用总人数可补全频数分布直方图； （2）利用相关统计数据可作出决策； （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：， 故， ， 补全的频数分布直方图略 结合条件可知，男生的中位数为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 【点睛】本题考查频数分布直方图和扇形统计图关联．掌握各类统计数据的意义，并能根据相应的统计数据作出决策是解题关键． 六、（本题满分12分） 21. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2） 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长； （3）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得； （2）由题意可得，，，则，由勾股定理得，，可求，则，设正方形的边长为，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可； （3）如图，作于，设，，则，，，由，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；同理可得，，，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形的边长为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形的边长为； 【小问3详解】 解：如图，作于，设，， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； 同理可得，，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $