第四章 实数（知识清单）数学鲁教版五四制2024七年级上册

第四章 实数 1.有理数总可以用______________或________________表示。反过来，任何___________________________也都是有理数。 2._______________________称为无理数。 3.如果一个正数x的平方等于ɑ，即____________,那么这个正数x叫作ɑ的________________，记作，读作“___________”。特别地，我们规定：0的算术平方根是______，即_________。 4.正数有______________算术平方根，0的算术平方根是_______，负数_________算术平方根。 5.一般地，如果一个数x的平方等于ɑ，即__________,那么x叫作ɑ的__________（也叫作___________）。 6.一个正数有_________平方根，它们______________；0______________平方根，它是________；负数___________。 7.求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作___________，ɑ叫作_____________。 8.一般地，如果一个数x的立方等于ɑ，即____________那么这个数x叫作ɑ的__________（也叫作______________）。 9.正数的立方根是__________，0的立方根是______，负数的立方根是__________。 10.求一个数ɑ的立方根的运算叫作___________，________________与开立方运算互为逆运算。 11.数ɑ的立方根记作“”，读作“______________”，其中ɑ叫作____________，3叫作_____________。 12.一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以_______________________，再取__________。 13.有理数与无理数统称为________。 14.实数的分类： ①按实数的符号分类：__________（正有理数和正无理数）、0、_________（负有理数和负无理数）。 ②按实数的概念分类：___________（有限小数或无限循环小数）、__________（无限不循环小数）。 15.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与____________________的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 16.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的____________与__________对实数仍然适用。 17.事实上，每一个实数都可以用___________________来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示_______________，实数和数轴上的点________________的。 18.在数轴上，___________________________________表示的数大。 易错点1 算术平方根与平方根概念混淆 错误：对算术平方根与平方根的概念理解不透彻而导致错误。 注意：“√”默认指算术平方根，结果必非负；例：将√9写成±3（实际应为3），或认为负数有平方根（实数范围内无解）。 例题1 下列说法正确的是（   ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是3 C．的平方根是5 D．4的平方根是 易错点2 忽略被开方数的范围 错误：忽略被开方数的范围限制而导致错误。 注意：注意被开方数的范围，例： （≥0），（为任意实数）。 例题2 下列计算正确的是（） A． B． C． D． 1．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 2．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 3．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 4．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是（ ） A．一定没有平方根 B．算术平方根是其本身的数只有 C．的平方根是 D．的值在和之间 6．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 8．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B．0 C． D． 9．若，则的值为 ． 10．求下列方程中x的值： (1)； (2) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 实数 1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.无限不循环小数称为无理数。 3.如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0。 4.正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 5.一般地，如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根（也叫作二次方根）。 6.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 7.求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 8.一般地，如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么这个数x叫作ɑ的立方根（也叫作三次方根）。 9.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 10.求一个数ɑ的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 11.数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 12.一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 13.有理数与无理数统称为实数。 14.实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数（正有理数和正无理数）、0、负实数（负有理数和负无理数）。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 15.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 16.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 17.事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点一一对应的。 18.在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 易错点1 算术平方根与平方根概念混淆 错误：对算术平方根与平方根的概念理解不透彻而导致错误。 注意：“√”默认指算术平方根，结果必非负；例：将√9写成±3（实际应为3），或认为负数有平方根（实数范围内无解）。 例题1 下列说法正确的是（   ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是3 C．的平方根是5 D．4的平方根是 【答案】D 【解析】解：A、1的平方根是，1的算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而5的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 易错点2 忽略被开方数的范围 错误：忽略被开方数的范围限制而导致错误。 注意：注意被开方数的范围，例： （≥0），（为任意实数）。 例题2 下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．∵，∴在实数范围内无意义，故原计算错误． B．，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确． 故选：D． 1．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】解：9的平方根为． 故答案选：D． 2．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【解析】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 3．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【解析】解：A. 1的平方根是，该选项错误，不符合题意； B.负数没有平方根，该选项错误，不符合题意； C. ，的平方根是，该选项正确，符合题意； D. 0的平方根为0，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 5．下列说法正确的是（ ） A．一定没有平方根 B．算术平方根是其本身的数只有 C．的平方根是 D．的值在和之间 【答案】D 【解析】解：当为负数时，为正数，有2个平方根，则A不符合题意， 算术平方根是其本身的数是或，则B不符合题意， 是负数，没有平方根，则C不符合题意， 由得，则D符合题意， 故选：D． 6．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； B、是负数，没有平方根，故选项符合题意 ； C、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； D、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； 故选：B． 7．下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 【答案】B 【解析】解：A．立方根等于本身的数有，，故选项错误，不符合题意； B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意； C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意； D．的立方根不是3，的立方根为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 8．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】解：负数没有平方根， 没有平方根， 故选：C． 9．若，则的值为 ． 【答案】2或或 【解析】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 10．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $