第三十章 旋转（2大考点+4大易错）（知识清单）数学人教版五四制九年级上册

第三十章 旋转 考点1 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内 转动 ，就叫做图形的旋转，点O叫做 ，转动的角叫做 。 我们把 、 、 称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的 ；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（3）旋转前后的图形 。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（2）对应点到旋转中心的 ，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 考点2 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个 ；绕对称中心旋转180°两个图形能够 。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的 。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成 。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过 ，并且都被对称中心 ； （2）关于中心对称的两个图形能够 ，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段 （或共线）且 。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点 ，如果旋转后的图形能够与原来的 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标 ，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 易错01 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 1.易错点：未准确把握旋转方向（顺时针或逆时针），导致坐标计算错误；对旋转后点与旋转中心的相对位置关系分析不清。 2.注意事项：明确旋转方向，根据方向结合几何方法（如构建直角三角形），利用旋转性质（对应点到旋转中心距离相等、连线夹角为旋转角）计算坐标。 例题：（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 易错02 坐标与旋转规律问题 1.易错点：混淆顺时针与逆时针旋转方向，对不同旋转角度（如90°、180°）下坐标变换规律记忆不清，导致计算错误。 2.注意事项：明确旋转方向和角度，牢记各角度下坐标变换公式，结合图形辅助分析，确保方向和公式运用准确。 例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 易错03 已知两点关于原点对称求参数 1.易错点：对关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）记忆模糊，代入时符号出错，导致参数求解错误。 2.注意事项：牢记“关于原点对称，横、纵坐标都变号”的规律，代入点的坐标时仔细核对符号，确保计算准确。 例题：（24-25九年级上·广东韶关·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为 ． 易错04 旋转综合题——几何变换 1.易错点：对旋转性质（对应点到旋转中心距离、连线夹角等）理解不深，综合运用时易忽略，导致图形关系分析错误。 2.注意事项：牢固掌握旋转性质，结合几何图形（如三角形、四边形），分析对应点、角、线段关系，逐步推导解决问题。 例题：已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接． (1)如图，当点在线段上时，连接． 填空：的形状为_____；与的数量关系为____． (2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)如图，连接，当时，直接写出的长． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    4．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 6．在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．    (1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 7．已知：正方形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，若，点E，F分别是，上的动点，求证：的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求的长度； (4)如图4，若点P为正方形内一点，其中，，，则______． 8．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 旋转 考点1 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 考点2 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 易错01 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 1.易错点：未准确把握旋转方向（顺时针或逆时针），导致坐标计算错误；对旋转后点与旋转中心的相对位置关系分析不清。 2.注意事项：明确旋转方向，根据方向结合几何方法（如构建直角三角形），利用旋转性质（对应点到旋转中心距离相等、连线夹角为旋转角）计算坐标。 例题：（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 易错02 坐标与旋转规律问题 1.易错点：混淆顺时针与逆时针旋转方向，对不同旋转角度（如90°、180°）下坐标变换规律记忆不清，导致计算错误。 2.注意事项：明确旋转方向和角度，牢记各角度下坐标变换公式，结合图形辅助分析，确保方向和公式运用准确。 例题：（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 易错03 已知两点关于原点对称求参数 1.易错点：对关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）记忆模糊，代入时符号出错，导致参数求解错误。 2.注意事项：牢记“关于原点对称，横、纵坐标都变号”的规律，代入点的坐标时仔细核对符号，确保计算准确。 例题：（24-25九年级上·广东韶关·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】加减消元法、求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解． 本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解题关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 易错04 旋转综合题——几何变换 1.易错点：对旋转性质（对应点到旋转中心距离、连线夹角等）理解不深，综合运用时易忽略，导致图形关系分析错误。 2.注意事项：牢固掌握旋转性质，结合几何图形（如三角形、四边形），分析对应点、角、线段关系，逐步推导解决问题。 例题：已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接． (1)如图，当点在线段上时，连接． 填空：的形状为_____；与的数量关系为____． (2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)如图，连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1)等边三角形， (2)菱形，理由见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，所以，，，，又因为，，所以，，又因为，所以是等边三角形．因为，，，所以，，又因为，，所以，，因为，，故的形状为等边三角形，与的数量关系为． （2）由（1）得，，因为，，，所以，因为，所以，，，因为，，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形． （3）延长，交于点，由上可得为等边三角形，，又因为，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因为，，，即，因为，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，，，因为，，所以，所以． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ∴，，，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的形状为等边三角形，与的数量关系为． （2）四边形是菱形． 理由：由（1）得，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （3）延长，交于点，如图所示： 由上可得为等边三角形，， 又∵，， ∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，， 即，， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， 则． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为D、E，则，由旋转的性质可得，则可证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为、， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    4．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 【答案】3 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】根据旋转的性质，得到线段每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段的位置，即可求解， 本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由题意可得，线段每旋转4次，回到初始位置， ∵， ∴线段与线段重合，点与点重合， ∴， 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转，进而可求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转， ∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 6．在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．    (1)如图1，连接，则线段与的数量关系是_________，位置关系是________； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，在四边形中，．若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为，； （2），理由是：如图2，    ∵， ∴， 在和中， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接，    则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， 中， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 7．已知：正方形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，若，点E，F分别是，上的动点，求证：的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求的长度； (4)如图4，若点P为正方形内一点，其中，，，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先证明得，在中可求出的度数； （2）如图：延长到点K，使，连接，构造全等三角形，证明，即可求得的周长； （3）如图3：过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，运用（2）中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可解答； （4）如图，将绕点B顺时针方向旋转得，且．易得、、，则是等腰直角三角形，，即；再运用勾股定理逆定理得到，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图2：延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为40． （3）解：如图3：过点D作，交于点L，作，交于点M，连接， ∵， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：如图，将绕点B顺时针方向旋转得，且． ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $