第三十章 旋转（单元测试）数学人教版五四制九年级上册

第30章《旋转》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南郴州·统考二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将与关于点中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河南·模拟预测）如图所示，在中，顶点，，．将与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A．（6，2） B．（﹣2，6） C．（6，﹣2） D．（6，﹣2） 5．如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，点D正好落在BC上，．若，则等于（    ） A．45° B．50° C．55° D．40° 6．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（    ） A．2 B． C． D．3 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 8．平面直角坐标系中．已知点A（－3，0），点B（0，2），线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的对应点C点的坐标是 ． 9．如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过 次旋转得到的，旋转角的度数是 ． 10．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为 cm． 11．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，称为一次变换，已知点的坐标为，则点经过连续2020次这样的变换得到的点的坐标是________． 12．如图：将边长为1的正三角形OAP，沿x轴正方向连续翻转若干次，点A依次落在点A1，A2，A3，A4，…，A2008的位置上，则点A2008的横坐标x2008＝ ． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．在我国的建筑中，很多建筑图形具有对称性，如图是一个破损瓷砖的图案，请把它补画成中心对称图形.    14．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 15．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并写出、两点的坐标； (2)在图中画出与关于原点对称的图形，并写出、两点的坐标． 16．如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移3个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； 17．已知：△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1(﹣3，4)，B1(﹣1，3)，C1(1，6)，把△A1B1C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC，且点A1的对应点为A，点B1的对应点为B，点C1的对应点为C． （1）在坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）设点P在y轴上，且△APB与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将平移，使得点A的对应点的坐标为，点B、C的对应点分别为，，在所给图的坐标系中画出平移后的； (2)将绕点C逆时针旋转，点A、B的对应点分别为、，画出旋转后的三角形． 19．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段为边，按下列要求画四边形，使得点C，D都在格点上． （1）图①中的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 （2）图②中的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形 （3）图③中的四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 20．（2022秋·广东潮州·九年级统考期末）如图，中，，点D在AB上，，，于点E，把绕点D旋转得，且点G，F在AC上． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积， 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．综合与实践 问题情境：学习《旋转》后，在数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，是边上中线，． (1)操作，将线段绕点A顺时针旋转至线段； (2)求证． 独立思考：请解答王老师提出的问题． 实践探究：数学活动小组同学解答完对上述问题后，连接了DE，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的结论．该小组提出下面的问题，请你解答． 问题解决： (3)连接，请在图中找出与线段相等的线段，并加以证明． 22．（2022·四川眉山·校考一模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为； (2)以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数； (3)画出△ABC关于点B的中心对称图形． 六、解答题（本大题共12分） 23．（2023春·天津和平·九年级专题练习）平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后的对应点． (1)如图(1)当时，求点的坐标； (2)如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标； (3)当时，求点的坐标(直接写出结果即可)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第30章《旋转》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使形绕该点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B，图形绕圆心旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2．（2023·湖南郴州·统考二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，将与关于点中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质，为的中点，即可求解． 【详解】解：设， 依题意，， 解得：， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键． 4．（2022·河南·模拟预测）如图所示，在中，顶点，，．将与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A．（6，2） B．（﹣2，6） C．（6，﹣2） D．（6，﹣2） 【答案】A 【分析】先求出BC，再利用正方形的性质确定A点坐标，由于2020=4×505，所以第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，再继续旋转3次即可确定结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵四边形ABCD为正方形， ∴， ∴． ∵每次旋转90°， ∴4次为一个循环， ∵， ∴第2023次旋转结束时与第3次旋转后的落点相同，如图， ∴点的坐标为（6，2）． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出A点坐标变化的规律． 5．如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，点D正好落在BC上，．若，则等于（    ） A．45° B．50° C．55° D．40° 【答案】B 【分析】设∠E=∠C=x°，则∠BAD=∠CAE=x°，∠ABD=∠ADB=x°+15°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】因为△ABC绕点A旋转得到△ADE，，， 所以AB=AD，∠E=∠C=x°，∠BAD=∠CAE=x°，∠ABD=∠ADB=x°+15°， 所以x+x+15+x+15=180, 解得x=50， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 6．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由旋转的性质可证△ACA1、△BCB1是等边三角形，从而∠ABD＝90°，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，点A1落在AB边上， ∴∠ACA1＝∠BCB1，CB＝CB1，CA＝CA1， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACA1是等边三角形， ∴∠ACA1＝∠BCB1＝60°， ∴△BCB1是等边三角形， ∴∠CBB1＝60°，BB1＝CB＝2 ， ∴∠ABD＝90°， ∵BB1的中点为D， ∴BD＝， ∵∠ABC＝30°，BC＝2， ∴AC＝2，AB＝2AC＝4， ∴BA1＝2， ∴A1D＝， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标均互为相反数进行求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是关键． 8．平面直角坐标系中．已知点A（－3，0），点B（0，2），线段AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的对应点C点的坐标是 ． 【答案】（－2，5） 【分析】如图所示：过点C作轴于点D，证明∴，得到BD＝AO，CD＝OB，由此求解即可． 【详解】解：如图所示：过点C作轴于点D， ∵BC是线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到线段， ∴AB＝BC，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ∴（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝OB， ∵A（－3，0），B（0，2）， ∴OA＝3，OB＝2， ∴CD＝2，OD＝BD＋OB＝OA＋OB＝3＋2＝5． 则点C的坐标为：（－2，5）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，求饶某点旋转90度后点的坐标，正确构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过 次旋转得到的，旋转角的度数是 ． 【答案】 5, 60° 【分析】图中有6个菱形，因为一个菱形旋转一周的度数是360°，所以每次旋转的度数为：360°÷6=60°． 【详解】解：由图可得，可以看作是由其中一个菱形至少经过5次旋转得到的，旋转角的度数是60°． 故答案为5，60°． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握． 10．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为 cm． 【答案】13． 【分析】由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答. 【详解】解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线， ∴OE=，OF=，EF=， ∴△OEF的周长=， 故答案为13cm 【点睛】本题考查了三角形中位线的知识. 11．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，称为一次变换，已知点的坐标为，则点经过连续2020次这样的变换得到的点的坐标是________． 【答案】 【分析】先按题目要求求得点绕原点逆时针旋转，再作出旋转后的点关于原点的对称点，如此变换八次后，发现其坐标回到原处，故此变换规律是八次一循环，据次解题即可. 【详解】解：第一次变换后的坐标为，第二次变换后的坐标为，第三次变换后的坐标为，第四次变换后的坐标为，第五次变换后的坐标为，第六次变换后的坐标为，第七次变换后的坐标为，第八次变换后的坐标为，因为，所以把点经过连续2020次这样的变换得到的点的坐标是． 故答案为 【点睛】本题考查直角坐标系点的变换特征，其中涉及旋转、关于原点的对称等变换，掌握这些变换特征、点在坐标系中的特征、发现坐标变换规律是解题关键. 12．如图：将边长为1的正三角形OAP，沿x轴正方向连续翻转若干次，点A依次落在点A1，A2，A3，A4，…，A2008的位置上，则点A2008的横坐标x2008＝ ． 【答案】3011 【分析】由题意结合图形可知，A2的横坐标为2，A4的横坐标为3+2=5，那么A6的横坐标为3+3+2=8，A2n的横坐标为3n-1，所以点A2008的横坐标为3011． 【详解】∵边长为1的正三角形OAP， ∴A2的横坐标为2，A4的横坐标为3+2=5， ∴A2n的横坐标为3n-1， ∴点A2008的横坐标x2008为3011． 故答案为3011． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，图形与坐标的性质，解题的关键在与首先推出A2，A4的横坐标，然后总结出A2n的横坐标为3n-1即可． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．在我国的建筑中，很多建筑图形具有对称性，如图是一个破损瓷砖的图案，请把它补画成中心对称图形.    【答案】图见解析. 【分析】根据中心对称图形的性质，绕某一个点旋转能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，即可画出． 【详解】解：根据中心对称图形的性质直接画出即可．    【点睛】此题主要考查了中心对称图形的画法，正确根据中心对称图形的性质画出图象是解决问题的关键． 14．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 【答案】(1)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． (2)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． 【分析】中心对称图形是指绕着中心点旋转图形两部分完全重合，根据题目中的图形先作出对称中心，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，中心对称图形是指绕着中心点旋转 上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， （2）解：如图所示，旋转180°后上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键． 15．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并写出、两点的坐标； (2)在图中画出与关于原点对称的图形，并写出、两点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】（1）根据旋转的性质得到、两点的坐标，顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数得到点、，顺次连线得到即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）如图，即为所求，； ． 【点睛】此题考查了旋转作图，关于关于原点对称作图，正确掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键． 16．如图，的顶点坐标为，，．    (1)画出向右平移3个单位后的； (2)将绕原点旋转，画出旋转后的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质找到A，B，C向右平移3个单位的对应点，顺次连接，得到； （2）根据中心对称的性质，找到A，B，C关于原点对称的点，顺次连接，得到； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图所示，即为所求；   ； 【点睛】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键． 17．已知：△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1(﹣3，4)，B1(﹣1，3)，C1(1，6)，把△A1B1C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC，且点A1的对应点为A，点B1的对应点为B，点C1的对应点为C． （1）在坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）设点P在y轴上，且△APB与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）P（0，5）或（0，﹣3）． 【分析】（1）根据已知条件，分别将A1，B1，C1，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，三点的坐标，然后首尾依次相连，即可得△ABC； （2）根据（1）中所得A，B，C三点，找出其关于原点的对称点，，，然后将其首尾依次相连，即可得到△A2B2C2； （3）用矩形面积减去三个三角形面积即可求得△ABC的面积，设，根据各个点的坐标，利用三角形面积公式，构建方程即可求解． 【详解】（1）A1，B1，C1，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)，然后将这三点首尾相连，得到如图，△ABC即为所求； （2）A，B，C，关于原点的对称点分别为：A2(0，-1)，B2(-2，0)，C2(-4，-3)，然后将这三点首尾相连，得到如图，△A2B2C2即为所求； （3）， 设P（0，m），由题意，， 解得：m=5或﹣3，∴P（0，5）或（0，﹣3）． 【点睛】本题考查作图-平移变换、中心对称、三角形面积、矩形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将平移，使得点A的对应点的坐标为，点B、C的对应点分别为，，在所给图的坐标系中画出平移后的； (2)将绕点C逆时针旋转，点A、B的对应点分别为、，画出旋转后的三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）先确定平移方式，再分别确定A，B，C平移后的对应点，，即可； （2）分别确定A，B，C旋转后的对应点，，即可； 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形， （2）如图，即为所画的三角形，    【点睛】本题考查的是画平移图形，画旋转图形，根据点的坐标变化确定平移方式，熟练的利用平移的性质与旋转的性质进行画图是解本题的关键． 19．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段为边，按下列要求画四边形，使得点C，D都在格点上． （1）图①中的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 （2）图②中的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形 （3）图③中的四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】（1）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可； （3）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可； 【详解】（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形，（画出一个即可） （2）如图所示：四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，（画出一个即可） （3）如图所示：四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 【点睛】本题考查画轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义并熟练掌握各特殊四边形的性质是解题关键． 20．（2022秋·广东潮州·九年级统考期末）如图，中，，点D在AB上，，，于点E，把绕点D旋转得，且点G，F在AC上． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得≌，进而可得，根据三个角是直角的四边形证明四边形CEDF是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可得证； （2）在中，根据勾股定理得根据等面积法即可求得，进而求得正方形的面积． 【详解】（1）∵， ∴． 由旋转得：，≌． ∴． ∵， ∴四边形CEDF是矩形． ∵， ∴四边形CEDF是正方形． （2）由（1）得：四边形CEDF是正方形， ∴． 由旋转得：≌，． ∴，． 在中，根据勾股定理得：． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．综合与实践 问题情境：学习《旋转》后，在数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，是边上中线，． (1)操作，将线段绕点A顺时针旋转至线段； (2)求证． 独立思考：请解答王老师提出的问题． 实践探究：数学活动小组同学解答完对上述问题后，连接了DE，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的结论．该小组提出下面的问题，请你解答． 问题解决： (3)连接，请在图中找出与线段相等的线段，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)AB，见解析 【分析】（1）分别以点A、点C为圆心，以长为半径画弧，两弧在下方交于点E，连接，即可； （2）根据得，根据旋转得，即可得； （3）根据，得为等边三角形，即可得，，连接DE，将绕点E顺时针旋转，得，连接，则，，，，即可得是等边三角形，即，根据角之间的关系得，根据得，根据D是的中点得，利用SAS可证，得，即可得． 【详解】（1）解：分别以点A、点C为圆心，以长为半径画弧，两弧在下方交于点E，连接，如图所示， 即就是所要求的线段； （2）证明：∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； （3） 证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 连接DE，将绕点E顺时针旋转，得，连接，如图所示， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，构造全等三角形． 22．（2022·四川眉山·校考一模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为； (2)以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数； (3)画出△ABC关于点B的中心对称图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据是边长为2的正方形对角线的长，然后利用点A平移找出点B即可； （2）分两种情况分析，以AB为腰不合要求，以AB为底，在AB的垂直平分线上在个点即可； （3）利用平移找出A1和C1点即可 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长都为1，根据勾股定理，小正方形对角线长为， 以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为 ∴边长为2的小正方形对角线的长为， ∴点向下2格，再向右2格得点B，如图 （2）解： 以AB=为底，腰长AC=BC=，或腰长AC′=C′B=，符合要求，如图； （3）解：点B向下3个向左1格的C1，点B向下2格，再向右2格得A1，连结A1C1， 则如图△ABC与△A1BC1是中心对称图形， 点B向右3格，再向上1格，得点C1′，点B向下2格，再向右2格得A1，，连结A1C1′， 则△ABC′与△A1BC1′是中心对称图形， 【点睛】本题考查网格作图与勾股定理，中心对称，等腰三角形，图形平移，掌握网格作图与勾股定理，中心对称，等腰三角形是解题关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．（2023春·天津和平·九年级专题练习）平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后的对应点． (1)如图(1)当时，求点的坐标； (2)如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标； (3)当时，求点的坐标(直接写出结果即可)． 【答案】(1) (2)，当取最小值时， (3) 【分析】（1）如图（1），过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．证明．即可求点的坐标； （2）如图（2），过点作轴，垂足为．根据勾股定理可得，根据，将解析式凑完全平方，根据非负数的性质求得最值即可求解； （3）根据BP，可得．因为，说明点在的延长线上．可得．联立方程组可得和的长，结合（1）进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：如图（1），过点作轴，垂足为， 过点作轴，垂足为． 四边形是正方形， ． ， ． 在中， ， ． ． 绕点顺时针旋转，得， ，， ， ， ， ． ，． ； （2）如图（2），过点作轴，垂足为． 绕点顺时针旋转，得， ，． ，， ， ． 在中，根据勾股定理， ， 整理得． ， ． 当取最小值时，有， ； （3）． 理由如下：如图(3)， 绕点旋转得到， ． ， ． ， 点在的延长线上． ． 由 解得：，． ， ， 同（1）：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$