专题03 全等三角形重难点题型汇编（十六大高频题型五大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题03 全等三角形重难点题型汇编 【题型01：全等图形的概念】...............................................................................................1 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】.........................................................................2 【题型03：全等三角形的性质-求长度】...............................................................................3 【题型04：全等三角形的性质-求角度】...............................................................................4 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】...........................................................................6 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】...........................................................................8 【题型07：判断三角形全等-SSS】.........................................................................................9 【题型08：判断三角形全等-SAS】..........................................................................................10 【题型09：判断三角形全等-ASA】........................................................................................12 【题型10：判断三角形全等-AAS】.......................................................................................13 【题型11：判断三角形全等-HL】...........................................................................................15 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】.........................................................................16 【题型13：角平分线的性质定理】.........................................................................................19 【题型14：角平分线的性质实际应用】...................................................................................20 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】...........................................................................21 【题型01：全等图形的概念】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 3．下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（  ） A．   B．     C．   D．   【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的对应边是 ． 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 1．如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 3．如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 4．如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，，，，，，则的长是 ． 6．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 1．如图所示的两个三角形全等，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，，则 ． 5．如图，若，，，则的度数是 ． 6．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 7．如图，，．若，，，则 ． 8．如图，．点落在上，且．则 ． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 1．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 4．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 5．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确的结论是 ．（填序号） 6．如图，，交于点，分别交，于点，，下列结论： ； ； ； 其中正确的是 ．（写出正确的序号） 7．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    8．已知中，，，点为的中点，点E、F分别为边AB、AC上的动点，且，连接EF，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④ 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 1．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 2．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 3．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 4．如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 5．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【题型07：判断三角形全等-SSS】 1．如图，已知、相交于O，，．求证． 2．如图，，，E，F是上的点，且，请你判断与的位置关系，并说明理由． 3．如图，已知．求证：． 4．如图，已知，求证：． 【题型08：判断三角形全等-SAS】 1．如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 2．如图，点是线段的中点，，．求证：． 3．如图，、相交于点E，，．求证． 4．如图，已知，，，求证： 5．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【题型09：判断三角形全等-ASA】 1．如图，点在线段上，，，．求证：． 2.如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 3.已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：． 4.如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【题型10：判断三角形全等-AAS】 1．如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 2．如图，，，且．求证：． 3．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 4．已知：如图，B，C，F，D在同一直线上，，求证：． 5．如图，已知：，，，求证：． 6．已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 7.如图，经过点于点于点E．求证：． 【题型11：判断三角形全等-HL】 1．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 2．如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 3．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 4．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 5．如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 5．如图，在和中，，，点在线段上（与，不重合），连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 6．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型13：角平分线的性质定理】 1．如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 2．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 4．在中，，平分交于点，，，则到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型14：角平分线的性质实际应用】 1．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 3．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 1．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，为的平分线，于，，，试说明：． 3．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 4．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 1．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图,＝＝于E． (1)求证：平分； (2)若＝＝4，求的长． 3．如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，有三个正方形，则图中有（   ）对全等的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 4．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 5．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 6．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3) 如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 8．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形重难点题型汇编 【题型01：全等图形的概念】...............................................................................................1 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】.........................................................................3 【题型03：全等三角形的性质-求长度】...............................................................................4 【题型04：全等三角形的性质-求角度】...............................................................................7 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】...........................................................................12 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【题型15：角平分线与全等三角形的综合】...........................................................................55 【题型01：全等图形的概念】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意； B：两个图形能完全重合，属于全等图形，故该选项符合题意； C：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意； D：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键． 根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 图形逆时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形，与是全等图形， 故选：D． 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（  ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等形的定义判断即可． 【详解】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等图形的定义：对应边相等，对应角相等的图形是全等图形，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题． 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 2．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 3．若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 1．如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选C． 3．如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 4．如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，，，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：5 6．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 1．如图所示的两个三角形全等，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的性质求出的度数即可． 【详解】解：由图和全等三角形的性质可知：； 故选：B． 2．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据全等三角形的性质并结合图形解答即可，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 3．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由得，再利用三角形的外角知识求． 【详解】， ， ． 故答案为：． 5．如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等． 根据三角形内角和及全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：． 7．如图，，．若，，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据全等三角形的性质，推出，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：， ， ，即， ． ， ． ， ， ． 故答案为40． 8．如图，．点落在上，且．则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应角相等）、对顶角的性质（对顶角相等）及三角形内角和定理．解题的关键是通过全等三角形的对应角关系和对顶角相等，结合三角形内角和定理进行角的等量代换，推导目标角度． 设与交于点P，利用全等得，推出；由全等得，结合对顶角；利用三角形内角和定理证得，得出． 【详解】设与相交于点P， ∵ ∴，即， ∴，又 ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 1．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①、③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 不一定成立，故②不符合题意． 综上可知，正确的有3个， 故选C． 2．如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到，证明，即可判断①，根据得到，即可判断②，根据得到，即可判断③，假设，推出，即可判断④． 【详解】解：∵的外角和内角的平分线交于点D． ∴ ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∴ ∴； 故②正确； 若，则， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 但根据已知条件无法证明， 故④不正确， 综上可知，①②③正确， 故选：C 【点睛】此题考查三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则①正确；设交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，则②正确；过点作于点，作于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， 由对顶角相等得：， ∴ ，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分，则结论③正确； 综上，正确的结论有①②③， 故选：D． 4．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用．由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 故结论①正确，结论④不正确； ∵， ∴， ∴，，结论②正确； ∴， ∴，结论③正确； 故答案为：④． 5．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质​，解题关键是明确元素对应关系的直观理解．先根据全等三角形的定义（顶点对应顺序），应用全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，然后逐一验证四个结论是否成立．结论①（）和结论③（）通过对应边相等直接判断；结论②（）通过对应角相等直接判断；结论④（）结合图形根据角的和差判断即可． 【详解】解： ​， ​ ，即（），． ​结论验证​： ​结论①​：， 和 是对应边（），故， ​正确； ​结论②​：， 是 ， 是 ，两者为对应角（），故，​正确； ​结论③​：， 和 是对应边（），故， ​正确； ​结论④​：， 是射线 与 的夹角，是射线 与 的夹角， 由全等性质，，，且 ， ，即，故， ​正确； 故答案为:． 6．如图，，交于点，分别交，于点，，下列结论： ； ； ； 其中正确的是 ．（写出正确的序号） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，，，，据此即可直接判断，； 由，根据角的运算即可判断； 由和得与的关系，再结合即可判断，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故结论正确，不一定正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故结论正确； 故答案为：． 7．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 8．已知中，，，点为的中点，点E、F分别为边AB、AC上的动点，且，连接EF，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④ 【答案】②④/④② 【分析】根据平角和三角形内角和定理判断①；连接AD，证明即可判断②；当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时，，即，即可判断③；，即可判断④． 【详解】 ； 故①错误； 连接AD， ∵，，∴， 又∵点为的中点，∴，，，即， 又∵，∴， 又∵，∴， 在和中，， ∴， ∴； 故②正确； ∵，∴， 则，故④正确； 当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时，，即； 故③错误； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 1．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 2．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 3．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 4．如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 5．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【详解】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 【题型07：判断三角形全等-SSS】 1．如图，已知、相交于O，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键；连接，再证明即可． 【详解】解：连接，如图∶ 在与中， ∴ ∴． 2．如图，，，E，F是上的点，且，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；利用证明，可得，进而利用平行线的判定即可解决问题．解决本题的关键是证明两个三角形全等． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质．根据三边对应相等的三角形全等证明，再全等三角形对应角相等可得，进而证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， 即． 4．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵在和中， ∴， ， ， ． 【题型08：判断三角形全等-SAS】 1．如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据，，即可证明． 【详解】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴． 3．如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 4．如图，已知，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据题意易求出，再结合，，利用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 5．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 【题型09：判断三角形全等-ASA】 1．如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，结合已知，，利用证明即可，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵点在线段上，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 在和中， ， ∴． 2.如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由即可得出． 【详解】证明：在和中， ． 3.已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，首先利用平行线的性质得出，进而利用全等三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明： ， ， 在和中，， ． 4.如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【题型10：判断三角形全等-AAS】 1．如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 2．如图，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据平行线的性质可得，，再利用全等三角形判定即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 3．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 4．已知：如图，B，C，F，D在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 5．如图，已知：，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 6．已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由平行线的性质推出，由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 7.如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型11：判断三角形全等-HL】 1．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 2．如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，由即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 3．如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 4．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 5．如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等． 利用＂HL＂判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明． 【详解】证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 2．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的关系证明三角形全等，再利用全等性质和内角和定理求解． （1）通过角的和差关系得到相等角，结合已知边和角，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等． （2）先利用全等三角形对应角相等，，再根据三角形内角和定理出的度数． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 4．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 5．如图，在和中，，，点在线段上（与，不重合），连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）直接根据角边角进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，过的中点D作，，垂足分别为点E、F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及等腰三角形，三角形内角和定理等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据，求出的值，然后根据三角形内角和即可求出． 【详解】（1）证明：， ． D是的中点， ． 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ， ， ， ， ， 中，， ． 8．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ． 【题型13：角平分线的性质定理】 1．如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据，，平分，得，故，再结合，，得，，在同一条直线上，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 同理， ∴ ∵， ∴，，在同一条直线上 ∴ 故选：D． 2．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于M，如图，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于M，如图，    由作法得平分， 而，， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，作于H，据此得到，由此计算三角形的面积． 【详解】解：作于H， ∵平分，是边上的高线，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 4．在中，，平分交于点，，，则到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过作于点，由平分，根据角平分线的性质得，则到的距离是，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴到的距离是， 故选：． 5．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于F， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型14：角平分线的性质实际应用】 1．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 2．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 3．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 1．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 2．如图，为的平分线，于，，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以求出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵为的平分线，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 4．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离即，再根据证明，从而得出； （2）设，则，再根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 5．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌； 由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则 【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D， ，， 在和中， ， ≌ （2）解：，， ， 由得≌， ， 于点F，于点E，且， 点D在的平分线上， 平分， ， 的度数是 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 1．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【详解】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 2．如图,＝＝于E． (1)求证：平分； (2)若＝＝4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质解决问题． （1）过点C作的垂线构造直角三角形，利用判定与全等，得到，再根据角平分线的判定定理证明平分； （2）由全等三角形性质得，利用判定与全等，得到，进而通过与的差值求出 的长． 【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F． ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点P作于点E，于点F，则，根据平分可知，根据图中各角的数量关系可得，可证明；利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：过点P作于点E，于点F，如图． ，． ． ， ． ． ． 平分，， ． 在和中 ， ． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 2．如图，有三个正方形，则图中有（   ）对全等的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的判定； 由正方形的性质得出，，，这些结论，再根据全等三角形的判定推出即可． 【详解】解：如图 ①在和中 ∴； ②在和中 ∴； ③在和中 ∴； 所以全等三角形有和，和，和，共3对； 故选：C． 3．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 4．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 5．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)1,1 (2) (3)y的值不发生改变．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，，即可求出； （2）①根据，可得，于是证明； ②作于，于，证，可得到为的平分线 ，利用外角即可求得； （3）连接，先求证，再根据，于是求出的面积为定值，因此得出y的值不发生改变． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； 故答案为：，， （2）解：①如图所示： ∵，，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ②作于，于 ∵在和中， ， ∴， ∴， 为的平分线 ， ， ， ， ； （3）解：y的值不发生改变，理由如下： 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ， 故y的值不发生改变． 8．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $