专题04 平行四边形重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题04 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................2 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................3 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................5 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................6 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................7 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................8 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................8【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................9【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................12 . 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】. 1．在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 3．如图，点在的边上，．若，，则的度数为（   ） A．75° B．80° C．90° D．105° 4．如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 8．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，则的长为（　　） A．15 B． C． D． 9．如图，在中，，是边上的高，点E在线段上，，且，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行四边形求面积】 11．如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 12．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，若△ADO的面积是 4，则平行四边形 ABCD 的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 13．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E，交于点，则平行四边形的面积是（   ） A．48 B．40 C．32 D．24 ，，，则平行四边形的面积是（    ） A． B．12 C． D．18 15．如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（    ） A．36 B．48 C．63 D．75 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 16．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，交于点．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．， C．， D．， 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 21．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 22．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 23．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 24．如图，在中，，，，点为上任意一点（不与点重合），以，为邻边作，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 25．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 27．如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 28．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=2，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【题型7 平行四边形的判定条件】 29．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 30．下列命题中，不正确的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 31．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 32．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 33．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 34．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 【题型9 平行四边形的判定与动点】 35．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 37．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 38．如图，在四边形中，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为．    (1)直接写出：__________，__________；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ 39．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 40．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 41．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 42．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 43．已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 44．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 45．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O．过点O作直线，分别交、于点E、F，连接、， (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 46．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一点，过点作，与线段的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长度． 47．如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................4 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................9 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................13 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................17 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................21 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................24 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................26 【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................28 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................34 . 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】. 1．在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 3．如图，点在的边上，．若，，则的度数为（   ） A．75° B．80° C．90° D．105° 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的边与角的性质是解题的关键． 先由平行四边形性质得，求出，再由与得，推出等腰，求，计算，最后由得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴， 是等腰三角形， ∴ ∵在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ ， ． 故选：C． 4．如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可知，则，即可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：D． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 7．如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的判定，即可得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， 根据作图可得平分， ， ， ， ． 8．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，则的长为（　　） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图得出平分，根据平行四边形的性质以及等角对等边得出相等的线段，最后利用勾股定理及其逆定理进行求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． 9．如图，在中，，是边上的高，点E在线段上，，且，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边中线定理，直角三角形两锐角互余，全等三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，垂直平分线的性质及勾股定理．取中点F，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再利用直角三角形斜边中线定理得出，进而得出，证明推导出平行关系，判定平行四边形，再利用垂直平分线性质和勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点F，连接、、， ∵在中，，是边上的高， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E在线段上，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和，求出，利用以及勾股定理求解长度. 【详解】解：设． ∵四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，解得， 即， ． ，， ． 根据勾股定理，得， 则， ． 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的相关知识点，解决问题的关键是熟练掌握这些知识点. 【题型3 利用平行四边形求面积】 11．如图，在平行四边形中，，是的中点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是（    ）平方厘米． A．10 B．12 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线平分面积的性质， 根据平行四边形的性质，可得，设，则，设点到的高为，根据三角形的面积为可得，由此可得，再根据三角形中线平分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，设点到的高为， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：C ． 12．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，若△ADO的面积是 4，则平行四边形 ABCD 的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】因为平行四边对角线互相平分，所以和是同底等高的三角形，即对角线所分得四个三角形面积相同即可求解． 【详解】∵平行四边对角线互相平分平行四边对角线互相平分， ∴，， 则和是同底等高的三角形，所以面积相等， 同理可得和面积相等， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的定义及同底等高三角形的判定，合理进行转换是解题关键． 13．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E，交于点，则平行四边形的面积是（   ） A．48 B．40 C．32 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，利用平行四边形的性质可证明，所以可得的面积为3，进而可得的面积为10，又因为的面积的面积，进而可得问题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 14．如图，在平行四边形中，，过点A作于G，作于H，，，则平行四边形的面积是（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，先证明，求解，再进一步求解即可. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ∴，，， ， ∴是等腰直角三角形，而， ， ， 平行四边形的面积是， 故选：A． 15．如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（    ） A．36 B．48 C．63 D．75 【答案】C 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以3即为平行四边形的面积． 【详解】解：平行四边形的周长为60， ， 设为x， ， ，解得：， 的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底高． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 16．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 17．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 18．如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 【详解】解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，交于点．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】连接OE，首先根据E点坐标以及勾股定理求出OE，再根据垂直平分线的性质以及平行四边形的性质，即可求出点C的坐标． 【详解】解：连接，如图， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， 由作法得垂直平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 点坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质以及勾股定理，准确作出辅助线是解决本题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 21．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 22．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 23．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 24．如图，在中，，，，点为上任意一点（不与点重合），以，为邻边作，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：设与的交点为O， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为3． 故选：A 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 25．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 26．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等角对等边．根据平行四边形的性质和折叠的性质可求出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在线段上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 27．如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，求出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：， ， 以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F， ， ， ， ， ， 即， 故选C． 28．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=2，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可知CD=AB=2，∠D=∠B=60°，△ACE是沿AC折叠后得到的，所以∠ACD=∠ACE=90°，可得CD=CE=2，AC=，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2，∠D=∠B=60°， ∵△ACE是沿AC折叠后得到的， ∴∠ACD=∠ACE=90°，CD=CE=2， ∴∠CAD=30°， ∴AD=4，AC=， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握相关性质． 【题型7 平行四边形的判定条件】 29．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 30．下列命题中，不正确的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形符合平行四边形的判定定理． ∴A命题正确，不符合题意； ∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形． ∴B命题错误，符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形符合平行四边形的判定定理． ∴C命题正确，不符合题意； ∵一组对边平行可推出同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组同旁内角也互补，进而得到另一组对边也平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ∴D命题正确，不符合题意． 31．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 32．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 33．已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 34．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2） 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2）， 故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况． 【题型9 平行四边形的判定与动点】 35．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 36．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度在上向点C运动，到C点后立即返回，动点Q从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点D运动．点，分别从点，同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒．求当t为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，一元一次方程的应用，若四边形是平行四边形，则．由题意知．再分两种情况：当点P从点B向点C运动，即时；当点P从点C向点B运动，即时；分别列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：若四边形是平行四边形，则． 由题意知． 当点P从点B向点C运动，即时， ，， ，． ， 解得． 当点P从点C向点B运动，即时， 则，， ， 解得． 综上，当或时，四边形是平行四边形． 37．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 38．如图，在四边形中，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为．    (1)直接写出：__________，__________；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)当或6时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）由点Q的速度可得，由可得； （2）由平行四边形的判定可知，当时，四边形为平行四边形，然后分情况列方程求出t值即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点A出发以的速度向点D运动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ①当点P从点B出发向点C运动时，则， ∵， ∴， 解得：； ②当点P沿方向继续运动时，则， ∵， ∴， 解得：， 综上，当或6时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了列代数式，平行四边形的判定，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 39．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，t的值为或 【分析】本题主要考查动点问题，代数式表示，平行四边形的判定，一元一次方程等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）根据速度，时间，路程之间的关系，利用代数式表示出，即可； （2）根据题意分两种情况讨论，当点P在线段上时，当点P在的延长线上时，结合平行四边形判定得到，再建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， 根据题意可知：，， ； 故答案为：，； （2）解：存在，连接， 当点P在线段上时， 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 当点P在的延长线上时，如图所示： 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 40．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 41．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 42．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 43．已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 45．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O．过点O作直线，分别交、于点E、F，连接、， (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质得，再根据证明即可； （2）先证明四边形是菱形，由，，根据菱形的性质，即可求得的长，继而求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一点，过点作，与线段的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】（1）先证明得到，再结合即可证明； （2）根据（1）的证明，平行四边形的判定方法可得四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质，三角形的外角和定理可得，可判定是等边三角形，再证明四边形是矩形，然后在中利用角的性质和勾股定理求解即可， 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，即， ∴，而， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，角直角三角形的性质，全等三角形三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定是解题的关键． 47．如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，得到，由中，，即可根据线段的和差得证结论； （2）设，则，根据勾股定理得到，，从而，代入数值即可求出，从而根据平行四边形的对边相等即可解得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，， ∴， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴在中，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $