精品解析：山东省枣庄市第十五中学2025年中考第二次模拟考试数学试题

山东省枣庄市2025年中考数学模拟试题 一．选择题（共10小题） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ） A. 24 B. C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 5. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，利用旋转的性质可知、，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证，根据和，可知，，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 6. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 7. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，，， 由题意得，，解得， 在中，，则， ， 则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键． 8. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，矩形的性质，设点坐标，根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 在中，当时，， ， 点横坐标为， 点横坐标为， 在中，当时，， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故选：A． 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 14. 如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可知，根据垂直平分线的性质可知，，根据平行线的性质可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线的性质可证，根据一组对边相等的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可以求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， 在和中，， ， ， 四边形平行四边形， 又是垂直平分线， ， 四边形是菱形， 在中，，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 设 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中，， 在中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式， 由可得， 将代入原式可得，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用． 18. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，理由如下， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 （3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 【小问3详解】 解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 【答案】（1），详见图示； （2），，； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可； （2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 本次调查的学生总数：（人）， D、书法社团的人数为：(人)，如图所示 故答案为：50； 【小问2详解】 由图知，， ∴，参加剪纸的圆心角度数为 故答案为：20，10， 【小问3详解】 用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下： 共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛， 故恰好选中小鹏和小兵的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率． 21. 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【小问1详解】 证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. 【小问2详解】 ∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . 【小问3详解】 连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 22. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【小问1详解】 将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答； （2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； （3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过作x轴的垂线，垂足为H， 令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）由得到，则，得到，则，，由折叠得：，，由，，得到，则，即可证明结论成立； （4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，， ，，， ， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点，     ∵， ∴ ， 四边形是矩形， ，， ， ∴， 由折叠得：，， ，， ， ∴ ∴； （4），理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025年中考数学模拟试题 一．选择题（共10小题） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ） A. 24 B. C. 25 D. 5. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则面积是（　　） A. B. C. D. 6. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 因式分解：_____________． 12. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 14. 如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则____ 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为 _______． 16. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________． 三．解答题（共8小题） 17. 已知，求代数式的值． 18. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 19. 要制作200个A，B两种规格顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 21. 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的值． 22. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $