专题01 三角形重难点题型汇编（十六大高频题型六大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题01 三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................2 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................3 【题型04：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】..................................................4 【题型05：定义，命题和证明】...............................................................................................6 【题型06：三角形的外角定理】..............................................................................................6 【题型07：全等图形的概念】.................................................................................................9 【题型08：全等三角形的性质】............................................................................................10 【题型09：全等三角形的性质-判断结论】.............................................................................12 【题型10：全等三角形的性质-动点问题】.............................................................................14 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】...........................................................................16 【题型12：角平分线的性质定理】.........................................................................................18 【题型13：角平分线的性质实际应用】...................................................................................19 【题型14：角平分线与全等三角形的综合】...........................................................................20 【题型15：垂直平分线的性质定理】...................................................................................21 【题型16：垂直平分线的性质的实际应用】...........................................................................22 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是 ． 【题型02：三角形中线与面积问题】 1．如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，三边上的中线，，相交于点，且．若的面积为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【题型03：三角形中线与周长问题】 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 3．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 4．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 5．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【题型04：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 1．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 2．如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 3．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 4．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 5．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 6．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【题型05：定义，命题和证明】 1．下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 2．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【题型06：三角形的外角定理】 1．如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 2．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是 ． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为 ． 4．如图，在中，若，，，，则 ． 5．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 6．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 7．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 8．（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______． （2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【题型07：全等图形的概念】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 3．下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（  ） A．   B．     C．   D．   【题型08：全等三角形的性质】 1．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 2．如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 3．如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，，，，，，则的长是 ． 5．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，，则 ． 8．如图，若，，，则的度数是 ． 9．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 10．如图，，．若，，，则 ． 【题型09：全等三角形的性质-判断结论】 1．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 4．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 5．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确的结论是 ．（填序号） 6．如图，，交于点，分别交，于点，，下列结论： ； ； ； 其中正确的是 ．（写出正确的序号） 7．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    8．已知中，，，点为的中点，点E、F分别为边AB、AC上的动点，且，连接EF，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④ 【题型10：全等三角形的性质-动点问题】 1．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 2．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 3．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 4．如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 5．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 5．如图，在和中，，，点在线段上（与，不重合），连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 6．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型12：角平分线的性质定理】 1．如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 2．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 4．在中，，平分交于点，，，则到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型13：角平分线的性质实际应用】 1．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 3．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【题型14：角平分线与全等三角形的综合】 1．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，为的平分线，于，，，试说明：． 3．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【题型15：垂直平分线的性质定理】 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是  （    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于E点，如果的周长为22．那么的周长是 ． 3．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 4．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长是，的周长是，则的长为 ． 【题型16：作图-垂直平分线】 1．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 2．如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，有三个正方形，则图中有（   ）对全等的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 4．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 5．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 6．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 8．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................3 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................6 【题型04：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】..................................................10 【题型05：定义，命题和证明】...............................................................................................16 【题型06：三角形的外角定理】..............................................................................................17 【题型07：全等图形的概念】.................................................................................................26 【题型08：全等三角形的性质】.............................................................................................28 【题型09：全等三角形的性质-判断结论】.............................................................................33 【题型10：全等三角形的性质-动点问题】.............................................................................41 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】...........................................................................47 【题型12：角平分线的性质定理】.........................................................................................53 【题型13：角平分线的性质实际应用】...................................................................................57 【题型14：角平分线与全等三角形的综合】...........................................................................59 【题型15：垂直平分线的性质定理】...................................................................................63 【题型16：垂直平分线的性质的实际应用】...........................................................................65 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握“两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边”是解题的关键． 根据构成三角形的条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则不能构成三角形，故不符合题意； B、，能构成三角形，故符合题意； C、，则不能构成三角形，故不符合题意； D、，则不能构成三角形，故不符合题意， 故选：B． 2．已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴偶数m的最大值是10． 故选：B． 3．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边满足“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”成为解题的关键． 首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边长为偶数求得第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边长 又∵第三边是偶数，则第三边是． 则三角形的周长是． 故选B． 4．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 【题型02：三角形中线与面积问题】 1．如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．利用三角形中线的性质计算即可． 【详解】解： 面积为8，D为中点， ， E为中点， ， 故选C． 2．如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据D是的中点，得到，由点是的中点，得到，再由即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 4．如图，三边上的中线，，相交于点，且．若的面积为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是推出阴影的面积与面积的关系．由三角形的面积公式得到，从而可得阴影部分的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴阴影的面积 故选：． 5．如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 【题型03：三角形中线与周长问题】 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵点D是边上的中点， ， 的周长为16， 的周长为11， ， 的周长的周长， 故选：A． 3．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线，由题意可．得，结合的周长为求出，即可得解 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：D． 4．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 5．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【题型04：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 1．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 4．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 6．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【题型05：定义，命题和证明】 1．下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平方根，平行线的性质与判定、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 【详解】解：A. 负数没有平方根，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，原命题是真命题，故该选项符合题意；     D. 连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举一个反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题． 【详解】解：A、4是偶数且是4的倍数，不符合题意； B、8是偶数且是4的倍数，不符合题意； C、10是偶数，但余2，不是4的倍数，符合题意； D、16是偶数且是4的倍数，不符合题意； 故选：C． 3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题与定理，正确得出命题的题设和结论是解题的关键．​​​​​​​根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【题型06：三角形的外角定理】 1．如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角可得，，，然后求和解答即可． 【详解】解：如图，设交点为O， 则，，， ∴， 故选：B． 2．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图 由题意得：， 则， 故答案为：． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的是等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 利用等腰直角三角形的性质求出，再利用对顶角和三角形的外角求解即可 【详解】解：如图所示， 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，若，，，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． 根据，求出，继而求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 6．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，垂直定义，等角的余角相等，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到， 由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 8．（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______． （2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析，（3），理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． （1）由三角形内角和定理得，，再根据即可得出、、、的关系式； （2）根据角平分线定义设，，由的结论得，，即，，即可得出，，之间的数量关系； （3）设，，则，，由（1）的结论得，，即，，由此即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2），，之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点， 设，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， 得：， ， （3），，之间的数量关系是：，理由如下： 设，， ，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， ， ， 整理得：． 【题型07：全等图形的概念】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意； B：两个图形能完全重合，属于全等图形，故该选项符合题意； C：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意； D：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键． 根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 图形逆时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形，与是全等图形， 故选：D． 4．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（  ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等形的定义判断即可． 【详解】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等图形的定义：对应边相等，对应角相等的图形是全等图形，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题． 【题型08：全等三角形的性质】 1．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选C． 2．如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 3．如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，，，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：5 5．如图，已知两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据全等三角形的性质并结合图形解答即可，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 6．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由得，再利用三角形的外角知识求． 【详解】， ， ． 故答案为：． 8．如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等． 根据三角形内角和及全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：． 10．如图，，．若，，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据全等三角形的性质，推出，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：， ， ，即， ． ， ． ， ， ． 故答案为40． 【题型09：全等三角形的性质-判断结论】 1．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①、③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 不一定成立，故②不符合题意． 综上可知，正确的有3个， 故选C． 2．如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到，证明，即可判断①，根据得到，即可判断②，根据得到，即可判断③，假设，推出，即可判断④． 【详解】解：∵的外角和内角的平分线交于点D． ∴ ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∴ ∴； 故②正确； 若，则， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 但根据已知条件无法证明， 故④不正确， 综上可知，①②③正确， 故选：C 【点睛】此题考查三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则①正确；设交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，则②正确；过点作于点，作于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， 由对顶角相等得：， ∴ ，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分，则结论③正确； 综上，正确的结论有①②③， 故选：D． 4．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一条直线上，则下列结论：①，②，③，④．不正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用．由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 故结论①正确，结论④不正确； ∵， ∴， ∴，，结论②正确； ∴， ∴，结论③正确； 故答案为：④． 5．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质​，解题关键是明确元素对应关系的直观理解．先根据全等三角形的定义（顶点对应顺序），应用全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，然后逐一验证四个结论是否成立．结论①（）和结论③（）通过对应边相等直接判断；结论②（）通过对应角相等直接判断；结论④（）结合图形根据角的和差判断即可． 【详解】解： ​， ​ ，即（），． ​结论验证​： ​结论①​：， 和 是对应边（），故， ​正确； ​结论②​：， 是 ， 是 ，两者为对应角（），故，​正确； ​结论③​：， 和 是对应边（），故， ​正确； ​结论④​：， 是射线 与 的夹角，是射线 与 的夹角， 由全等性质，，，且 ， ，即，故， ​正确； 故答案为:． 6．如图，，交于点，分别交，于点，，下列结论： ； ； ； 其中正确的是 ．（写出正确的序号） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，，，，据此即可直接判断，； 由，根据角的运算即可判断； 由和得与的关系，再结合即可判断，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故结论正确，不一定正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故结论正确； 故答案为：． 7．如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 8．已知中，，，点为的中点，点E、F分别为边AB、AC上的动点，且，连接EF，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④ 【答案】②④/④② 【分析】根据平角和三角形内角和定理判断①；连接AD，证明即可判断②；当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时，，即，即可判断③；，即可判断④． 【详解】 ； 故①错误； 连接AD， ∵，，∴， 又∵点为的中点，∴，，，即， 又∵，∴， 又∵，∴， 在和中，， ∴， ∴； 故②正确； ∵，∴， 则，故④正确； 当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时，，即； 故③错误； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 【题型10：全等三角形的性质-动点问题】 1．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 2．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 3．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 4．如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 5．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【详解】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 2．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的关系证明三角形全等，再利用全等性质和内角和定理求解． （1）通过角的和差关系得到相等角，结合已知边和角，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等． （2）先利用全等三角形对应角相等，，再根据三角形内角和定理出的度数． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 4．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 5．如图，在和中，，，点在线段上（与，不重合），连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）直接根据角边角进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型12：角平分线的性质定理】 1．如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据，，平分，得，故，再结合，，得，，在同一条直线上，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 同理， ∴ ∵， ∴，，在同一条直线上 ∴ 故选：D． 2．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于M，如图，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于M，如图，    由作法得平分， 而，， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，作于H，据此得到，由此计算三角形的面积． 【详解】解：作于H， ∵平分，是边上的高线，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 4．在中，，平分交于点，，，则到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过作于点，由平分，根据角平分线的性质得，则到的距离是，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴到的距离是， 故选：． 5．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于F， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型13：角平分线的性质实际应用】 1．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 2．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 3．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 【题型14：角平分线与全等三角形的综合】 1．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 2．如图，为的平分线，于，，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以求出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵为的平分线，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离即，再根据证明，从而得出； （2）设，则，再根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌； 由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则 【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D， ，， 在和中， ， ≌ （2）解：，， ， 由得≌， ， 于点F，于点E，且， 点D在的平分线上， 平分， ， 的度数是 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 【题型15：垂直平分线的性质定理】 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是  （    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于E点，如果的周长为22．那么的周长是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 线段垂直平分线的性质得到，由的周长为22得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：34． 3．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 4．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长是，的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由垂直平分线的性质可得，又由的周长和的周长即可求得答案． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于E，交于D， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型16：作图-垂直平分线】 1．如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 2．如图，有三个正方形，则图中有（   ）对全等的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的判定； 由正方形的性质得出，，，这些结论，再根据全等三角形的判定推出即可． 【详解】解：如图 ①在和中 ∴； ②在和中 ∴； ③在和中 ∴； 所以全等三角形有和，和，和，共3对； 故选：C． 3．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 4．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 5．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)1,1 (2) (3)y的值不发生改变．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，，即可求出； （2）①根据，可得，于是证明； ②作于，于，证，可得到为的平分线 ，利用外角即可求得； （3）连接，先求证，再根据，于是求出的面积为定值，因此得出y的值不发生改变． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； 故答案为：，， （2）解：①如图所示： ∵，，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ②作于，于 ∵在和中， ， ∴， ∴， 为的平分线 ， ， ， ， ； （3）解：y的值不发生改变，理由如下： 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ， 故y的值不发生改变． 8．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $