第1章 三角形（25个高频易错考点训练 共50题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册章节复习培优专项训练（2024新教材）

第1章 三角形（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：三角形折叠中的角度问题 2 易错考点02：根据三角形中线求长度 2 易错考点03：根据三角形中线求面积 3 易错考点04：与三角形的高有关的计算问题 3 易错考点05：三角形内角和定理的证明 4 易错考点06：三角形的外角的定义及性质 6 易错考点07：尺规作图—作三角形 7 易错考点08：用SSS证明三角形全等 8 易错考点09：全等的性质和SSS综合 8 易错考点10：用SAS证明三角形全等 9 易错考点11：全等的性质和SAS综合 10 易错考点12：用ASA(AAS)证明三角形全等 12 易错考点13：全等的性质和ASA(AAS）综合 13 易错考点14：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 14 易错考点15：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 14 易错考点16：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 15 易错考点17：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 16 易错考点18：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 18 易错考点19：全等三角形综合问题 19 易错考点20：线段垂直平分线的性质 20 易错考点21：作已知线段的垂直平分线 21 易错考点22：作垂线（尺规作图） 22 易错考点23：角平分线的性质定理 24 易错考点24：角平分线性质的实际应用 24 易错考点25：作角平分线（尺规作图） 25 易错考点01：三角形折叠中的角度问题 1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 易错考点02：根据三角形中线求长度 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 易错考点03：根据三角形中线求面积 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知D，E，F分别为，，的中点，且的面积为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 易错考点04：与三角形的高有关的计算问题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 易错考点05：三角形内角和定理的证明 9．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 易错考点06：三角形的外角的定义及性质 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动（点A、B均不与点O重合）． (1)如图1，，与的角平分线相交于点E，则的度数为______； (2)如图2，，与的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点E，延长至点G，的角平分线交射线于点F．点A、B在运动的过程中，试探索与之间的数量关系，并证明． 12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 易错考点07：尺规作图—作三角形 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 易错考点08：用SSS证明三角形全等 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 16．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 易错考点09：全等的性质和SSS综合 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在和上取；接着在上取．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．和的长度 D．和的长度 18．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 易错考点10：用SAS证明三角形全等 19．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 易错考点11：全等的性质和SAS综合 21．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3） 如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 易错考点12：用ASA(AAS)证明三角形全等 23．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 24．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 易错考点13：全等的性质和ASA(AAS）综合 25．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，D是线段上一点， 连接． (1)当平分时，如图1，作垂足为 E．写出线段与的数量关系，并证明； (2)当D是中点时，如图2，作垂足为F， 交于点E，连接．用等式表示线段的数量关系，并证明． 26．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （4） 小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 易错考点14：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点在线段上，且，添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 易错考点15：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 29．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 30．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 易错考点16：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 31．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3) 求． 32．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 易错考点17：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 33．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 34．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 易错考点18：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 35．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 36．（2025八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 易错考点19：全等三角形综合问题 37．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 38．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 易错考点20：线段垂直平分线的性质 39．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 40．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 易错考点21：作已知线段的垂直平分线 41．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 42．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 易错考点22：作垂线（尺规作图） 43．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． (1)尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 44．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2) 有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 易错考点23：角平分线的性质定理 45．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ． 46．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 易错考点24：角平分线性质的实际应用 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 48．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 易错考点25：作角平分线（尺规作图） 49．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (3) 求证： ． 50．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：三角形折叠中的角度问题 2 易错考点02：根据三角形中线求长度 3 易错考点03：根据三角形中线求面积 5 易错考点04：与三角形的高有关的计算问题 6 易错考点05：三角形内角和定理的证明 9 易错考点06：三角形的外角的定义及性质 11 易错考点07：尺规作图—作三角形 14 易错考点08：用SSS证明三角形全等 15 易错考点09：全等的性质和SSS综合 17 易错考点10：用SAS证明三角形全等 18 易错考点11：全等的性质和SAS综合 20 易错考点12：用ASA(AAS)证明三角形全等 24 易错考点13：全等的性质和ASA(AAS）综合 28 易错考点14：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 33 易错考点15：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 34 易错考点16：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 35 易错考点17：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 38 易错考点18：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 43 易错考点19：全等三角形综合问题 50 易错考点20：线段垂直平分线的性质 53 易错考点21：作已知线段的垂直平分线 55 易错考点22：作垂线（尺规作图） 57 易错考点23：角平分线的性质定理 59 易错考点24：角平分线性质的实际应用 61 易错考点25：作角平分线（尺规作图） 63 易错考点01：三角形折叠中的角度问题 1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键． 先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【规范解答】解：如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处， ，，， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 即， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【规范解答】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 易错考点02：根据三角形中线求长度 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 易错考点03：根据三角形中线求面积 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知D，E，F分别为，，的中点，且的面积为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了根据三角形中线求面积，先利用三角形中线的性质求出，再求出，，最后再求出即可． 【规范解答】解：∵点D是边的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．连结，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，可得，，所以可求得，同理进一步可推得，． 【规范解答】解：连结， 点D是的中点， ，， ， 即， 点E是的中点， ， 点F是的中点， ． 故答案为：6． 易错考点04：与三角形的高有关的计算问题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【规范解答】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析 (2)3或2 【思路引导】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识． （1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可． （2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案． 【规范解答】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 易错考点05：三角形内角和定理的证明 9．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【思路引导】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【规范解答】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【规范解答】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 易错考点06：三角形的外角的定义及性质 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动（点A、B均不与点O重合）． (1)如图1，，与的角平分线相交于点E，则的度数为______； (2)如图2，，与的角平分线相交于点E，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点E，延长至点G，的角平分线交射线于点F．点A、B在运动的过程中，试探索与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3) 【思路引导】本题考查三角形的内角与外角，角平分线有关的角的计算，掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得的度数； （2）与（1）同理，只是把内角平分线转化为外角平分线，借助外角的性质即可得结论； （3）根据内角和外角平分线的定义可得，，再利用可得结论． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ∵分别是和的角平分线， ， ， ， 故答案为：． （2）解：不会发生变化． ∵与的角平分线相交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：． 如图： ∵与的角平分线相交于点，的角平分线交射线于点F， ， 由外角的性质可得：， ∴， ∵，， ， ． 12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 【规范解答】（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 易错考点07：尺规作图—作三角形 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【思路引导】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【规范解答】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 作射线，在射线上截去，尺规作出，两线相交于点A，连接，则即为所求． 【规范解答】解：如答图，即为所求． 易错考点08：用SSS证明三角形全等 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【思路引导】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【规范解答】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 16．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【规范解答】解：， ，即， 在和中， ． 易错考点09：全等的性质和SSS综合 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在和上取；接着在上取．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．和的长度 D．和的长度 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键． 利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【规范解答】解：要证明和是否相等，得证明与是否全等， 当时， 在和中， ， ， 故可以测量和的长度来判断与是否全等， 故选：C． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【规范解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴ ， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 易错考点10：用SAS证明三角形全等 19．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【规范解答】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 易错考点11：全等的性质和SAS综合 21．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，最后再次利用三角形外角性质求出． 【规范解答】（1）证明：， ． 在与中， ， ． （2）解： ， ，． ． 22．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【思路引导】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【规范解答】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 易错考点12：用ASA(AAS)证明三角形全等 23．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 易错考点13：全等的性质和ASA(AAS）综合 25．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，，D是线段上一点， 连接． (1)当平分时，如图1，作垂足为 E．写出线段与的数量关系，并证明； (2)当D是中点时，如图2，作垂足为F， 交于点E，连接．用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． （1）延长交的延长线于点F，先证明，得到，再证明，则，即 ； （2）过点A作交延长线于点H，先证明．则，再证明，得到．那么． 【规范解答】（1）解：， 延长交的延长线于点F． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴； （2）解：， 过点A作交延长线于点H． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∴． ∴． ∵D是中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 26．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【规范解答】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 易错考点14：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点在线段上，且，添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定方法，由已知可得，进而根据三角形全等的判定方法逐项判断即可求解，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵点在线段上，且， ∴， 即， ∵， 若添加，两边及一边的对角相等，不能判定，故选项符合题意； 若添加，两边及其夹角相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 若添加，两角及一角的对边相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 若添加，两角及其夹边相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 故选：． 28．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定． 【规范解答】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 易错考点15：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 29．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【规范解答】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 30．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【规范解答】证明：， ，即 在与中 . 易错考点16：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 31．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得 ． 【规范解答】解：（1）如图，点M即为所求． （2）①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②判定的依据是． 故答案为：． （3）在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 32．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【思路引导】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【规范解答】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ② ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 易错考点17：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 33．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 34．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【答案】（1）B  （2）D  （3） （4） 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【规范解答】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 易错考点18：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 35．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 36．（2025八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】见解析 【思路引导】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【规范解答】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 易错考点19：全等三角形综合问题 37．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 38．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2． 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值． 【规范解答】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 则； 故答案为：； （2）当时， 则， 故， 解得：； （3）①如图1，当，则，， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：秒）． ②如图2，当，则，． ， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：； 综上所述：当秒或秒时与全等． 易错考点20：线段垂直平分线的性质 39．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键． （1）如图，分别以点A、点C为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可解决问题． （2）由题意得：，进而得到，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所作． （2）解：由题意得：， ∴， ∵的周长是， ∴． 40．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线交于点M，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长求解即可． 【规范解答】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图所示，连接，根据题意易知，是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 易错考点21：作已知线段的垂直平分线 41．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在四边形中，． (1)连接，作的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用基本作图作垂直平分线即可； （）连接，，设与交于点，由作图可知，，，通过平行线性质可得，然后证明，则有，再代入即可求证． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接，，设与交于点， 由作图可知垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 易错考点22：作垂线（尺规作图） 43．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． (1)尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题考查作垂线，平行线的判定和性质． （1）按要求作图即可； （2）根据平行线的判定和性质，结合已知过程逐步推导可得答案． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）证明：∵于点于点（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 又 ∵（已知）， ∴（等量代换）． 44．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)不一定，见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等． （1）根据解题思路作图即可； （2）通过题意画出相对应的线段即可得到不同的三角形． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）不一定，如图所示： 易错考点23：角平分线的性质定理 45．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，即可求解． 【规范解答】解：∵为的平分线，，， ∴， ∵，的面积为，， ∴， ∴． 故答案为： 46．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【规范解答】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 易错考点24：角平分线性质的实际应用 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【规范解答】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 48．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求； （2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可． 【规范解答】（1）如图，点即为所求， （2）设点到的距离为， 由（1）可知点到、、的距离相等 则 解得： 点到的距离为 【考点剖析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 易错考点25：作角平分线（尺规作图） 49．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证： ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【思路引导】此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． ①按照基本作图“作已知角的平分线”的要求作的平分线，交于点D即可； ②按照基本作图“作已知线段的垂直平分线”的要求作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点H即可． 因为垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，所以，而，，即可根据“”证明 【规范解答】（1）解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E，交于点F，垂足为点H， 线段及线段即为所求． （2）证明：垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H， ， 平分， ， 在和中， ， ． 50．（21-22八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【规范解答】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $