专题02 全等三角形压轴模型汇编（五大模型高频题型四大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题02 全等三角形压轴模型汇编 【题型01：一线三等角型】...................................................................................................1 【题型02：手拉手模型】......................................................................................................16 【题型03：半角模型】..........................................................................................................26 【题型04：对角互补模型】..................................................................................................31 【题型05：倍长中线法模型】..............................................................................................42 【题型01：一线三等角型】 1．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 2．如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使得点，，在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端的视线与居民楼顶墙的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 【答案】该居民楼的高度为28米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据以及可以推出，从而得到，进而计算出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又米，米， ∴（米）， ∴米， 答：该居民楼的高度为28米． 3．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 4．如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，理由见解析；②线段和线段长度相等，且互相垂直 (2)或 【分析】本题考查的是动态几何，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据题中条件，利用“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”判定； ②由可推出线段和线段长度相等，进一步可推出线段和线段互相垂直； （2）根据，确定若与全等，则需满足或，再列方程组求解即可． 【详解】（1）①，理由如下： ， ， 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当时，， ， ， ， ． ②线段和线段长度相等，且互相垂直，理由如下： ， ，， ， ， ， 线段和线段长度相等，且互相垂直． （2）由题知，，，，， ， ， 若与全等，则需满足或， 即或， 解得或， 当时，；或当时，． 5．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ，． ， ． 6．综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为 ，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由如下： (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 7．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 9．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）过点C作轴于F，证明，得出，，根据点C在第二象限，求出即可； （3）过点E作轴于G，证明，得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵点C在第二象限， ∴． （3）解：过点E作轴于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． 【题型02：手拉手模型】 1．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论成立，结论不成立，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 （1）根据求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到； （2）利用全等三角形的性质，得出，再得出，进行证明即可； （3）结论成立，结论不成立，同法可证，得出，，根据，得出与不垂直，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）条件改为，则结论成立，结论不成立， 理由：同法可证， ∴，． ∵， ∴与不垂直， ∴结论成立，结论不成立， 2．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 3．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ， 即， 在和中，， ， ； （2）解：∵， ， ， ． 4．如图，在和中，，，，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的内角和与外角性质等；掌握全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质是解题的关键． （1）由判定，即可得证； （2）先求出，，由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得 ，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 即：， ，， （）， ； （2）解： ， ， ， ， ． 5．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 6．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 【题型03：半角模型】 1．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，可证明，则可证明，得到，，再证明，进而证明，则，据此可得结论； （2）延长到点G，使，连接，可证明，再同（1）证明即可． 【详解】解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2）成立，理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）延长到点，使得，可证，，，再证，，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长到点，使得，可证，，，再证，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，同理可证，由此即可求解． 【详解】解：（1），理由如下， 如图所示，延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ∴，轴，则， ∴，则， ∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进， ∴，（海里），（海里）， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ （海里）， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型04：对角互补模型】 1．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 2．如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）过点作，根据角平分线的性质可得，先根据证，再根据证明，即可证明； （2）由（1）可知，则，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：10． 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 4．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 5．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．过点作交延长线于点，连接，利用证明，推出，，再利用证明，推出，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 6．如图，平分．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）过点C作的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再由，即可得出结论； （2）由（1）可得，，，从而可证，可得，再利用等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作的延长线于点F， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即；    （2）证明：由（1），，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质，作辅助线构造全等直角三角形是解题的关键． 【题型05：倍长中线法】 1．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 2．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) (4)作图见解析，证明见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形三边关系． （1）延长到E，使，连接，根据中线，得出，根据“边角边”即可证明． （2）根据，，，得出，在中，根据三角形三边之间的关系得：，即可得的取值范围； （3）根据，得出，结合，即可解答； （4）根据，得出，证明，即可得出． 【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，如图1所示： 是中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ； （3）解：， ， 又， ， ； （4）证明：如图2所示： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 3．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 4．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又 ，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又 ，， ， ， ； （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 5．【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 6．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 【答案】（1）3或5；（2）；（3）服务区的面积为 【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意，并结合三角形三边关系可得，即，结合边的长度为奇数，即可获得答案； （2）延长至点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，即可获得答案； （3）延长到，使得，连接，，证明，易得，，再证明，易得，，然后确定，即，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，，， ∵，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵边的长度为奇数， ∴的长为3或5． 故答案为：3或5； （2）如图②，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵， 易知， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图③，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即服务区的面积为． 7．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【答案】（1）B  （2）D  （3） （4） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 8．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，，，即可解答； （3）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，，，，再结合，可得到，可证明，可得，，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6 （3）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即的面积为8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 【答案】(1)，， (2) (3)1 【分析】（1）先根据，得出，，因为，整理得，再证明，故点的坐标为． （2）过点作轴于，与（1）同理证明，故，，因为的坐标为，点的坐标为，所以，，所以，即可作答． （3）作于E，得出，则（平行线之间距离处处相等），同理证明，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）解：过点作轴于， ， ， ， 在和中， ， ∴，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ， 点的坐标为， （3）解：； 如图③中，作于E， ∵， ∴ ∴（平行线之间距离处处相等） ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线之间距离处处相等，绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，点的坐标，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 3．中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； （2）平分，平分， ，， ； ， ； 作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 同理， ． 故答案为： 4．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形压轴模型汇编 【题型01：一线三等角型】...................................................................................................1 【题型02：手拉手模型】.......................................................................................................7 【题型03：半角模型】...........................................................................................................10 【题型04：对角互补模型】..................................................................................................12 【题型05：倍长中线法模型】..............................................................................................15 【题型01：一线三等角型】 1．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 2．如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使得点，，在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端的视线与居民楼顶墙的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 3．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 4．如图（1），．点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)如图（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由： ②判断线段和线段的关系，并证明你的结论． (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，直接写出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 6．综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为 ，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 7．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 9．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【题型02：手拉手模型】 1．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 2．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 3．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 4．如图，在和中，，，，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 6．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【题型03：半角模型】 1．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【题型04：对角互补模型】 1．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 2．如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 4．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 5．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 6．如图，平分．    (1)求证：； (2)求证：． 【题型05：倍长中线法】 1．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 2．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 3．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 4．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 5．【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 6．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 7．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 8．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 1．已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 3．中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 4．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $