专题01 三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形 题型1三角形的三边关系及其应用（常考点） 题型9全等三角形动态问题（难点） 题型2等面积法求相关线段（重点）（ 题型10添加条件使三角形全等（常考点） 题型3利用三角形的中线求面积（重点） 题型11选用合适的方法证明两个三角形全等（常考点） 题型4三角形的高、中线、角平分线综合 题型12全等三角形判定与性质综合（难点） 题型5与三角形内角、外角有关的角度计算问题（常考点） 题型13角平分线的性质与判定综合（重点） 题型6三角形折叠中的角度问题（难点） 题型14垂直平分线的性质与判定综合（重点） 题型7定义与命题（常考点） 题型15画角平分线/垂直平分线 题型8利用全等三角形的性质求解（常考点） 题型16本章涉及热考模型（难点） 题型一 三角形的三边关系及其应用（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意； B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）现有两根木棒，长度分别为和，若要搭成一个三角形，则第三根木棒的长度可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，即可求解． 【详解】解：两根木棒的长度分别为和， 若要钉一个三角架，第三根木棒的长度大于，小于， 则第三根木棒的长度可以为． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·月考）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 题型二 等面积法求相关线段（共3小题） 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 依据题意，由于E，于F，从而可得出，又一定，随着D的移动先减小再增大，则随着D的移动先增大后减小，即可得解． 【详解】解：于E，于F， 一定，随着D的移动先减小再增大， 随着D的移动先增大后减小． 故选：D． 7．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·月考）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 题型三 利用三角形的中线求面积（共4小题） 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．根据三角形中线的性质分别计算、，即得答案． 【详解】∵点是的中点， ∴是三角形中线， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点，同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分面积． 故选：B． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，点D是边上的一点，E，F分别是，的中点，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质求得，，继而根据，由即可求解． 【详解】∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线可知，，，，即可得解． 【详解】解：是边上的中线， ， 三角形试验田的面积为， ， 是的中点， ，， 栽种蔬菜的面积为． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 题型四 三角形的高、中线、角平分线综合（共5小题） 13．（23-24七年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键； （1）的面积为； （2）由题意得，进而得即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 【答案】（1）16；（2）． 【分析】本题考查了三角形中线与三角形的面积关系，角平分线的定义． （1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可； （2）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 16．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为80，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． （1）直接利用面积法进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵是的中线，， ∴， ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴； （2）在中，为它的一个外角，且，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，是角平分线，是高． (1)若，，，垂足为F，求的度数； (2)若，，求的度数（用含有α，β的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数，根据垂直的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵是角平分线， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵是角平分线， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 题型五 与三角形内角、外角有关的角度计算问题（共5小题） 18．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否表示直角三角形即可． 【详解】A、设，，，则，，，不是直角三角形，符合题意； B、，，，是直角三角形，不符合题意； C、，且，，，是直角三角形，不符合题意； D、，，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 19．（25-26八年级上·湖北恩施·月考）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则图中角的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查的知识点是垂直的定义、平行线的性质、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 由垂直的定义得到，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：重力的方向竖直向下， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，三角形外角性质和角平分线的性质．通过数形结合发现角与角之间的数量关系是解题的关键．如图，先计算出，则，，再根据角平分线的性质得到点D到和的距离相等，所以平分，即，接着利用三角形外角性质证明 【详解】解：如图，， ， ， ，， 平分， 点D到和的距离相等， 平分， 点D到和的距离相等， 点D到和的距离相等， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为： 22．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 题型六 三角形折叠中的角度问题（共5小题） 23．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 24．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，，则，从而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点P， ，， ， ， 故答案为：． 25．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 27．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 题型七 定义与命题（共4小题） 28．（25-26八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的反例为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝对值、假命题的概念解答．反例需满足但，只有选项D符合条件． 【详解】解：∵，， ∴； 但，， ∴， 故命题不成立，选项D为反例． 选项A、C中且，选项B中，均不满足反例条件． 故选：D． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 30．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理．根据对顶角的性质、平方运算，实数的运算法则和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，该选项符合题意； B、若，则，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，如和，它们的和就不是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； 故选：A． 31．（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 题型八 利用全等三角形的性质求解（共3小题） 32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 33．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据全等三角形对应角相等，得到，再根据平角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， 三个三角形全等， ， ，，， ， 故选：C． 34．（25-26八年级上·浙江温州·期中）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 题型九 全等三角形动态问题（共2小题） 35．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 36．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 题型十 添加条件使三角形全等（共2小题） 37．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握边边边、边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴添加时，运用“边角边”可证，故A选项不符合题意； 添加时，运用“斜边直角边”可证，故B选项不符合题意； 添加时，不能证明，故C选项符合题意； 添加时，运用“边边边”可证，故D选项不符合题意； 故选：C ． 38．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理处理． 【详解】解：．，无法得到，本选项符合题意； ．，根据可得到，本本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； ．，根据可得到，本选项不合题意； 故选：． 题型十一 选用合适的方法证明两个三角形全等（共3小题） 39．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了补充一个条件判定三角形全等．熟练掌握全等三角形判定定理，是解题的关键． （1）根据已知，，乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是， （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【详解】（1）乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 故答案为：；． （2）甲：∵，，， ∴； 乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 40．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 41．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 题型十二 全等三角形判定与性质综合（共5小题） 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 43．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1，在中，，于点D，在上取点E，连接，使得． (1)求证：． (2)如图2，连结并延长交于点F，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质及等腰三角形的判定是关键． （1）分别证明和，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再证明，即可通过等量代换列出方程求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 44．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据可知，再根据E是的中点，可证明； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下由，得到，再证明，得为的平分线，由勾股定理求的长，根据角平分线性质定理即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作于N，如图所示： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即点E到的距离为． 45．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边，在边上各取一点，分别为，使，连接相交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)１ 【分析】（1）由，，证明，得，由，即得； （2）延长到点D，使，连接，可得是等边三角形，证明,得，得，得，即得 ． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如解图，延长到点D，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 46．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用“角角边”证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，证明为等腰直角三角形，可 ，，再由是等腰直角三角形，以及，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 题型十三 角平分线的性质与判定综合（共3小题） 47．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 49．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （1）作于，根据角平分线的性质证明结论； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：如图所示，作于， 、分别为的两个外角平分线，，，， ，， ； （2）证明：由（1）， ∵，， 点在的平分线上． 题型十四 垂直平分线的性质与判定综合（共3小题） 50．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 51．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形外角的性质可求出答案； （2）根据三角形周长计算公式可推出，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解： ，， 垂直平分， 垂直平分， ， ，， ∵， ， ∵， ∴． （2）解： 的周长为，， ， ∵， 的周长为． 52．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型十五 画角平分线/垂直平分线（共2小题） 53．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图， (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作角平分线即可； （2）根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． 54．（15-16八年级上·浙江·期中）按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论） (1)如图，在中，是钝角． ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． (2)以格点为顶点分别按下列要求画三角形： ①在图①中，画一个三角形，使它的边长都是有理数． ②在图②中画一个直角三角形，使它的边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线、垂线及中垂线的基本作图和勾股定理的运用，要熟悉三角形的高、中线、角平分线的定义，还要熟悉角平分线、高、中线的作法，特别注意，钝角三角形钝角边上的高在钝角边的延长线上． （1）根据角平分线、垂线及中垂线的基本作图可得； （2）作、、的和、、的可得． 【详解】（1）解：（1）如图1，①即为所求； ②即为所求； ③直线即为所求； （2）（2）如图，即为所求； 如图，即为所求． 题型十六 本章涉及热考模型（共10小题） 55．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 56．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) ，； ； ，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图1，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图2，若把“”变成“点在的延长线上，”，，（），请用、的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键： （1）三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）三角形的内角和定理结合角平分线求出的度数，三角形的外角求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， 是的外角， ， ， ， ． 58．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 59．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 60．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，平分，过点O作分别交于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了角平分线的概念，三角形内角和，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是关键； （1）由三角形内角和可得；由角平分线的性质得，再由三角形内角和即可求解； （2）由平分及平行的条件可得，从而得的周长为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为 ． 即的周长为16． 61．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即得； （2）设交于，证明，可得，，即可得，即；而，故； （3）作，且，连接，，证明，可得，而，故． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ； （2）解：，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； （3）解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 62．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． (1)如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (3)等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，证明，则有，，又点坐标为，的坐标为，所以，，则，故点的坐标； （）同（）理可求解； （）分为点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （2）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （3）解：如图，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，过作轴于点， 同理可得：， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 综上可得：，，之间的关系为或． 63．（24-25八年级上·浙江温州·期中）通过对模型的研究学习，完成下列问题： (1)【模型呈现】如图1，在中，平分，于点D，求证：D点为的中点； (2)【模型应用】如图2，的面积为10，平分，于E，连结EC，则的面积为______；（直接写出答案） (3)【拓展提高】如图3，在中，，，点D是上一点（不与点B、）重合，，求的度数和的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)， 【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出结论； （2）延长，交的延长线于点F，由（1）得，，从而，，进一步得出结果； （3）作，交的延长线于点G，交AC于点O，可求得，，从而求得的值，可证明，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ∵ ， ， 是BC的中点． （2）解：如图1，延长，交的延长线于点F， 由得，点E是的中点，即， ，， ． 故答案为：5． （3）解：如图2，作，交CE的延长线于点G，交AC于点O， ，， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据三角形的中线求三角形的面积，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等图形图形． 64．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明见解析，；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据都是等边三角形，得出，由，证明，易证，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角形的性质即可求出的度数； （2）①根据角平分线的定义得到，再结合，，证明，得到，再证明，推出，得到，即可得出结论；②先证明，推出，求出，利用勾股定理求出，设，则，在中，求出，再根据的面积为即可解答． 【详解】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ； ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵和都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等时解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 题型1三角形的三边关系及其应用（常考点） 题型9全等三角形动态问题（难点） 题型2等面积法求相关线段（重点）（ 题型10添加条件使三角形全等（常考点） 题型3利用三角形的中线求面积（重点） 题型11选用合适的方法证明两个三角形全等（常考点） 题型4三角形的高、中线、角平分线综合 题型12全等三角形判定与性质综合（难点） 题型5与三角形内角、外角有关的角度计算问题（常考点） 题型13角平分线的性质与判定综合（重点） 题型6三角形折叠中的角度问题（难点） 题型14垂直平分线的性质与判定综合（重点） 题型7定义与命题（常考点） 题型15画角平分线/垂直平分线 题型8利用全等三角形的性质求解（常考点） 题型16本章涉及热考模型（难点） 题型一 三角形的三边关系及其应用（共5小题） 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）现有两根木棒，长度分别为和，若要搭成一个三角形，则第三根木棒的长度可以为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·月考）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若、、分别为三边，化简：． 题型二 等面积法求相关线段（共3小题） 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·月考）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 题型三 利用三角形的中线求面积（共4小题） 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，点D是边上的一点，E，F分别是，的中点，连接，，若，则的面积为 ． 11．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则 ． 题型四 三角形的高、中线、角平分线综合（共5小题） 13．（23-24七年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 16．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为80，，求的长； (2)若，，求的大小． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，是角平分线，是高． (1)若，，，垂足为F，求的度数； (2)若，，求的度数（用含有α，β的代数式表示）． 题型五 与三角形内角、外角有关的角度计算问题（共5小题） 18．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·湖北恩施·月考）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（25-26八年级上·浙江温州·期中）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则图中角的度数为 ． 21．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为 ． 22．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 题型六 三角形折叠中的角度问题（共5小题） 23．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是 ． 25．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 26．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 定义与命题（共4小题） 28．（25-26八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的反例为（  ） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 30．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 31．（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 题型八 利用全等三角形的性质求解（共3小题） 32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 34．（25-26八年级上·浙江温州·期中）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 题型九 全等三角形动态问题（共2小题） 35．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 36．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 题型十 添加条件使三角形全等（共2小题） 37．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，如果再添加一个条件，不一定能使的是（　　） A． B． C． D． 题型十一 选用合适的方法证明两个三角形全等（共3小题） 39．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 40．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 41．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 题型十二 全等三角形判定与性质综合（共5小题） 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 43．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1，在中，，于点D，在上取点E，连接，使得． (1)求证：． (2)如图2，连结并延长交于点F，当，时，求的长． 44．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 45．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边，在边上各取一点，分别为，使，连接相交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，求的值． 46．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 题型十三 角平分线的性质与判定综合（共3小题） 47．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 48．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 49．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，、分别为的两个外角平分线，于，于． (1)求证：； (2)求证：点在的平分线上． 题型十四 垂直平分线的性质与判定综合（共3小题） 50．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 51．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 52．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型十五 画角平分线/垂直平分线（共2小题） 53．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图， (1)在边上求作一点，使点到和的距离相等； (2)画的高．（不写作法，保留作图痕迹） 54．（15-16八年级上·浙江·期中）按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论） (1)如图，在中，是钝角． ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． (2)以格点为顶点分别按下列要求画三角形： ①在图①中，画一个三角形，使它的边长都是有理数． ②在图②中画一个直角三角形，使它的边长都是无理数． 题型十六 本章涉及热考模型（共10小题） 55．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 56．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 57．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图1，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图2，若把“”变成“点在的延长线上，”，，（），请用、的代数式表示． 58．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 59．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 60．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，平分，平分，过点O作分别交于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 61．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 62．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． (1)如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (3)等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 63．（24-25八年级上·浙江温州·期中）通过对模型的研究学习，完成下列问题： (1)【模型呈现】如图1，在中，平分，于点D，求证：D点为的中点； (2)【模型应用】如图2，的面积为10，平分，于E，连结EC，则的面积为______；（直接写出答案） (3)【拓展提高】如图3，在中，，，点D是上一点（不与点B、）重合，，求的度数和的值． 64．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $