专题01 勾股定理重难点题型汇编（十九大高频题型六大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题01 勾股定理重难点题型汇编 【题型1勾股定理解三角形】.......................................................................................................1 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】.........................................................................4 【题型3勾股数（树）问题】........................................................................................................7 【题型4以弦图为背景的计算】.....................................................................................................8 【题型5勾股定理的逆定理】.........................................................................................................14 【题型6勾股定理的的逆定理应用】..........................................................................................17 【题型7求梯子滑落高度】..........................................................................................................22 【题型8求旗杆高度】..................................................................................................................25 【题型9求小鸟飞行距离】............................................................................................................27 【题型10求大树折断前的高度】................................................................................................29 【题型11解决水杯中筷子问题】.................................................................................................31 【题型12解决航海问题】............................................................................................................33 【题型13求台阶上地毯长度】....................................................................................................37 【题型14判断汽车是否超速】...................................................................................................39 【题型15判断是否受台风影响】...............................................................................................40 【题型16选址使到两地距离相等】...........................................................................................45 【题型17风吹荷花问题】...........................................................................................................47 【题型18垂美四边形问题】......................................................................................................49 【题型19 最短路径问题】.........................................................................................................50 【题型1勾股定理解三角形】 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：B 2．如图，阴影长方形的面积是，则BC的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握长方形面积公式，勾股定理，是解题的关键． 根据长方形面积和宽求出长，再运用勾股定理即可求出长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D， 3．如图，在中，，D为上一点．若的面积为90，则的长是（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：∵，的面积为90， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】过C点作于点，连接，根据勾股定理求出的长，再除以鱼的速度即可得解． 本题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米， 秒． ∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处． 故选：B． 5．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． ∴学生沿着走比原来少走． 故答案为：40． 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：正方形的面积为：，正方形的面积为：； 在中，， 又 ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理. 根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 故选：A． 3．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：A 4．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形边长的平方等于它的面积，以及勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 结合图形，且数字代表所在正方形的面积，正方形的边长的平方等于它的面积 ∴ 即A所代表的正方形的面积为32， 故答案为：32． 5．新情境  又到了一年一度的中秋节，公园的园艺师按如下方法新建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形的三边为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边，则摆放菊花的三个半圆的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记定理与圆的面积的求法是解题的关键．根据勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积为三个半圆的面积之和即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为， 故答案为： 【题型3勾股数（树）问题】 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 2．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 3．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 【题型4以弦图为背景的计算】 1．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 2．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 3．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 4．如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 【答案】(1)20 (2)①4，96；②196 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，全等三角形的性质，熟知勾股定理和完全平方公式是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，，则可由勾股定理得到，据此可得答案； （2）①根据题意可得，则，则由正方形面积计算公式可得正方形的面积，由勾股定理可得，则，据此求出的值即可得到答案；②根据列式求解即可． 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可得，， 在中，由勾股定理可得， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴正方形的面积为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个直角三角形的面积和为； ②． 5．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）， ， ； （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型5勾股定理的逆定理】 1．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（    ） A． B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．注意掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 根据题意利用判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方进行分析即可． 【详解】解： A、，故A选项不能构成直角三角形； B、，故B选项不能构成直角三角形； C、，故C选项不能构成直角三角形； D、，故D选项能构成直角三角形． 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接，由勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根据计算即可得解，熟练掌握勾股定理与勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：连接， 在中，， 所以， 在中，因为， 所以， 所以， 故 ． 3．定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 【答案】(1)是．理由见解析 (2)的长为或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论． （1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方，即可求解； （2）分两种情况进行讨论：当为斜边时，当为斜边时，结合勾股定理分别计算即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴以，，为边的三角形是直角三角形， ∴点M，N是线段的勾股分割点； （2）解：设， ∵，， ∴， ①当为斜边时， 依题意，得， 即， 解得； ②当为斜边时， 依题意，得， 即， 解得； 综上所述，的长为或． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题： (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求BC边上的高． 【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析 (2)BC边上的高为2 【分析】(1)根据正方形小方格边长为1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形． (2)设BC边上的高为h，根据面积公式，用正方形的面积减去三个三角形面积可以求出△ABC 的面积． 【详解】（1）△ABC是直角三角形，理由： ∵正方形小方格边长为1， ∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25． ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）设BC边上的高为h， △ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5， ×h×5＝5； ∴h＝2． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此题的关键． 【题型6勾股定理的的逆定理应用】 1．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．    (1)求的长度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)5米； (2)直角三角形； (3)24； 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （3）由，结合三角形面积公式解答； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）是直角三角形， ， ， ， 是直角三角形； （3） （平方米）；　 即阴影部分面积为24平方米． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，勾股定理逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形；勾股定理：直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方；是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 3．在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 4．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)5880元 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． (3) 根据面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为12米． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． （3）解：根据题意，得（元）． 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“神鹰”号每小时航行，它们离开港口三个半小时后分别位于点，处，且相距． (1)试判断的形状； (2)如果知道“神鹰”号沿北偏西方向航行，你知道“远洋”号沿哪个方向航行吗? 【答案】(1)直角三角形 (2)北偏东方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方向角的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据路程速度时间，计算得出、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得解； （2）由题意可得，由（1）知，求出，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ， 为直角三角形． （2）解：“神鹰”号沿北偏西方向航行， ∴， 由（1）知， ， “远洋”号沿北偏东方向航行． 【题型7求梯子滑落高度】 1．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 2．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中，因为， 所以， 所以． 在中，因为， 所以， 所以， 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 3．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 【题型8求旗杆高度】 1．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗轩的高度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设旗杆的高度为，则长为，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则长为， 在中，，， ∴， 解得． 答：旗轩的高度为． 2．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【答案】(1)； (2)17米 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 3．如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，，由勾股定理得，求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则，， 由勾股定理得，即， 解得，即， 由勾股定理得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 【题型9求小鸟飞行距离】 1．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 2．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 【题型10求大树折断前的高度】 3．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 4．如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．设长为x尺，则尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：设长为x尺，则尺， 在中，尺， ， ， 解得：， 则折断处离地面（即）的高度是尺． 故答案为：． 5．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【题型11解决水杯中筷子问题】 1．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 2．如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 【答案】A 【分析】要使露在水杯外面的筷子长度最小，那么筷子在水杯内的长度应最长，此时筷子在水杯内的长度可看作是底面直径与高构成的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出此斜边长度，再用筷子总长度减去该长度即可得到的最小值． 【详解】解：根据勾股定理（其中为直角三角形斜边，、为两直角边）， 水杯底面直径，高度， 筷子在水杯内的最长长度， 筷子长， 露在水杯外面的筷子长度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，关键是理解当筷子在水杯内长度最长时（即构成直角三角形斜边时），露在外面的长度最小． 3．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 【题型12解决航海问题】 1．如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 2．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 3．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 4．某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里 (2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 【题型13求台阶上地毯长度】 1．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边． 【详解】解：如图： （米），（米）， （米）， ∴地毯长（米）． 故答案为：7． 2．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【题型14判断汽车是否超速】 1．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 2．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 3．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 【题型15判断是否受台风影响】 1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 2．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 3．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 【题型16选址使到两地距离相等】 1．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距 处 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：．             答：点应建在距 处． 2．如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 3．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 【题型17风吹荷花问题】 1．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为(尺)． 故答案为：12． 2．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置水平距离有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 【答案】荷叶的高度为米，水面的深度为米． 【分析】设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，在Rt△OBC中，利用勾股定理得：（x﹣1）2+22＝x2，解方程即可． 【详解】解：设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，BC＝2米， 在Rt△OBC中，由勾股定理得： OC2+BC2＝OB2， ∴（x﹣1）2+22＝x2， 解得x＝， ∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米）， 答：荷叶的高度为米，水面的深度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建立方程是解题的关键． 【题型18垂美四边形问题】 1．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，进而根据，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ； 故答案为： 【题型19 最短路径问题】 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 4．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理． 根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵， ∴最短距离为． 故答案为：． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 1．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【答案】39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 2．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 3．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 4．如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 【答案】（1）（2） （3） 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明， 得到，，，根据勾股定理的逆定理，证明．根据勾股定理解答即可． （3）延长到点Q；使，连接，先证明，再证明，得到直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （2）解：延长到点G；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵． ∴． ∴， 故． （3）解：延长到点Q；使，连接． ∵点D是的中点，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 5．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)或2 (4)或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 6．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得 ，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得： ， ； 综上所述，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理重难点题型汇编 【题型1勾股定理解三角形】.......................................................................................................1 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】.........................................................................3 【题型3勾股数（树）问题】........................................................................................................4 【题型4以弦图为背景的计算】.....................................................................................................4 【题型5勾股定理的逆定理】.........................................................................................................7 【题型6勾股定理的的逆定理应用】..........................................................................................8 【题型7求梯子滑落高度】..........................................................................................................10 【题型8求旗杆高度】..................................................................................................................11 【题型9求小鸟飞行距离】............................................................................................................13 【题型10求大树折断前的高度】................................................................................................13 【题型11解决水杯中筷子问题】.................................................................................................14 【题型12解决航海问题】............................................................................................................15 【题型13求台阶上地毯长度】....................................................................................................17 【题型14判断汽车是否超速】...................................................................................................18 【题型15判断是否受台风影响】...............................................................................................19 【题型16选址使到两地距离相等】...........................................................................................21【题型17风吹荷花问题】...........................................................................................................22 【题型18垂美四边形问题】......................................................................................................23 【题型19 最短路径问题】.........................................................................................................23 【题型1勾股定理解三角形】 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（    ） A．23 B．17 C．18 D．19 2．如图，阴影长方形的面积是，则BC的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为上一点．若的面积为90，则的长是（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 4．晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 5．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走 ． 【题型2以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 2．如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 4．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ． 5．新情境  又到了一年一度的中秋节，公园的园艺师按如下方法新建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形的三边为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边，则摆放菊花的三个半圆的面积为 ． 【题型3勾股数（树）问题】 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 2．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 3．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【题型4以弦图为背景的计算】 1．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 2．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 3．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 4．如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 5．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【题型5勾股定理的逆定理】 1．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（    ） A． B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15 2．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 3．定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题： (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求BC边上的高． 【题型6勾股定理的的逆定理应用】 1．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．    (1)求的长度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积． 2．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 3．在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 4．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“神鹰”号每小时航行，它们离开港口三个半小时后分别位于点，处，且相距． (1)试判断的形状； (2)如果知道“神鹰”号沿北偏西方向航行，你知道“远洋”号沿哪个方向航行吗? 【题型7求梯子滑落高度】 1．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 2．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 3．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【题型8求旗杆高度】 1．数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 2．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 3．如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【题型9求小鸟飞行距离】 1．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 2．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【题型10求大树折断前的高度】 3．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 5．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【题型11解决水杯中筷子问题】 1．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 3．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【题型12解决航海问题】 1．如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 2．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 3．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 4．某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【题型13求台阶上地毯长度】 1．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米． 2．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型14判断汽车是否超速】 1．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 2．为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 3．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【题型15判断是否受台风影响】 1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 2．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 3．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【题型16选址使到两地距离相等】 1．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 2．如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 3．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【题型17风吹荷花问题】 1．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 2．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置水平距离有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 【题型18垂美四边形问题】 1．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 【题型19 最短路径问题】 1．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 2．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 4．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 1．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 2．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 3．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 4．如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 5．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 6．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $