5.2算术平方根 课件 2025--2026学年青岛版数学八年级上册

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理： 温故而知新 直角三角形的性质： 1.直角三角形的两个锐角互余； 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 3.勾股定理的逆定理： A B C 在△ABC 中 几何语言： ∵a2+b2=c2 ∴△ABC 是直角三角形 创设情境 导入新课 已知直角三角形两边的长分别是3和4,求第三边的长。 解:当第三边是斜边时,第三边长的平方为32+42=25; ∴第三边长是5 当第三边为直角边时,第三边长的平方为42-32=7。 哪个数的平方等于7？如何求出这个数？ 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.2 算术平方根 已知正方形的边长，利用平方运算可求得它的面积。反过来，已知正方形的面积，如何求它的边长？请同学们独立完成下列表格 探究一 算术平方根的意义 观察与发现 你是怎样求出来的？与同学交流。 上面运算的实质就是已知一个正数的平方，求这个数。 探究一 算术平方根的意义 归纳与总结 算术平方根的定义： 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根。 a的算术平方根记作 读作“根号a”。 算术平方根 读作：根号 被开方数 探究一 算术平方根的意义 概念的理解 如果x2=7(x>0)，那么x叫作 的算术平方根，即x= . 2的算术平方根记作 ，3的算术平方根记作 . 例如,因为22=4,所以2是4的算术平方根,即 =2. 因为52=25,所以 是 的算术平方根,即 = . 任何数都有算术平方根吗? 思考与交流 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根。 a＞0 特别规定：0的算术平方根是0，即=0 只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根; 探究一 算术平方根的意义 因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有算术平方根。 正数有一个正的算术平方根, 0的算术平方根是0, 负数没有算术平方根。 探究一 算术平方根的意义 概括与表达 算术平方根等于它本身的数只有0 和1. （1）4的算术平方根记作______,是______ （2）81的算术平方根记作______，是______ （3）的算术平方根记作______，是______ （5） 0.04的算术平方根记作_____，是______ 2 9 0.2 3 探究一 算术平方根的意义 例1、 求下列各数的算术平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.09； (4) 104 ；（5）17. 解：(1) ∵102＝100，∴100的算术平方根＝10； (2) ∵ ，∴ 的算术平方根＝； (3) ∵0.320.09，∴ 0.09的算术平方根＝0.3； (4) ∵，∴ 的算术平方根. 例题解析 （5）17的算术平方根是 一个正数算术平方根的求法 1、定义法： 如果某个有理数的平方等于这个正数, 那么这个正数的算术平方根就是某个有理数。 2、符号法： 如果 没有有理数的平方等于这个正数时, 那么这个正数的算术平方根就用 表示。 方法归纳 探究一 算术平方根的意义 (1)1; (2)64; (3)0.36; （4）13；(5) 1.求下列各数的算术平方根： 巩固练习 例2、已知一个圆形花坛的面积是64πm2,它的半径是多少m? 解:设圆形花坛的半径为xm。根据题意,得 由算术平方根的意义可知x= =8。 πx2=64π, 所以x2=64。 所以,圆形花坛的半径为8m。 例题解析 2.铺装一间面积为32m2 的办公室的地面,恰好用完大小相同的50块正方形地板砖。每块地板砖的边长是多少? 巩固练习 表示的意义具有双重性，既可表示运算， 即求a的算术平方根. 也可表示运算结果，即a的算术平方根. 1.具有什么特性？ ①被开方数a是非负数，即a≥0; ②算术平方根是非负数，即≥0. 思考与交流 具有双重非负性: 探究二 算术平方根的性质 例题解析 例3、 (1)已知 a、b两数满足+=0, 则ab= ; (2)已知 x、y两数满足y=++3 则2x+3y= . 8 17 3.已知(x-2)2+|y-3|+=0, 求2x-3y+z的值 巩固练习 2.根据算术平方根的定义，， 分别等于多少？你能得到什么结论？ 解：根据算术平方根的定义，得， 探究二 算术平方根的性质 思考与交流 a (a≥0)． - a (a≤0)． 2 例题解析 2 3 3 7 7 ≥ ≤ ±4 ±5 π-3 ≤4 4.填空 巩固练习 3.根据算术平方根的定义，，分别等于多少？ 有意义吗？ 解：根据算术平方根的定义，得，. 没有意义. 你有什么猜想？你能说明理由吗？ 猜想：()2a(a≥0)． 理由如下：根据算术平方根的定义，如果x2＝a (a≥0)， 那么x＝(a≥0)，把x＝代入得，()2＝a (a≥0). 探究二 算术平方根的性质 思考与交流 4.()2，的区别与联系： 探究二 算术平方根的性质 思考与交流 ()2 区 别 运算 顺序 a的取值范围 联系 先求算术平方 根，再平方 先平方，再求算 术平方根 a ≥ 0 任何数 当a ≥ 0 时，()2＝ 例5.计算：(1)()2；(2)；(3). 解题秘方：根据()2＝a(a ≥ 0)，＝|a|计算. 解：(1)()2＝7； (2)＝||＝； (3)＝|－0.1 |＝0.1 . 另解 (2)＝＝； (3)＝＝0.1. （2）（3）还有其它解法吗？ 例题解析 5.填空： （1）________； （2）________； （3）________； （４）________． 9 5 5 巩固练习 一个正数与它的算术平方根相比,哪个数较大? 探究与挑战 当正数x>1时，正数大于它的算术平方根; 当正数x=1时，正数等于它的算术平方根; 当正数0<x<1时，正数小于它的算术平方根。 本节课你有什么收获？ 的算术平方根是( ) A A. B. C.3 D. 2.已知的算术平方根是3，，则 的算术平方根是 . 9 当堂检测 29 2.求下列各数的算术平方根： 解：∵ 92＝81，∴81的算术平方根＝9； 0的算术平方根＝0； ∵ ＝，∴ 2的算术平方根＝； 81， 0，2 ，106，0.81 ． ∵，∴ 的算术平方根； ∵ 0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根＝0.9． 4.若，则以， 为边长的等腰三角 形的周长为________. 11或13 31 $