湘豫名校2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷

姓 名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年9月高三秋季入学摸底考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后 认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写 在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.若复数之=2十3i,则之·之= A.13 B.√13 C.5 D.5 2.已知集合A={y|y=cosx},B={x|0≤x≤2π}，则A∩B= A.[-1,1] B.[0,1] c.⑦ D.[1,2π] 3.已知样本数据7,8,6,10,6,5,9,12，则该组数据的第60百分位数为 A.6 B.7 C.8 D.9 4.与圆x2+y2=1外切，同时与圆x2+y2-6x一27=0内切的圆的圆心在 A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上 5.在等差数列{a,}中，公差d≠0，若总。：=5(a十a4十a6),则k= 1 A.8 B.12 大 C.16 D.18 数学试题第1页（共6页） 扫描全能王创建 6.已知f(x)在R上可导，则'(1)= A.lim f(1-△.x)-f(1) f(1+△x)-f(1) B.lim △x Ax-+0 △x △0 f(1+△x)-f(1-△x) f(1)-f(1-△x) C.lim D.lim △x-+0 -2△x △x+0 2△x 7如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3,MC=2,则 MN.(MB-MC)= A号 9 7 C 8定义在R上的丽数c)的图象关于点[合，)对聚，且有fe)=2(信)，当 1 0≤x1<x2≤1时，恒有f(x1)≤f(x2),则f 2025 1 B64 话 D.256 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于点 H,则 D C A.直线A1B与DC所成的角为60 B.B1D⊥平面A1BC1 C.BH:HD=1:3 D.H为△A1BC1的垂心 10.已知a,3均为锐角，且2sin(a+B)=3sin(a-B),则 A.tan a=5tan B B.5tana=tanβ C若a十B=买，则tan月=-3 D.tan(a一9)的最大值为 5 数学试题第2页（共6页） 扫描全能王创建 1.已知数列1a,}满足a1=1-a≥2》，则 A.a2=4 B.an≤n2(n∈N*) C.n2am+1-(n+1)2an=n2+2n+1(n≥2，n∈N) D(+++<2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=3√6sinx十3√2cosx的图象的一条对称轴方程是 13.有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10 个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色 的球时结束则最后只剩红球的概率为 14.已知B是抛物线y2=4x上一点，过点B的两条互相垂直的直线分别交抛 物线于A,C两点（异于点B).若直线AC恒过点P(5,2),则|BP|= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4b2=9ac,B= (1)求证：4(a2+c2)=13ac; (2)求sinA+sinC的值. 数学试题第3页（共6页） 扫描全能王创建 16.(本小题满分15分) 某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机 选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100 分)： 睡眠质量得分 高于85分 不高于85分 合计 是否定期锻炼 定期锻炼 15 5 20 不定期锻炼 5 25 30 合计 20 30 50 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质 量得分高于85分”有关联？ (2)从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期 锻炼”的人数X的分布列. 附：X2= n(ad-bc)2 a+b)(c+d)(a+c)(6+),其中n=a+b十c+d. X2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ia 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 器 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ae2x-x,g(x)=(2-a)e. (1)当a=1时，求y=f(x)在x=0处的切线方程. (2)记h(x)=f(x)-g(x),若h(x)有两个零点. (i)求实数a的取值范围； im求证：hh>0, 18.(本小题满分17分) 如图，正四棱锥P-ABCD中，Q是棱PC的中点，H是底面ABCD的中 心.过AQ作平面与棱PB,PD分别交于不同的点E,F(可以是端点). (1)求证：AQ,PH,EF三线交于一点； (2)若AB=2,PA=√1T. (i)求直线AQ与平面PAB所成角的正弦值； (ii)求多面体AEQFP的体积的取值范围. D H 器 扫描全能王创建 19.（本题满分17分) 已知双曲线下，x,=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率为士1，且实轴长 y2 为2. (1)求Γ的标准方程； (2)若T与直线l1:y=kx十m(k≠士1)有唯一的公共点M,过点M且与l1 垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时， 点N(x,y)的轨迹为曲线E. ()求曲线E的方程； (ii)过点Q(0,1)的直线l2与曲线E交于C,D两点，且点C,D分别位 于y轴两侧，设E在点C,D处的切线交于点P,求△PCD面积的最 小值. 附：双曲线2 a一62=1(a>0,b>0)上任一点(xo,yo)处的切线方程为 xox_yy=1(a>0,b>0); 2 椭圆十=1(ab0)上任一点(x0y0)处的切线方程为0士 68=1(a>6>0). yoy 器 扫描全能王创建