专题03 圆锥曲线中的离心率问题九大重点题型（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线中的离心率问题九大重点题型（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率】 2 【类型2 利用椭圆、双曲线中的焦点三角形求离心率】 3 【类型3 构造齐次式求离心率】 3 【类型4 利用余弦定理求离心率】 4 【类型5 斜率乘积求离心率】 5 【类型6 离心率的和差商积问题】 6 【类型7 离心率的最值与范围问题】 7 【类型8 以三角形四心为载体的离心率问题】 7 【类型9 圆锥曲线与圆交汇的离心率问题】 8 知识点1 圆锥曲线的离心率及其求解方法 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: 方法1：直接求出a, c，利用离心率公式求解. 方法2：由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. 方法3：构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 方法1：直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. 方法2：列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 知识点2 圆锥曲线的离心率的范围的求解方法 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【类型1 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．3或 D．2或 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 5．（25-26高二上·全国·课后作业）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【类型2 利用椭圆、双曲线中的焦点三角形求离心率】 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 8．（24-25高二上·四川自贡·期中）已知是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆交于点、，的周长最大值为，则椭圆离心率的最大值为 . 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 焦点在轴， 左， 右焦点分别是， 且它们在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则= . 【类型3 构造齐次式求离心率】 11．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，过点F且与长轴垂直的直线交C于A，B两点．若为直角三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为 ． 15．（24-25高三下·四川眉山·阶段练习）已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 . 【类型4 利用余弦定理求离心率】 16．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 20．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 【类型5 斜率乘积求离心率】 21．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·河南驻马店·期中）点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 25．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 ． 【类型6 离心率的和差商积问题】 26．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 27．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 29．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 30．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【类型7 离心率的最值与范围问题】 31．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知椭圆E：，过左焦点F且不与x轴垂直的直线l交E于P、Q两点，若直线上存在点T，使得是等边三角形，则E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为 . 35．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【类型8 以三角形四心为载体的离心率问题】 36．（24-25高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 38．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 39．（24-25高二上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 40．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【类型9 圆锥曲线与圆交汇的离心率问题】 41．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·天津·期中）如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 43．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知双曲线左右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 . 45．（2025·浙江·一模）已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线中的离心率问题九大重点题型（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率】 2 【类型2 利用椭圆、双曲线中的焦点三角形求离心率】 4 【类型3 构造齐次式求离心率】 8 【类型4 利用余弦定理求离心率】 11 【类型5 斜率乘积求离心率】 14 【类型6 离心率的和差商积问题】 18 【类型7 离心率的最值与范围问题】 23 【类型8 以三角形四心为载体的离心率问题】 27 【类型9 圆锥曲线与圆交汇的离心率问题】 31 知识点1 圆锥曲线的离心率及其求解方法 1．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2．求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: 方法1：直接求出a, c，利用离心率公式求解. 方法2：由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. 方法3：构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 方法1：直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. 方法2：列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 5．抛物线的离心率 抛物线的离心率e =1. 知识点2 圆锥曲线的离心率的范围的求解方法 1．不等式法求离心率的范围 (1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解. (2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. (3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解. (4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解. 2．函数法求离心率的范围 (1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； (2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； (3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围. 3．坐标法求离心率的范围 根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可. 【类型1 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【解答过程】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将椭圆方程化为标准形式：，利用离心率公式即可求得结果. 【解答过程】因为椭圆，整理为，则， 所以，所以（负值舍去），故， 故选：C. 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．3或 D．2或 【答案】D 【解题思路】根据题意，分双曲线的焦点在轴和轴上，两种情况求得，进而求得双曲线的离心率的值，得到答案. 【解答过程】由题意，双曲线的渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以； 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以， 综上可得，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 【答案】 【解题思路】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【解答过程】因为双曲线的一条渐近线是，所以， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【解答过程】由题意知，，而 轴，故， 所以，解得； 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【类型2 利用椭圆、双曲线中的焦点三角形求离心率】 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，则，结合椭圆定义求离心率即可. 【解答过程】如图所示， 因为为直角三角形，则，可得， 则，所以的离心率. 故选：B. 7．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】B 【解题思路】由条件分和两类情况，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】在第一象限，，又为等腰三角形， 当时，， 又，则； 当时，， 又， 解得或（舍去），则； 故的离心率为或2. 故选：B. 8．（24-25高二上·四川自贡·期中）已知是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆的性质求出焦距，再由三角形的面积公式求出，进而由斜率的定义求出点坐标，然后由两点间距离公式求出得到，最后由离心率的定义求出即可； 【解答过程】是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点， ，则，，， 的面积为，即 所以． 又直线的斜率为．解得， 所以点， 则，， 所以，即， 所以． 故选：B． 9．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆交于点、，的周长最大值为，则椭圆离心率的最大值为 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的定义，结合三点共线可得周长的最大值为，即可得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【解答过程】取右焦点，连接， 由于的周长为，当且仅当共线时取等号， 故周长的最大值为，因此， 故，当时取等号， 故， 故离心率的最大值为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 焦点在轴， 左， 右焦点分别是， 且它们在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则= . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的定义可得：，由双曲线定义可得，即可得解. 【解答过程】由题意如图所示： 设椭圆的半长轴为，双曲线的实半轴为， 椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以由椭圆的定义可得：①， 由双曲线定义可得②， ①减②可得：， 即， 故答案为：． 【类型3 构造齐次式求离心率】 11．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，过点F且与长轴垂直的直线交C于A，B两点．若为直角三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求得两点坐标，结合已知可得，求解即可. 【解答过程】由椭圆方程可得， 将代入椭圆方程可求得，所以. 因为为直角三角形，所以，则， 即 ，又，解得． 故选：D. 12．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【解答过程】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 13．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【解答过程】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 14．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得双曲线的离心率. 【解答过程】直线的斜率为，倾斜角为， 所以，由于， 所以三角形是等边三角形，所以， 将代入， 得， 整理得，两边除以得， 得， 解得或（舍去）. 故答案为：. 15．（24-25高三下·四川眉山·阶段练习）已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为 . 【答案】 【解题思路】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【解答过程】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为：. 【类型4 利用余弦定理求离心率】 16．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【解答过程】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故 ， 故选：A. 17．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，从而结合椭圆定义利用对称性求得，，由余弦定理得，即可求解离心率. 【解答过程】设椭圆右焦点为，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则， 因为，可得，所以， 则，， 由余弦定理可得， 即，即，故椭圆离心率． 故选：D. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得以、为邻边的平行四边形为菱形，即可得到，再由双曲线的定义求出、，最后利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率. 【解答过程】因为， 所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线， 以、为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中， 由余弦定理， 即，即， 双曲线的离心率. 故选：C. 19．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可. 【解答过程】如图， 由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故答案为：. 20．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率. 【解答过程】由双曲线定义知， 又，所以， 又，由余弦定理得 ， 解得，故离心率为 故答案为：. 【类型5 斜率乘积求离心率】 21．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率. 【解答过程】 设，则， 所以， 又， 所以， 又点在上，所以， 所以， 即，由， 故选:D． 22．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得，由即可得离心率. 【解答过程】 设，则，， 则， 由在双曲线上，故， 即有，故， 即有，即， 故. 故选：A. 23．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合椭圆的性质得到，再由求得离心率. 【解答过程】由是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为，， 设，，则， 于是，，两式相减得， 则，而，因此， 所以离心率. 故选：A. 24．（24-25高二上·河南驻马店·期中）点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】由题意得，设，表示直线AM，BM的斜率，利用斜率之积为和点在椭圆上可得结果. 【解答过程】由题意得，.    设，则，， ∴， 由得，， ∴，即， ∴离心率. 故答案为：. 25．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，可得，再利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率. 【解答过程】由题可知关于原点对称，所以， 又在双曲线上，所以， 则， 所以， 即， ∴由，① 连接，可得， 可得，② 由①②联立可得，即，所以离心率. 故答案为：. 【类型6 离心率的和差商积问题】 26．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由椭圆及双曲线的定义可得，联立可得，然后由余弦定理得，由基本不等式求解即可. 【解答过程】 如图， 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可设点在第一象限， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，又， 在中，由余弦定理得：， 化简得：，得到，从而有， 整理得，当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 27．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先设点为第一象限的交点，根据椭圆和双曲线的定义结合余弦定理得到，再利用三角换元法求解最大值即可. 【解答过程】不妨设点为第一象限的交点，如图所示： 则由椭圆的定义可得 ，由双曲线的定义可知， 所以，， 因此， 即， 所以，即，令，， 因此，其中， 所以，当时，有最大值， 故选：D. 28．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】C 【解题思路】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代换代数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项. 【解答过程】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中， ∵，∴，即，即，故A选项错误； 由正弦定理可知在中，∴， ∵，∴， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ∴， 即，∴， ∴，B选项错误； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误.    故选：C. 29．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 【答案】 【解题思路】根据条件可得渐近线的倾斜角，进而计算渐近线的斜率，根据离心率与渐近线斜率之间的关系可得结果. 【解答过程】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方， 双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为， 所以， 故双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 故与的离心率之积为. 故答案为：. 30．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，由离心率的定义分别表示出，即可得到，结合三角恒等变换化简，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【解答过程】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 【类型7 离心率的最值与范围问题】 31．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【解答过程】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A. 32．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知椭圆E：，过左焦点F且不与x轴垂直的直线l交E于P、Q两点，若直线上存在点T，使得是等边三角形，则E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，其中，设点,、,，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出的长以及等边△的高，根据几何关系可得出，即可求得该椭圆离心率的取值范围． 【解答过程】由已知得点，设直线的方程为，其中， 设点,，,， 联立，可得， △， 由韦达定理可得，， 所以，， 设线段的中点为，， 则，， 因为△为等边三角形，则，且直线的斜率为， 所以，， 且，即， 即，整理可得， 所以，即E的离心率的取值范围是. 故选：C． 33．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，即可求出的不等关系，再由当Q点与重合时，得出，再根据点Q在的延长线上，即可得解. 【解答过程】 由题设为锐角且， 设，则且， 故， 因为在椭圆内部且在的延长线上，故且， 故， 而， 整理得到：， 故，故， 综上可得：. 故选：B. 34．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【解答过程】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 故答案为：. 35．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果. 【解答过程】取的中点Q，连接，如图所示， 则，所以， 所以，所以为等腰三角形， 即，且，所以， 又因为点在右准线上， 所以，即， 所以，即，解得或， 又，所以， 故答案为：. 【类型8 以三角形四心为载体的离心率问题】 36．（24-25高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可. 【解答过程】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 37．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据三角形重心公式得到线段中点，根据建立等式计算即可得到. 【解答过程】依题意，，，， 设，，则的中点， 因为点为的重心，则，， 所以中点， 因为，， 两式作差得：，化简得，即， 因为，又因为，，，四点共线，所以. 故，解得，故. 故选：A. 38．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系． 解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【解答过程】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 39．（24-25高二上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【答案】 【解题思路】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【解答过程】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率 故答案为: . 40．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率. 【解答过程】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，， 则，，， 又点在双曲线左支， 则， 则，且轴， 即点在直线上， 同理点在直线上， 即轴于点，且， 设，则， 则，， 即，又，则， 化简可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：. 【类型9 圆锥曲线与圆交汇的离心率问题】 41．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合图形，由题意可得，，连接，可得，由椭圆的定义求得，最后借助于，推得，即可求得离心率. 【解答过程】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 42．（24-25高二上·天津·期中）如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】求出的坐标，确定，由直线与圆相切于点，求出，再求出，，，再由得到，进而求出离心率. 【解答过程】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 43．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围. 【解答过程】 从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小. 若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 44．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知双曲线左右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为P，若以P为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【解题思路】由已知可得圆的半径等于，结合焦点到渐近线的距离为，用勾股定理得出，再用中位线的性质得出、关系求出离心率. 【解答过程】如图，由题意可知，， 设与渐近线的交点为M，则M为的中点，且， 则点到直线的距离， 所以， 在中，因为O，M分别为，的中点， 所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 45．（2025·浙江·一模）已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解题思路】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【解答过程】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $