4向量在立体几何中的应用（平行和垂直）（9大题型）（题型专练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

4向量在立体几何中的应用（平行和垂直） 题型一：直线的方向向量 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 2．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 4．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（ ） A． B．1 C． D． 5．已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（ ） A．2 B．或1 C． D．1 题型二：平面的法向量 1．已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 题型三：平面法向量的求解 1．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，，则平面的法向量是（ ） A． B． C． D． 3．已知为平行四边形外的一点，且，则（ ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 4．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 题型四：平面方程 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 2．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 4．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ） A． B． C． D． 题型五：直线与平面的平行和垂直关系 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A． B． C． D．与相交但不垂直 3．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 4．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 5．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 题型六：平面和平面的平行和垂直关系 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 2．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A．5 B． C．3 D． 3．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．若，则与空间中其他任何向量都能构成空间的一个基底 B．若，则点是线段的中点 C．若，则四点共面 D．若平面的法向量分别为，，则 题型一：空间中点线面之间的位置关系 1．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列结论错误的是（ ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 题型二：向量法证明平行和垂直 1．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 2．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 4．在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点. (1)求证：平面； (2)若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 题型一：存在性问题的平行和垂直 1．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在长方体中，. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 3．如图，已知在直三棱柱中，，，，． (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 4．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 5．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 6．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4向量在立体几何中的应用（平行和垂直） 题型一：直线的方向向量 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 3．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 4．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 5．已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（ ） A．2 B．或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解. 【详解】，，得，所以， 因为，则，得， 所以. 故选：A 题型二：平面的法向量 1．已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 2．已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 3．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 4．如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，结合即可求解. 【详解】设，又，则，依题意，解得，所以. 故选：A 5．已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，求出并逐项判断即可. 【详解】依题意，，则，解得， 因此，，，，ACD正确，B错误. 故选：B 题型三：平面法向量的求解 1．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 2．已知点，，，则平面的法向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 3．已知为平行四边形外的一点，且，则（ ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【详解】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 4．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 题型四：平面方程 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 2．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 4．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为计算即可. 【详解】设是该平面内的任意一点，则 过点且法向量为的平面的方程为，整理得. 故选：D 题型五：直线与平面的平行和垂直关系 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面的位置关系得出直线方向向量和平面法向量的位置关系，再结合两向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】直线平面， ，又易知，， ， 解得，，则. 故选：A. 2．已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解. 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则，； 故选：A. 3．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【答案】A 【分析】由和的位置关系即可判断. 【详解】，， 所以， 所以， 故选：A 4．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用向量共线同向时满足排除B，由即可得到判断C，利用投影向量的定义计算即可判断D项. 【详解】对于A，因为在中，， 由空间向量共面定理，可知P，A，B，C四点不共面，故A错误； 对于B，当共线同向时，，但与夹角不是锐角，故B错误； 对于C，因，即，故，即C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：C. 5．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】判定向量是否共线判断A；举例说明判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用共面向量定理的推论判断D. 【详解】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误； 对于B，当夹角为0时，也满足，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确. 故选：D 题型六：平面和平面的平行和垂直关系 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 2．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量共线，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 3．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 4．下列说法正确的是（ ） A．若，则与空间中其他任何向量都能构成空间的一个基底 B．若，则点是线段的中点 C．若，则四点共面 D．若平面的法向量分别为，，则 【答案】B 【分析】对于A，根据条件可得向量共面，再结合基底的定义判断结论，对于B，由条件，根据向量的线性运算法则证明，由此可判断B，对于C，根据共面向量定理的推论判断C，对于D，求，证明与不垂直，由此判断D. 【详解】对于A，因为，所以与任何向量都共面， 又构成空间基底的三个向量不能共面，所以与任何向量都不能构成基底，A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以为中点，B正确； 对于C，因为，且，所以四点不共面，C错误； 对于D，，则与不垂直，所以与不垂直，D错误． 故选：B. 题型一：空间中点线面之间的位置关系 1．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 2．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可. 【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确； 对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确； 对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确； 对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误. 故选：D 3．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 4．下列结论错误的是（ ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与直线平行的关系判断A；由平面的法向量和平面位置的关系判断B；利用线面垂直时直线的方向向量和平面的法向量垂直可判断C；根据四点共面的判断可判断D. 【详解】对于A，由于，则，故，则，A正确； 对于B，由，则， 即，故，B正确； 对于C，若，则，则，即，则，C错误； 对于D，假设， 则，解得，即， 故共面，且三向量有共同起点，则点在平面内，D正确， 故选：C 题型二：向量法证明平行和垂直 1．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 2．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 4．在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点. (1)求证：平面； (2)若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质以及判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系可求得，即可证明，，，四点共面. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 可得，，， 若平面，则，且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面， 即可得，，，四点共面. 题型一：存在性问题的平行和垂直 1．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量可判断①②；在平面内作⊥，垂足为点，过点作在平面内作⊥交于，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，截面面积最大，进而判断③. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于①，， 则， 所以，即，故①正确； 对于②，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 要使平面，则， 则，即，不符合题意， 所以不存在点Q，使得平面，故②错误； 对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点， 过点作在平面内作⊥交于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以⊥， 因为，、平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，为中点，截面面积最大， 此时，，截面面积为，故③对. 故选：C. 2．如图，在长方体中，. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 3．如图，已知在直三棱柱中，，，，． (1)在线段上是否存在点，使得? (2)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)存在 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）设，假设，利用，求出点坐标即可； （2）设，求出平面的法向量，由，求出点坐标即可. 【详解】（1）因为，，，所以，故， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 假设在上存在点满足条件． 设，， 因为，所以，解得， 即在上存在点使得，此时点与点重合． （2）假设在上存在点，使得平面． 设，，． 设平面的一个法向量， 则有，得，取，可得， 由，解得， 所以在上存在点，使得平面，这时为的中点． 4．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 5．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【分析】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【详解】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 6．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $