6.3.2第2课时空间向量与垂直关系同步练习 2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.3.2　空间线面关系的判定 第2课时　空间向量与垂直关系 一、基础达标 1.已知直线ll,l2的方向向量分别为a=(3,4,1),b=(-2,1,m),若l1⊥l2,则m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知直线l的方向向量a=(1,2,3),平面α的一个法向量n=(k-1,k,k+1),若l⊥α,则k=(　　) A.- B.1 C.2 D.3 3.已知n1=(,x,2),n2=(3,-,2)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则x=(　　) A.-7 B.-1 C.7 D.1 4.直线m,n的方向向量分别为m,n,平面α的法向量为a,则下列选项正确的是(　　) A.若m∥n,则m·n=0 B.若m⊥α,则m·a=0 C.若m⊥n,则m=kn D.若n∥α,则n·a=0 5.(多选题)已知a,b分别为空间中两条不重合的直线l1,l2的方向向量,m,n分别为两个不重合的平面α,β的法向量,则下列结论正确的是(　　) A.若l1∥l2,则a≠b B.若b=-3a,则l1∥l2 C.若m⊥n,则α⊥β D.若α∥β,则m⊥n 6.已知u=(3,a-b,a+b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,4)是平面α的法向量.若l⊥α,则ab=　　　　　.  7.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.证明:平面PQB⊥平面DCQ. 二、能力提升 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D∩AD1=E,CD1∩C1D=F,则下列结论中正确的是(　　) A.BB1∥平面ACD1 B.平面BDC1⊥平面ACD1 C.EF⊥平面BDD1B1 D.平面ABB1A1内存在与EF平行的直线 9.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AD,AA1的中点,则下列说法正确的是(　　) A.D1F⊥B1C B.FG∥D1E C.FG⊥平面AD1E D.BF∥平面AD1E 10.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P为AA1中点,Q为BC中点,则(　　) A.直线PD与直线QB1平行 B.直线PC1与直线QD1垂直 C.直线PQ与直线A1B相交 D.直线PQ与直线DB1异面 11.(多选题)给出以下命题,其中正确的是(　　) A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直 B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α C.平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β D.平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t= 12.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为　　　　　　.  13.在△ABC中,B=,AB=2BC=4,点D,E分别为边AC,AB的中点,将△AED沿DE折起,使得平面AED⊥平面BCDE. (1)求证:DC⊥AE; (2)在平面ACD内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD?若存在,指出点M的位置;若不存在,说明理由. 三、拓展探究 14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=AA1=1,M,N分别是线段A1B1,AC1上的点,P是直线AC上的点,满足MN∥平面BB1C1C,MN⊥NP,且M,N不是三棱柱的顶点,则MP长的最小值为　　　　.  15.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2. 图1 图2 (1)求证:FA∥平面BC'D. (2)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 参考答案 1.C　由于l1⊥l2,所以a·b=0,则3×(-2)+4×1+1×m=0,解得m=2.故选C. 2.C　由题意,若l⊥α,且直线l的方向向量a=(1,2,3),平面α的一个法向量n=(k-1,k,k+1),则a∥n,即,解得k=2.故选C. 3.C　因为n1=(,x,2),n2=(3,-,2),α⊥β,所以n1⊥n2,所以n1·n2=×3+x×(-)+2×2=0,解得x=7.故选C. 4.D　若m∥n,则m与n为共线向量,故A错误;若m⊥α,则m与a为共线向量,故B错误;若m⊥n,则m·n=0,故C错误;若n∥α,则n·a=0,故D正确,故选D. 5.BC　对于A,由l1∥l2,可得a∥b,则a=λb,λ∈R,当λ=1时,a=b,所以A错误;对于B,由b=-3a,可得a∥b,则l1∥l2,所以B正确;对于C,因为m,n分别为两个不重合的平面α,β的法向量,若m⊥n,则α⊥β,所以C正确;对于D,因为m,n分别为两个不重合的平面α,β的法向量,若α∥β,则m∥n,所以D不正确.故选BC. 6.27　∵l⊥α,∴u∥n,∴,故解得 ∴ab=27.故答案为27. 7.证明 由题意易知DA,DP,DC两两互相垂直.如图,以D为坐标原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.设DA=1,依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),所以=1×1+1×(-1)+0=0,=0×1+0×(-1)+1×0=0,即PQ⊥QD,PQ⊥DC.又DQ∩DC=D,DQ,DC⊂平面DCQ,故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQB,所以平面PQB⊥平面DCQ. 8.C　因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,设正方体边长为2,以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴建立空间直角坐标系(图略),则D1(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,2),D(0,0,2),B1(2,2,0),E(1,0,1),F(0,1,1),C1(0,2,0),=(2,0,2),=(0,2,2).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,1,-1),同理解得平面BDC1的法向量m=(-1,1,1),=(0,0,-2),·n=2≠0,故A不正确;m·n=-1≠0,故B不正确;=(-1,1,0),=(0,0,2),=(2,2,0),=0,=0,所以EF⊥D1D,EF⊥D1B1.又D1D∩D1B1=D1,所以EF⊥平面BDD1B1,故C正确;平面ABB1A1的一个法向量为p=(1,0,0),·p=-1≠0,故D不正确.故选C. 9.D　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz(图略),设AD=2,则有关点及向量的坐标为A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1,0,0),G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),=(1,0,-2),=(-2,0,-2),=(1,0,1),=(2,2,-1),=(2,0,-2),=(-1,-2,0). =(1,0,-2)·(-2,0,-2)=2≠0,故A不正确;因为,所以FG∥D1E不成立,故B不正确;=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0,故⊥平面AD1E不成立,故C不正确; 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),则取x=2,则z=2,y=-1,n=(2,-1,2),·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又BF⊄平面AD1E,故BF∥平面AD1E,故D正确.故选D. 10.BD　根据题意,设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),P(2,0,1),Q(1,2,0).对于A,=(2,0,1),=(1,0,2),由于=k对于任意的k都不会成立,则不平行,则直线PD与直线QB1不平行,A错误;对于B,=(-2,2,1),=(-1,-2,2),则有=2-4+2=0,则,即直线PC1与直线QD1垂直,B正确;对于C,直线PQ与PB相交,故PQ⊂平面PBQ,直线A1B∩平面PBQ=B,B∉PQ,所以PQ与直线A1B是异面直线,C错误;对于D,=(-1,2,-1),=(2,2,2),显然两直线不平行,假设直线PQ与直线DB1相交,则P,Q,D,B1在同一平面上,=(2,0,1),故存在实数x,y,使得=x+y,即则x,y无解,故PQ与直线DB1既不相交也不平行,是异面直线,D正确.故选BD. 11.AD　对于A,a·b=1×2-1×1+2×(-)=0,则a⊥b,所以l与m垂直,故A正确;对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,所以l∥α或l⊂α,故B错误;对于C,若n1=λn2(λ≠0),则此方程组无解,所以α∥β不成立,故C错误;对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),因为向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,所以得u=,t=,u+t=,故D正确.故选AD. 12.(-2,4,1)或(2,-4,-1)　根据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z), ∵n与平面ABC垂直, ∴可得 ∵|n|=,∴, 解得y=4或y=-4. 当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1. ∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 13.(1)证明 在△ABC中,∵点D,E分别为边AC,AB的中点,∴DE∥BC, ∵B=,∴AE⊥ED. 又∵平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=ED,AE⊂平面AED, ∴AE⊥平面BCDE.又∵DC⊂平面BCDE,∴DC⊥AE. (2)解 存在.由(1)知,AE⊥ED,AE⊥EB,EB⊥ED.以点E为原点,以EB,ED,EA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),A(0,0,2),=(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,1,-2).设m=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量,则取z=1,则m=(1,2,1).假设在平面ACD内存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD.连接AM.若,则设=μ=(2μ,μ,0).设平面AEM的一个法向量为n=(a,b,c),由取a=1,则n=(1,-2,0).∵平面ABD的法向量m=(1,2,1),由m·n≠0知,此情况不成立.若不共线,设AM∩CD=N,连接EN. 设=λ=λ(2,1,0)=(2λ,λ,0),则=(2λ,λ+1,0).当=(2λ,λ+1,0)·(-2,1,0)=0,即λ=时,BD⊥EN.∵由(1)可得AE⊥平面BCDE,BD⊂平面BCDE,∴AE⊥BD.又∵EN∩AE=E,EN,AE⊂平面AEN,∴BD⊥平面AEN.∵BD⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面AEN,即平面AEM⊥平面ABD.∴在平面ACD内存在点M,当M点在直线AN(N点在直线CD上且DN=DC)上时,平面AEM⊥平面ABD. 14.　如图,由已知AB,AC,AA1两两互相垂直,以点A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,可得B(2,0,0),C(0,1,0),B1(2,0,1),C1(0,1,1).设M(m,0,1),N(0,n,n),P(0,t,0),0<m<2,0<n<1,∴=(0,0,1),=(-2,1,0),=(-m,n,n-1),=(0,t-n,-n).设平面BB1C1C的一个法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,∴n1=(1,2,0). ∵MN∥平面BCC1B1,∴·n1=0,∴m=2n(0<m<2,0<n<1).又MN⊥NP,∴=0,可得t=2n-1, ∴M(2n,0,1),P(0,2n-1,0),=(-2n,2n-1,-1), ∴MP=,当n=时,MP取最小值,最小值为.故答案为. 15.(1)证明 ∵BC=CD,E为BD的中点,∴C'E⊥BD. 又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,C'E⊂平面BC'D,∴C'E⊥平面ABD. ∵FA⊥平面ABD,∴FA∥C'E. 又C'E⊂平面BC'D,FA⊄平面BC'D, ∴FA∥平面BC'D. (2)解 不存在.由(1)知,C'E⊥平面ABD,AE,BE⊂平面ABD,所以C'E⊥AE,C'E⊥BE.又AE⊥BD,故以BD,AE,EC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,).设平面FBC'的法向量为m=(x,y,z),则 令z=1,则x=,y=1,故m=(,1,1).假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=λ,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0), ∴x=-λ,y=λ-,z=0,M(-λ,λ-,0), 则=(-λ,λ-,-). 平面FBC'的法向量m=(,1,1), 由m∥,即m=t,即无解,λ不存在,∴线段AD上不存点M,使得C'M⊥平面FBC'. 10 学科网（北京）股份有限公司 $