课时分层评价26 直线的方向向量与平面的法向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价26直线的方向向量与平面的法向量用书P251 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ⊙基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.下列说法不正确的是() A.若直线l垂直于平面α，则直线1的任意一个方向向量都是平面a 的一个法向量 B.若n是平面a的一个法向量，则n与平面a内任意一条直线的方 向向量均垂直 C.0是任意一个平面的一个法向量 D.一个平面的法向量是不唯一的 答案：C 解析：对于A,根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义 可知，若直线I垂直于平面α，则直线1的任意一个方向向量都是平 面α的一个法向量，故A正确；对于B,由平面的法向量的定义可 知，若n是平面a的一个法向量，则n与平面a内任意一条直线的 方向向量均垂直，故B正确；对于C,由平面的法向量的定义可知， 0不能作为一个平面的法向量，故C错误；对于D,由平面的法向 量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，故D正确故选C 2.已知向量AB=(2,4,x),平面a的一个法向量n=(1,y,3),若 ABCa,则( A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 答案：C 解析：由题意可知ABn=0,可得3x十4y十2=0.故选C. 独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.空间直角坐标系中，已知点P(0,3,一1)，向量=(2，一 1,1),则过点P且以u为法向量的平面方程为() A.2x-y+z=-4 B.x+2y-z=7 C.x-y+2z=-5 D.-x+2y+z=5 答案：A 解析：设过，点P且以为法向量的平面上不同于P的任一点 A(x,y,z),则函=(x,y一3，z+1),所以PA=2x一0y-3)十(z十 1)=2x-y+z十4=0，即2x-y+z=-4.故选A. 4.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下关系中不 成立的是() A.A⊥AB B.PC⊥BD C.P心⊥AB D.PA⊥CD 答案：C 解析：因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.又AC⊥BD,ACOPA= A,AC,PAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD.故B 成立，A和D显然成立.故选C. 5.己知平面a上的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面a 的一个法向量为( A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,1) 答案：C 解析：显然a与b不平行，设平面a的一个法向量为n=(x,y,z), 则80：所以十y中20.令=1，得=-2，=1所以n =(-2,1,1).故选C. 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ☐b.ZxXk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面a={P|P。P=0},其中 点P(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面a内 的是() A.(3,2,1) B.(-2,5,4) C.(-3,4,5) D.(2,-4,8) 答案：B 解析：设平面a内任意一点P的坐标为(x,y,z),则P。P=(一1，y -2,z-3),由PP=0,得x-1+y-2+z-3=0,即x十y十z= 6,代入选项可知B不符合上式.故选B. 7.(开放题)若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示 为 答案：(0,0,2z),其中z≠0 8.(双空题)已知直线1的一个方向向量v=(1,2,4),且1过 A(0,y,3)和B(-1,一2，z),则y= ,z= 答案：0-1 解析：因为直线1的一个方向向量v=(1,2,4),且1过A(0,y,3) 和B(-1,-2,z),所以AB=(-1,-2-y,z-3)=(1,2,4), -1=1, λ=-1， 所以-2-y=2入，解得y=0, z-3=41, z=-1. 9.(双空题)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,B驴 =(x一1，y,一3)，且BP⊥平面ABC,则实数z= ,x十y= 答案：49 独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：因为A⊥BC,所以AB·BC=0,即3+5-2z=0,得z=4.又 BP⊥平面ABC,所以B驴⊥AB,B萨⊥BC,则 (x-1)+5y+6=0, 40 解得 71 3(x-1)+y-12=0, y、15 所以x+=9+}=克 > 10.(13分)在△ABC中，A(1,一1,2)，B(3,3,1),C(3,1,3) 设Mx,y,z)是平面ABC内任意一点. (I)求平面ABC的一个法向量： (2)求平面ABC的方程. 解：(I)设平面ABC的一个法向量为n=(a,b,c). 因为AB=(2,4,-1),AC=(2,2,1), 所以n店=0，即2a十4b-c=0, n·AC=0, 2a+2b+c=0, c=b, 所以a=-3b.令b=2,则a=一3，c=2. 所以平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2) (2)因为点Mx,y,z)是平面ABC内任意一点， 所以AM⊥n, 又AM=(x-1,y+1,z-2), 所以-3(x-1)+20y+1)+2(z-2)=0, 所以3x-2y-2z-1=0. 故平面ABC的方程为3x一2y一2z一1=0 可综合运用(11-13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)如图，四棱柱ABCD-AB1CD1为正方体，则下列结论正 确的是( ) 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 A B C A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 答案：ABC 解析：设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1,且AA1=(0,0,1), 故A正确；因为AD1∥BC1,AD1=(0,1,1),故B正确；因为 AD⊥平面ABBA1,AD=(0,1,0),故C正确；因为A1= (1,1,1),但AC与平面B1CD不垂直，故D错误.故选ABC. 12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈： 在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BDC=90°，BD=AB=CD 若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为( A.(0,1,0) B.(0,1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) 答案：B 解析：根据题意，设BD=AB=CD=1,则 D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),则DC=(1,0,0),AD= (0,1,一1)，设平面ACD的法向量为m=(x,y,z),则有 ·独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D0m=x=0, ǜm=y-z=0, 令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1).经验证， 其他选项均不符合题意.故选B, 13.(开放题)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1,B1D= 2DCi,CE=ECi,设Ai=a,AC=b,AA=c,以{a,b,c}为空间 向量的一组基，则直线AE,AD的一个方向向量分别为 .(答案不唯一) 答案：b+ca+b+c 解析：证=AC+C证=AC+CC=AC+引商+AA+Ac-子A花+ 2AA=b+c,所以直线AE的一个方向向量为b+c.而=AA, +AD=A+AC+CD=A+A衣+CB,=AA,+A花+ }B-c=名恋+}AC+A本，=言a+b+c,所以直线AD的一 个方向向量是a+五+e 14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面 ABCD,△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC= 60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐 标系，求平面DEF的一个法向量. 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解：如图所示，连接PF,CF,AC 因为PA=PB,F为AB的中点， 所以PF⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,PFC平面PAB, 所以PF⊥平面ABCD 因为AB=BC,∠ABC=60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB. 以点F为原点，BF,CF,PF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，如图所示， 由题意得F0,0,0,P0.0,D-1,要00，要.0 4 所以所-0，要，历-1，0 设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,z), y+32=0. 3 则朋8： 即 4 4 +3 y=0, z=-y, 所 + 3y,令y=2,则x=3,2=一2. 所以平面DEF的一个法向量为m=(3,2,一2)（答案不唯一）. 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 ⊙创新拓展 15.(5分)（开放题）如图，四棱柱ABCD-A1B1CD1的底面ABCD是正方 形，O为底面中心，AO⊥底面ABCD,AB=AA1=2.则平面OCB1 的法向量n= 答案：(1,0，一1)（答案不唯一） 解析：因为四边形ABCD是正方形，且AB=V2,所以AO=OC=1. 依题意以点O为原点，OB,OC, OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所 示.则O0,0,0),A(0,- 1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1).所以OC= (0,1,0),A=(1,1,0).设B(xo,0,1),所以A1B1= (xo,0,0),因为AB=A1B,所以x0=1,o=1,即B1(1,1,1).设 向量n=(x,y,2)是平面OCB1的法向量，所以 W0女+y+. 故y=0,x=一z,取x=1,故z=一 OB1·n=0, 1,则平面OCB1的法向量n=(1,0,一1). D C A B 16.(17分)（新定义）17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标 系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而 实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创 立了新分支一一解析几何.我们知道，方程x=1在一维空间中表示一 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一 个平面.已知A(1,2,3),B(1,-1,-2),C(-1,0,0) (I)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面a经过点A,且BC是平面a的一个法向量，M,y,z)是 平面a内任意一点，试写出x,y,z的关系. 解：(1)因为B(1,-1,-2),C(-1,0,0), 所以直线BC的一个方向向量为BC=(-2,1,2). (2)因为平面a经过A(1,2,3)且Mx,y,z)是平面a内的任意一点， 则有AM=(x-1,y-2,z-3), 又因为BC是平面a的一个法向量，所以BC⊥AM,从而BC·AM=0, 即(-2,1,2)(x-1,y-2,z-3)=0, 所以-2(x-1)+y-2)+2(z-3)=0, 整理可得2x-y-2z十6=0， 所以x,y,z的关系为2x一y一2z+十6=0 独家授权侵权必究