第二十三章 图形的相似（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册

第二十三章 图形的相似（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 6 【题型1 由比例的性质求值或证明】 6 【题型2 由平行判断成比例的线段】 6 【题型3 黄金分割】 7 【题型4 证明两三角形相似】 8 【题型5 利用相似三角形的判定与性质求解或证明】 9 【题型6 作位似图形】 10 【拔尖篇】 12 【题型7 利用平行线分线段成比例求解】 12 【题型8 利用相似求最值】 13 【题型9 利用相似解决动点问题】 15 【题型10 利用相似进行规律探究】 16 【题型11 相似三角形的应用】 18 【题型12 利用相似格点作图】 19 知识点1 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 知识点2 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点3 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 知识点4 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 知识点5 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点6 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 知识点7 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 知识点8 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点9 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点10 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点11 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【培优篇】 【题型1 由比例的性质求值或证明】 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【题型2 由平行判断成比例的线段】 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点分别在边上，交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，中，点在的延长线上，直线交于点，交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东临沂·一模）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 黄金分割】 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·宁夏银川·二模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 【题型4 证明两三角形相似】 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 【变式4-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【变式4-3】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质求解或证明】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（   ） A． B．5 C． D． 【变式5-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式5-2】（2025·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，E是对角线上一点，连接，将绕着点B旋转，点C的对应点F落在边上，点E的对应点G落在边上，与交于点H．若F是的中点，则的长为 ． 【变式5-3】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【题型6 作位似图形】 【例6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【变式6-1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形，位似中心为 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【变式6-2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 【拔尖篇】 【题型7 利用平行线分线段成比例求解】 【例7】如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ． 【变式7-1】在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 【变式7-2】（2025·广东·一模）【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． (1)【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； (2)【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 【变式7-3】（2025·山西忻州·二模）综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 【题型8 利用相似求最值】 【例8】（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·江苏南京·二模）如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是 ． 【变式8-2】（2025·河南平顶山·一模）如图，矩形中，，，点，分别为，上一个动点，且，以为对称轴将矩形折叠，点，的对应点分别为，，点为上一点，且，当点与点重合时，的长为 ，的最大值为 ． 【变式8-3】（2025·湖北武汉·二模）在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 【题型9 利用相似解决动点问题】 【例9】如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 【变式9-2】（2025·广西·二模）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 【变式9-3】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 【题型10 利用相似进行规律探究】 【例10】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 【变式10-3】如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点D，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点E，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设与的面积之和为，与的面积之和为，与的而积之和为，…，若，则等于 ．（用含有正整数n的式子表示） 【题型11 相似三角形的应用】 【例11】（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 【变式11-2】（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【题型12 利用相似格点作图】 【例12】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使； (2)在图（2）中，先在网格内画一点使；再在上画点使． 【变式12-1】（2025·上海浦东新·三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【变式12-2】（2025·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一个格点，连接，使线段； (2)在图②中画出一个等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中线段上找一点，使． 【变式12-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，，均在格点上，点是线段与竖格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，将线段绕点逆时针旋转，画对应线段； (2)在（1）的基础上，在线段上画点，使； (3)在图（2）中，作线段垂直于，交于点； (4)在（3）的基础上，在线段上作点，使． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 图形的相似（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 6 【题型1 由比例的性质求值或证明】 6 【题型2 由平行判断成比例的线段】 8 【题型3 黄金分割】 13 【题型4 证明两三角形相似】 15 【题型5 利用相似三角形的判定与性质求解或证明】 20 【题型6 作位似图形】 24 【拔尖篇】 28 【题型7 利用平行线分线段成比例求解】 28 【题型8 利用相似求最值】 36 【题型9 利用相似解决动点问题】 44 【题型10 利用相似进行规律探究】 52 【题型11 相似三角形的应用】 58 【题型12 利用相似格点作图】 63 知识点1 相似多边形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 知识点2 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点3 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 知识点4 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 知识点5 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点6 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 知识点7 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 知识点8 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点9 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点10 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点11 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【培优篇】 【题型1 由比例的性质求值或证明】 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 【题型2 由平行判断成比例的线段】 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点分别在边上，交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线截线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解题的关键． 根据平行线截线段成比例定理得到比例式以及利用相似三角形的判定定理得出、、，再根据相似三角形的性质得出比例式并进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； D．不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【变式2-1】（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，中，点在的延长线上，直线交于点，交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行，得到，，，根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴；故A选项正确，符合题意； ∵， ∴，，， ∴，，，故B，C，D选项错误，不符合题意， 故选A． 【变式2-2】（2025·山东临沂·一模）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，故B正确； ， ，故A正确； ， ，， ， ，故C正确； ， ，故D错误； 故选：D． 【变式2-3】（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形是菱形，得到，分和，两种情况，判断B，根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先证明四边形是菱形，再证明，得到，判断D． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴； 若，则：， ∴；故选项A正确，不符合题意； 若，则：四边形是菱形； ， ， 如图，当与不垂直时，上还存在一点，使， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 而另一点也满足，但与不平行， 与不一定平行，故B选项错误，符合题意； 若，则：， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【题型3 黄金分割】 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴ ， 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】（2025·宁夏银川·二模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 【详解】解：由题知， 令，， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中，． 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，设，则，根据黄金分割的定义可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 【题型4 证明两三角形相似】 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解： ，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 【变式4-3】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质求解或证明】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形判定和性质，勾股定理等知识点，证明是直角三角形是解题关键． 利用平行相似证明，从而可得，进而证明，再由勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【变式5-1】如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【变式5-2】（2025·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，E是对角线上一点，连接，将绕着点B旋转，点C的对应点F落在边上，点E的对应点G落在边上，与交于点H．若F是的中点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】由可证，可得，确定，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵将绕着点B旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵F是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式5-3】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【题型6 作位似图形】 【例6】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 【变式6-1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形，位似中心为 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，位似中心为，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； C、∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， ∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D、由上可知与的周长之比等于相似比，即为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （）把点的横纵坐标分别乘以即可求解； 本题考查了位似作图，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由位似图形的性质得，点的横纵坐标分别乘以得到对应点的坐标， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【拔尖篇】 【题型7 利用平行线分线段成比例求解】 【例7】如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，比例的性质，分别利用平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质及三角形的面积得出，，再根据得，即可得，进而得到，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是等高三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与高相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G，证明，得到；再证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，；证明，得到，进一步证明，得到，则，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G， ∵， ∴， ∵点E为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形与相似三角形． 【变式7-2】（2025·广东·一模）【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． (1)【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； (2)【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由折叠可知，，则有，从而可得，，三点共线，再由角度和差即可求出的大小； （）由正方形性质得，又折叠可知，，，证明，则，然后代入求证即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，，， ∴， ∴，，三点共线， 由题意可知，，， ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】（2025·山西忻州·二模）综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论； （2）连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解； （3）连接交于，分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）； 理由：菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 即； 故答案为：； （2）如图，连接． 四边形是菱形， ，． ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中， ，，， ． ，． 由旋转的性质，得． ． ． ， ，． ． ． 在和中， ，，， ． ． ， 即． （3）的长为或． 解：连接交于点． 由（2）可知是等边三角形，， ． 四边形是菱形， ，，． ． ． ． ，， ． ． 分两种情况： ①当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． ②当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 【题型8 利用相似求最值】 【例8】（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ， ∴， 由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 【变式8-1】（2025·江苏南京·二模）如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】作，作，作，交于点F，并延长交于点H，先说明，可得，再证明，，当时，取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，过点C作，交于点E，过点B作，交于点G，过点D作，交于点F，并延长交于点H， ∴，且， 根据题意可知，且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由， 当时，取最小值，即的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，平行线间的距离，确定最小值是解题的关键． 【变式8-2】（2025·河南平顶山·一模）如图，矩形中，，，点，分别为，上一个动点，且，以为对称轴将矩形折叠，点，的对应点分别为，，点为上一点，且，当点与点重合时，的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 // / 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，当点与点重合时，由折叠的性质可得，，，设，则，再由勾股定理计算即可得出的长；连接与交于点，证明，得出，，即点时矩形的对角线的中点，连接，则，连接，由轴对称可得，推出，连接，则由三角形三边关系可得的最大值为，由勾股定理可得，得出，作于点，则，证明，求出，，计算出，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 当点与点重合时，由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 如图，连接与交于点， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点时矩形的对角线的中点， 连接，则， 连接，由轴对称可得， ∴， 连接，则由三角形三边关系可得的最大值为， ∵，， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：，． 【变式8-3】（2025·湖北武汉·二模）在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析；见解析 (2) 【分析】（1）①证明，得出，即可得证； ②延长，交于点，证得，设，求得、，证明，求得，得到，从而推出是的中位线，即可求证； （2）延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点，证得和，可得，求得，即可求解的最小值． 【详解】（1）证明：① ， ， ， ， ， ， ， ． ②延长，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ，即点为的中点， 设，则，， 由①得：， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 解得：， ，即点是的中点， 是的中位线， ． （2）解：的最小值为． 如图，延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，则， ，， ， ，则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，勾股定理，平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【题型9 利用相似解决动点问题】 【例9】如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式9-1】（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 【答案】2或6 【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 当， ，， ， ， ， ， ， ； 当， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，(舍去)， 当， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，为直角三角形时，或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，有一定的综合性． 【变式9-2】（2025·广西·二模）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 【答案】或 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得到，过点作交于点，已知，则可求的面积；可证得 ，由相似三角形的面积比可求得的面积，从而可求五边形的面积．根据题意列方程得到或，可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理，得. ∴. 如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由矩形的性质可知，， 又∵， ， ， 则， ， ，相似比为， ， ， ， ； 与的函数关系式为； ， ， 解得，或， 当时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确的识别图形是解题的关键． 【变式9-3】（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以每秒3个单位长的速度运动，动点从点出发沿边向点以每秒4个单位长的速度运动．，分别从点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，关于直线对称的图形是．设运动时间为（秒）． (1)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (2)当______秒，四边形是梯形？ (3)是否存在时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当______秒时，． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的性质，矩形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意知，，则可求出，再由轴对称图形的性质即可得到答案； （2）可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （4）延长交于，过作于．证明，得到，同理可得，证明四边形是矩形，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意知，， ， 与关于直线对称， ； （2）解：当四边形是梯形时，， ， ∴，即， 解得：， 故为2秒时，四边形是梯形， 故答案为：2； （3）解：设某一时刻，，延长交于点，如图， 若，则， 又， ∴， ， ，，， ， ， ，， ， ， 即，解得． （4）解：延长交于，过作于． ∵， ∴， ∴，即， ， 同理可得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ． ， 解得． 故答案为：． 【题型10 利用相似进行规律探究】 【例10】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似多边形的性质、旋转的性质，根据矩形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质和相似多边形的性质可得矩形的对角线和矩形的对角线的比为，从而得出矩形的对角线为；求出规律即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形； ∴矩形和矩形的相似比为； ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线为； 以此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴边的长为， 故选：A． 【变式10-1】如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的长，设，，根据正方形的性质得，推出，求得其相似比，依此类推和的相似比为，据此求解即可． 【详解】解：∵边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴和的相似比为， 同理：和的相似比为， ∴和的相似比为， 依此得：和的相似比为， ∴和的相似比为， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，图形类规律探究，解题的关键是根据图形的变化寻找规律． 【变式10-2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 【答案】或（） 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的面积； ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 同理可得，的面积； …… 则的面积为， 故答案为：或（）． 【变式10-3】如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点D，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点E，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设与的面积之和为，与的面积之和为，与的而积之和为，…，若，则等于 ．（用含有正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积等知识．设的面积为S，利用相似三角形的性质求出，，…，与S的关系即可解决问题． 【详解】解：设的面积为S， 由题意，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同法， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法可得，， ∴， …， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型11 相似三角形的应用】 【例11】（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 【变式11-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【变式11-2】（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【答案】（1）； 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）证明得到，再代入和计算即可； （2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； （2）解：过作于，则， ∵矩形中， ∴， ∵和是两条互相垂直的小路， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴灌溉水井到点的距离． 【题型12 利用相似格点作图】 【例12】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是格点，是网格线上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使； (2)在图（2）中，先在网格内画一点使；再在上画点使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段工具作图、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：取格点F，使得为以A直角顶点的等腰直角三角形，连接于的交点即为点D；先确定的中点N、M，连接与的交点即为所求的点E； （2）取与格线的交点D，连接与格线交于M，点M即为所求；取的中点E，的四分点F，连接与的交点即为点N． 【详解】（1）解：如图：点D、点E即为所求． 证明：如图：易得为以A直角顶点的等腰直角三角形， ∴，即，则点D即为所求； ∵， ∴，即点N为的中点， 同理：点M为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即； （2）解：如图：点M、点N即为所求． 由平行线等分线段定理可得：点为、的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，即M为所求； 由平行线等分线段定理可得：点E为的中点，点F为的四分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式12-1】（2025·上海浦东新·三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）解：如图②中，直线即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，点即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. 【变式12-2】（2025·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一个格点，连接，使线段； (2)在图②中画出一个等腰三角形，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． （1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图①． （2）如图②． （3）如图③． 【变式12-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，，，均在格点上，点是线段与竖格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，将线段绕点逆时针旋转，画对应线段； (2)在（1）的基础上，在线段上画点，使； (3)在图（2）中，作线段垂直于，交于点； (4)在（3）的基础上，在线段上作点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺格点作图． （1）根据旋转的性质及格点的特点即可解答： （2）根据平行四边形的性质结合直角三角形的性质及格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据相似三角形的判定与性质，正方形的性质结合格点的特点作图即可； （4）根据矩形的性质，正方形的性质等腰直角三角形的性质及格点的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示点G为所求： 由网格线的特点得且，则四边形是平行四边形， 点G为平行四边形对角线的交点， ∴，即点G为的中点， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即； （3）解：如图所示为所求： 连接， 由网格线的特点得：四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （4）解：如图所示为所求： 由网格线的特点得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图题，涉及全等三角形，相似三角形，等腰直角三角形，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质等，熟练掌握基本几何图形的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $