第一章勾股定理同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 同步练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，12，15 2．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 3．小敏从处向北偏东方向前行到处，再从处向某一方向前行到处，最后从处向某一方向前行回到处，则处在处的（　　）方向 A．南偏东 B．南偏东或北偏西 C．北偏西 D．北偏西或南偏东 4．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 5．如图，是第14届国际数学教育大会的会标，数学元素无处不在，画面非常几何化，主画面由圆和螺线组成，呈中心对称，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标，充分展示了中国古代数学的灿烂，利用“弦图”所证明的数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．垂径定理 C．正弦定理 D．勾股定理 6．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 7．一个等腰三角形的周长为，底边上的高为，则这个等腰三角形底边长和腰长的比值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 9．如图，在中，为边上的中线，，，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 二、填空题 11．在一直角三角形中，已知两边的长是3、4，则第三边的长是 ． 12．凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为 ．（其中，） 13．如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 14．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ． 15．如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 三、解答题 16．如图，在宽为40米的一条绿化带上开一条路，数据如图所示，求这条路的宽度． 17．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 18．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 19．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 20．综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D C D A D C 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：A.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； B.由于，故不能构成直角三角形，符合题意； C.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； D.由于，故能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，   作点关于直线的对称点G，连接，则为所求最小值， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， 故选：C． 3．B 【分析】先根据的三边长判断出的形状，求出与之间的关系，再根据两角之间的关系确定处在处位置即可．本题考查的是直角三角形在实际生活中的运用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再找出符合条件的角即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴为直角，过向直线作垂线，则，， ∴， 故处在处的南偏东或北偏西． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为2和4， ∴，， ∴， 即正方形的面积为6． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查用“赵爽弦图”证明勾股定理，作出图象，设四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形，根据大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积列出等式，化简等式即可得到勾股定理． 【详解】 如图，四个全等的直角三角形，边长为，围成了一个边长为c和的大正方形和小正方形， 则， 化简得， 此即为勾股定理， 故“弦图”所证明的数学定理是勾股定理， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，设这个等腰三角形底边长为，腰长为，可得，，解方程求出的值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设这个等腰三角形底边长为，腰长为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴这个等腰三角形底边长和腰长的比值为， 故选：． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用完全平方公式进行运算，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 先证明和全等，可得,再由勾股定理得，，，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点C作于点F，如图所示： ∵为边上的中线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的值不变，始终等于． 故选：D． 10．C 【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形 ∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴，即③正确； ∵ ∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正 ∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形 ∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 11．或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当3、4均为直角边时；当3为直角边，4为斜边时；利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：当3、4均为直角边时，第三边长为， 当3为直角边，4为斜边时，第三边长为， 综上所述，第三边的长是或， 故答案为：或． 12．36 【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接，过B作于，因为，所以，由勾股定理计算，，凹四边形的面积，由此解答本题． 【详解】解：连接，过B作于， ∵，， ∴， 解得（负值舍弃）， ∵，， ∴， ∴，即， ∴凹四边形的面积为， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，设，则，，进而在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 折叠，点落在边上的点处， ，，， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为： 14． / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 15． 1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 16． 【分析】本题考查勾股定理的应用，需要结合勾股定理以及平行四边形的面积公式进行解答．首先根据勾股定理求出的长度，然后借助平行四边形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：设这条路的宽为x， 由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴． 即这条路的宽度为． 17．(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论； （3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 如图，由勾股定理得：， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，由勾股定理得：，， ∵， ， ， ， ， ． 18．(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 19．(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 20．（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $