专题13.2 勾股定理的逆定理（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题13.2 勾股定理的逆定理（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 勾股数】 4 【题型3 网格中判断直角三角形】 6 【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 9 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 11 【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】 15 【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】 20 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】 24 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 28 知识点1 勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； B. ， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； C. ， ∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意； D. ， ∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，进而可证明，则该三角形是直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 【题型2 勾股数】 【例2】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南周口·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 【变式2-2】若是一组勾股数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义，分 为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 【详解】解：当为直角边时，，x不是正整数，不符合题意， 当为斜边时，，是正整数，符合题意， 综上，若是一组勾股数，则的值为， 故答案为：． 【变式2-3】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数． 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐个判断即可； 【详解】如图所示：    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 【变式3-3】（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键． 将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得． 【详解】解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： ，，， ∴ ∴ ∵平移至处，． ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例4】点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论． 【详解】 解：分三种情况考虑（如图所示）： 当∠OAB＝90°时，m＝0； 当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5； 当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 综上所述：m的值可以为0，5，1，4． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键． 【变式4-1】已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 【变式4-3】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【详解】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式． 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键． 将绕点旋转，根据旋转的性质可得出，根据勾股定理可证出，从而可得出答案． 【详解】如图，将绕点旋转，得，连接， 由旋转的性质可知：，， ∴，，， ∴，且， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，， 是翻折而成， ， 设， ， 在中，，即， 解得． 故的长为3． 【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 【答案】135° 【分析】由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数.设AB＝2x ，通过计算证明AC2+AD2=CD2，从而证得△ACD是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB的度数． 【详解】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x, ∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2 又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2 ∴AC2= CD2-AD2 ∵AC2+AD2=CD2 ∴△ACD是直角三角形， ∴∠DAC=90°， ∴∠DAB=45°+90°=135°． 故答案是：135°. 【点睛】此题主要考查学生对逆定理的理解和运用能力，正确得出∠DAC=90°是解题关键． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又 是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】 【例6】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 【变式6-1】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再结合证明是直角三角形，即可证明结论； （2）设，则，然后根据建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则， 由（1）得， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，添加辅助线是解题关键． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12，35，37 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用、整式混合运算和乘法公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键． （1）分别证明，，即可证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （3）当时，即，求出此时即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 综上可知，是的最长边； （2）∵，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：当时，即， 则此时， ∴的三边长为12，35，37． 【变式6-3】（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 【答案】（）见解析；见解析；（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形性质可得，，，然后利用“”证明即可； 由，则，再通过勾股定理得，又，从而求证； （）证明，则有，又，则，从而得出，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由知， ∴； （）解：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】 【例7】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，； （2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米， 米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 【变式7-1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长． (2)求证：． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为； (2)见详解． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． (1)求证：． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由此即可求解； （2）根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：由（1），可得，， ∴ ． 【变式7-3】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C受台风影响，理由见解析 (3)3.5h 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得ED=FD，然后根据勾股定理可得，从而得到km，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴EC=FC， ∵CD⊥AB， ∴ED=FD， 在中，由勾股定理得： ， ∴km， ∵台风的速度为40km/h， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的实际应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】 【例8】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 【答案】 【分析】先根据勾股定理算出的长，进而可以得到的各边长，再根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，进而得到所求面积为的面积减去的面积，即可得到答案； 【详解】解：∵， ， ， ， 是直角三角形，且 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解决此题的关键是合理的利用勾股定理逆定理． 【变式8-1】如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【变式8-2】如图，有一块四边形花圃，该花圃的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，本题中判断是直角三角形是解题的关键． 连接，根据解直角求的长度，求证为直角三角形，根据四边形的面积面积面积即可计算． 【详解】如图，连接．      ， ， ， 在中，∵， ， 为直角三角形，且， ∴的面积， ∵四边形的面积． 故答案为：24． 【变式8-3】（24-25八年级下·广西贺州·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件符合要求，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即， ∴． （2）解：这个零件符合要求，理由如下：         在中，根据勾股定理，可得： ，     在中， ∴．                     ∴是直角三角形，是直角．且 ∴这个零件符合要求． 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 【例9】（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．    (1)在图①中找出格点，并连接，，使； (2)在图②中作出的高，并直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）如图①，由题意知，，，，则，格点，，即为所作； （2）如图②，作，的交点为，证明，则，可求，即为的高，由勾股定理得，，由题意知，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图①，    由题意知，，，， ∴， ∴格点，，即为所作； （2）解：如图②，作，的交点为，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【变式9-1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点），请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题的关键思路的连线． 【答案】或45度 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，求得，于是得到，根据三角形外角的性质即可得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交格点于，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图是正方形网格，已知格点A，B，请用无刻度直尺按要求作图． (1)在图1中，以为腰，作等腰； (2)在图2中，以为斜边，作直角，使其面积最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了等腰三角形定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，进行作图，即可得解； （2）根据面积最小，则的值最小，且并且满足以为斜边，作直角这个条件，结合勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：等腰如图所示： （2）解：直角如图所示： 【变式9-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【详解】（1）解：如图①、图②即为所求． （2）解：如图③即为所求． （3）解：如图④即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 勾股定理的逆定理（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 勾股数】 2 【题型3 网格中判断直角三角形】 3 【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 4 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 4 【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】 5 【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】 6 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】 8 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 9 知识点1 勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点2 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【变式1-1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【变式1-2】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【变式1-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 勾股数】 【例2】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南周口·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】若是一组勾股数，则的值为 ． 【变式2-3】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是 （填序号）． 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【变式3-3】（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例4】点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式4-1】已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【变式4-3】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 °． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】 【例6】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【变式6-1】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式6-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【变式6-3】（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】 【例7】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【变式7-1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长． (2)求证：． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． (1)求证：． (2)求四边形的面积． 【变式7-3】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】 【例8】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 【变式8-1】如图，，，，，求的度数． 【变式8-2】如图，有一块四边形花圃，该花圃的面积为 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·广西贺州·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】 【例9】（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．    (1)在图①中找出格点，并连接，，使； (2)在图②中作出的高，并直接写出的长为________． 【变式9-1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点），请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题的关键思路的连线． 【变式9-2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图是正方形网格，已知格点A，B，请用无刻度直尺按要求作图． (1)在图1中，以为腰，作等腰； (2)在图2中，以为斜边，作直角，使其面积最小． 【变式9-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $