精品解析：宁夏吴忠市同心县同心中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

同心中学高二数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据条件列方程求解即可. 【详解】设，则， 解得，所以的坐标为. 故选：B 4. 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以. 故选：D． 5. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可． 【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件， ∴乙不输的概率是， 故选：A. 6. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】对于①：因为不重合，所以平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对于②：平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对于③：若等价于直线的方向向量与平面的法向量平行，故③正确； 对于④：若，也有直线的方向向量与平面的法向量垂直，故④错误. 故选：C. 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 8. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 【详解】向量， 若， 则， . 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 11. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，利用进行求解. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 【答案】0.7 【解析】 【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【详解】因为事件与事件相互独立，， 所以， 所以, 故答案为：0.7． 13. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为________. 【答案】0.91## 【解析】 【分析】首先求出线路不能正常工作的概率，利用对立事件即可求出线路正常工作的概率. 【详解】线路不能正常工作的概率为： ， ∴能够正常工作的概率为， 故答案为：0.91. 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分；16，17两题各15分；18，19两题共17分.共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求 （3）求； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积坐标公式计算求解； （2）应用空间向量夹角坐标公式计算求解； （3）应用空间向量线性运算律及模长坐标公式计算求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； 【小问2详解】 ， 设，则且， 解得或， 故或； 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样得到选取的6人中观看时长在和的人数，利用列举法求出相应的概率. 【小问1详解】 ， 解得； 【小问2详解】 和的频率之比为， 故选取的6人中观看时长在的人数为，设为， 观看时长在的人数为，设为， 则抽取的2人有以下情况，， ， 共15种情况， 其中抽取的2人恰好观看时长在的有， 共6种情况， 故抽取的2人恰好观看时长在的概率为. 18. 长方体中，．点为中点．（用向量方法证明） （1）求证：平面 （2）求证：平面． （3）求异面直线，的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后根据线段长度求出向量的坐标，然后求出向量的数量积进而判断线面垂直. （2）要证明线面平行，需要证明向量与该平面的法向量垂直. （3）先求出异面直线的公垂线方向的向量，然后根据异面直线的距离公式求出结果即可. 【小问1详解】 以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以，. 因为. 所以. 又平面，平面，. 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以设平面的法向量为. 则可得，令，则. 因为，那么. 所以与平面的法向量垂直，直线不在平面内，所以平面. 【小问3详解】 因为，，设公垂线方向向量为. 则，即. 令，则，所以. 因为，所以异面直线的距离为： . 19. 如图，在四棱锥中，，，，， 底面为正方形，分别为的中点．（用向量方法解决） （1）求点到平面的距离． （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用点到平面的距离公式计算即得； （2）确定直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可得解； （3）求得平面的法向量，结合，利用空间向量夹角公式即可得解． 【小问1详解】 因为底面ABCD是正方形，所以，且，， 故可以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因，，则，， ，， 求得，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量， 因为，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知：，则，， 设面的法向量为， 则，故可取， 而平面的法向量为， ∴， 故平面与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同心中学高二数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 13. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为________. 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分；16，17两题各15分；18，19两题共17分.共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求 （3）求； 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 18. 长方体中，．点为中点．（用向量方法证明） （1）求证：平面 （2）求证：平面． （3）求异面直线，的距离． 19. 如图，在四棱锥中，，，，， 底面为正方形，分别为的中点．（用向量方法解决） （1）求点到平面的距离． （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $