精品解析：河南省九师联盟2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为______． 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为______． 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 16. 将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. （1）点数都为奇数； （2）至少出现一次3点； （3）三个点数之和为8. 17. 在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值； （3）平行六面体的体积． 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 19. 已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得. 故选：D 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以． 故选：B． 3. 若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化解即可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 故，所以． 故选：C． 4. 已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出渐近线方程及右焦点坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】双曲线：的右焦点为，渐近线方程为， 所以. 故选：A 5. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，由可知为的中点，所以即，利用向量的线性运算结合数量积的运算律计算，可得，由此可得. 【详解】 因为，所以为的中点， 设，， 因为，所以， 则，， 所以， 所以，即． 故选：D． 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 7. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果. 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 8. 已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M，N，沿AM，MN，NA折起来使得B，D，C重合于P，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，将三棱锥补形为长方体，结合长方体的外接球的半径的求法求三棱锥的外接球半径，再根据球的表面积公式求结论. 【详解】如图， 三棱锥的三条侧棱两两垂直， 即，，， 如下图，将三棱锥补形为长方体， 因为三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为R， 因为，，， 所以， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切型函数的最小正周期的公式求函数的最小正周期，判断A，设函数的图象关于对称，推出矛盾，判断B，求函数的单调递增区间，判断C，求函数的对称中心，判断D. 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，若函数的图象关于对称，则， 所以，故恒成立，矛盾， 所以函数的图象不关于对称，故B错误； 由，，得，， 即的单调递增区间为，， 取，得函数在和上单调递增， 又时没有意义， 所以函数不在上单调递增，故C错误； 由，，得，， 所以函数图象的对称中心为，， 令知的图象关于点对称，故D正确． 故选：AD 10. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义及题干条件，可判断A的正误；根据题干条件，整理分析，可判断B、C的正误，结合选项A、C可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：因为为奇函数，所以， 令，得，所以，故A正确； 选项B、C：因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以，即4是的周期， 例如存在函数使得满足题目中条件且最小正周期为4， 但 所以2不是的周期，故B错误，C正确； 由选项A和C知，， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作出相应的图象，利用线面平行可得平面即可对A判断求解；利用线面垂直证明平面，从而可证即可对B判断求解；.过的截面为梯形，利用几何知识即可求出其周长，即可对C判断求解；截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，先求出三棱台的体积，即可对D判断求解. 【详解】对于A，连接AC，则，，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，过的截面为梯形， ，，， 所以其周长为，故C错误； 对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分， 三棱台的体积为， 剩余部分的体积为，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】的通项为，，， 令，得， 所以的展开式中的常数项为． 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则向量的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量数量积为0和模为1列方程求解. 【详解】设，由， 所以或，所以或． 故答案为：或 14. 已知函数，，若关于x的方程恰有两个实数根，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】方程，即， 因为，所以， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，当时，，时，， 所以在关于x的方程恰有两个实数根时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求得，结合以及求得，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得，又，所以． 因为，所以， 由，得，所以，，又，所以． 所以的面积为． 16. 将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连续抛掷三次，求下列事件的概率. （1）点数都为奇数； （2）至少出现一次3点； （3）三个点数之和为8. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出连续抛掷骰子三次的试验含有的基本事件总数，再求出点数都为奇数的事件含有的基本事件数，利用古典概率概型计算即得. （2）由（1）的信息，结合对立事件的概率公式求解. （3）由（1）的信息，利用列举法求出三个点数之和为8概率. 【小问1详解】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次的试验，含有的基本事件总数为个， 点数都为奇数的事件含有的基本事件数为个， 所以点数都为奇数的事件概率. 【小问2详解】 事件 “至少出现一次3点”，其对立事件“没有出现3点”， 事件含有的基本事件数为个，则， 所以至少出现一次3点的概率为. 【小问3详解】 三次点数之和为8的情况有， ，共21个， 所以三次点数之和为8的概率. 17. 在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： （1）的长； （2）直线和所成角的余弦值； （3）平行六面体的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，，则，利用空间向量数量积运算率计算即可； （2），设直线和所成角为，利用空间向量夹角余弦值计算公式及空间向量数量积运算率计算即可； （3）过作平面，垂足为，设，则，由，得，利用空间向量数量积运算率及平行六面体体积公式计算即可. 【小问1详解】 令，，， ，，，， 所以，，， 则， 所以， 所以； 【小问2详解】 ，则， 设直线和所成角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 过作平面，垂足为， 设，所以， 由得，即， 所以，解得， 由得，即， 所以，解得， 所以， 所以平行六面体的高为． 所以平行六面体的体积． 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②是定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可求解； （2）（i）根据面积关系结合面积公式可得平分，即可证得； （ii）联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因， 设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 19. 已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，利用切线方程求出导数值，进而求解参数. （2）先求出导函数，再通过研究导函数的导数，分析导函数的单调性，进而确定原函数的单调性. （3）将恒成立问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，多次求导分析函数的单调性和最值，从而确定参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意知， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1）知，，则当时，． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以，所以在上单调递增． 【小问3详解】 由曲线在点处的切线方程为，得， 又，所以． 当时，，则恒成立，所以． 当时，由，得． 令，则． 令，则， 再令，则， 令，则． ①当时，，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减， 因为，， 所以存在，使得， 于是在上单调递增，在上单调递减． 由于，，于是时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为． ②当时，令， 则， 所以在上单调递增，此时， 故当时，， 由①②知在上的最大值为， 所以，即a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $