精品解析：天津市河北区博文中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段性检测数学试题

2026—2027学年天津博文中学高三（上）第一次阶段性检测高三数学 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分，每小题的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求得，再根据补集的定义即可求得答案. 【详解】由题意集合，，可得：， 结合补集的定义可得：， 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当时，即可确定大概函数图象. 【详解】根据题意，设，其定义域为，有，则为奇函数，其图象关于原点对称，排除C､D， 当时，，，必有，排除B， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象. 4. 某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为，，，，．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A. 2800 B. 1200 C. 140 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，计算在的面积，得到学生每周自习时间少于22.5小间的频率，再得到学生每周自习时间不少于22.5小时的频率，再乘总数4000，得到答案. 【详解】由频率分布直方图，得的频率为，的频率为， 则该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是. 故选：A. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，频率、频数与总数的关系，属于基础题. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察题中，不妨先构造函数比较大小，再利用中间量“1”比较与大小即可得出答案. 【详解】由题意得，， 由函数在上是增函数可得， 由对数性质可知，， 所以， 故选:B 6. 数列的前项和为，若，则等于 A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，利用裂项相消法可得结果. 【详解】因为， 所以，故选B． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】余弦函数的单调减区间为. 令，代入得不等式：. ，化简得. 综上，函数的单调减区间为. 8. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可以由函数向左平移个单位得到 C. 的图象关于直线对称 D. 的单调递增区间为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：直接利用周期公式求解； 对于B：根据图像的相位变换可以判断； 对于C：令，即可解得； 对于D：直接求出单增区间即可判断. 【详解】对于A：的最小正周期为：,故A不正确； 对于B：由函数向左平移个单位得到，故B正确； 对于C：令，解得：，若，得：，而 ,矛盾，故C不正确； 对于D：令，解得：，故的单调递增区间为. 故B正确. 9. 若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程可得，再由及双曲线参数关系求离心率即可. 【详解】由题设知：，即， 所以. 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分. 10. ｉ是虚数单位，复数________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数乘除法运算，即可解决. 【详解】故答案为 【点睛】本题考查复数乘除法运算，属于基础题. 11. 的展开式中的系数为_______________. 【答案】36 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项，令，即可得出答案. 【详解】的展开式的通项为：， 令，可得的展开式中的系数为. 故答案为：36. 12. 直线被圆截得的弦长为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果. 【详解】圆：的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为， 故答案为：2. 13. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用单调性列不等式，即可解出x的范围. 【详解】由题意得解得：，即或. 故答案为：. 14. 已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 【答案】 ①. 0.2## ②. 0.5## 【解析】 【分析】根据独立事件的公式即可计算，再根据条件概率的公式即可计算． 【详解】由事件A与事件B相互独立， 则， ． 故答案为：；． 15. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期； （2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域． 【详解】(1) ， ； (2) ， ∴， ∴， 的值域为. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由正弦定理，所以； 【小问3详解】 由余弦定理， 所以， ， 所以. 18. 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接. 则. 而底面为矩形，是的中点， 所以. 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需在平面内找到一条线段与平行即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，然后求出平面的法向量和直线的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值. （3）根据（2）中求得的平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 所以平面的一个法向量为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为： . 19. 已知椭圆，左焦点为，且 （1）求M的方程； （2）若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，进而得出，结合求出，即得椭圆方程； （2）求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解即可． 【小问1详解】 椭圆的左焦点为，，故， 又，联立解得，， 椭圆的方程为：． 【小问2详解】 过点且斜率为的直线l的方程为， 联立椭圆方程得，整理得， 设，由韦达定理得， ． 20. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；②递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值； （2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用零点的定义分离参数、构造函数，把问题转化为直线与函数图象有2个交点求解. 【小问1详解】 ①当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ②函数的定义域为，， 由，得；由，得， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 函数在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 函数，由，得，令， 由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点， 因此函数有两个零点时，， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年天津博文中学高三（上）第一次阶段性检测高三数学 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分，每小题的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为，，，，．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A. 2800 B. 1200 C. 140 D. 60 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 数列的前项和为，若，则等于 A. 1 B. C. D. 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可以由函数向左平移个单位得到 C. 的图象关于直线对称 D. 的单调递增区间为 9. 若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分. 10. ｉ是虚数单位，复数________________. 11. 的展开式中的系数为_______________. 12. 直线被圆截得的弦长为______. 13. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是___________. 14. 已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 15. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆，左焦点为，且 （1）求M的方程； （2）若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 20. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $