重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期入学数学试卷

2025-2026学年重庆一中九年级（上）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，是分式的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，该正三棱柱的俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为(    ) A. 1 B. C. 2 D. 4.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若OA：：1，则的面积与的面积之比为(    ) A. 1：3 B. 3：1 C. 1：9 D. 9：1 5.关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 6.习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，且，连接BE，取BE的中点F，连接AF，若AF的长为，则正方形ABCD的面积为(    ) A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 8.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形ABCD中，AB的中垂线交对角线BD于点F，点E为垂足，连接CF，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.已知整式…，…，其中…，和…，均为自然数，，，m，n为正整数，且满足…，…则下列说法： ①当时，若，则； ②不存在任何一个，使得； ③当，时，则一共有14种不同的结果. 其中正确的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.因式分解：______. 12.已知，且，则a的值为      . 13.如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是      . 14.若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为      . 15.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为      . 16.在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度.如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部A和顶部B，如果小南的手臂长，小尺的长，点D到旗杆底部的距离，则旗杆的高度为       17.如图，在矩形ABCD 中，点E为CD中点，连接AE，将沿直线AE翻折到矩形ABCD所在的平面内，得，延长AF交BC于点G，延长EF交AB于点K，交CB延长线于点H，连接CF，若，，则      ，      . 18.如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”.若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数      ；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为      . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 解下列方程： ； 20.本小题10分 化简：； 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解. 21.本小题8分 如图，在平行四边形ABCD中，于点E， 用尺规作的角平分线，交BC于点F，连接不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，求证：四边形AFCE为矩形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，______. 平分， ______. ， ______. ， 且 四边形AFCE为平行四边形. ， ______. 平行四边形AFCE为矩形______填推理的依据 22.本小题10分 为迎接2025年重庆市青少年信息素养科普创新系列活动，开心中学特开展了“提升信息素养，智领科创未来”的科普讲座，并举行信息知识挑战赛，现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理和分析成绩得分用x表示，共分为四个组A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀下面给出了部分信息： 七年级20名学生在挑战赛中的比赛成绩为：99，97，94，92，92，92，92，91，90，83，83，82，81，80，77，75，74，71，69， 八年级20名学生在挑战赛中的比赛成绩在B组的数据为：81，82，80，86，82，84， 七、八年级选取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 84 83 a 八年级 84 b 91 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______； 根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在挑战赛中，哪个年级学生对“信息知识”的了解情况更好？请说明理由写出一条理由即可； 该校七年级有600名学生、八年级有600名学生参加了此次信息知识挑战赛，请估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数. 23.本小题10分 列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱.五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场.甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅.甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅.乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制. 求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ 卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售.为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售.如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 24.本小题10分 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，，点E是AB的中点.动点P从点B出发，沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动.动点Q从C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动.当点P到达点A时，点P与点Q同时停止运动.过点Q作交CD于点设运动时间为x秒，记的面积为，的周长与的周长之比为 请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； 在给定平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； 结合函数图象，直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 25.本小题10分 如图1，直线：与反比例函数在第一象限内的图象交于点，交y轴于点 求反比例函数的表达式； 过点A作直线垂直于直线，交y轴于点，点D是线段AC上一点，连接OD，若四边形ABOD的面积为，点P为y轴上一动点，连接DP，求的最小值及此时P点的坐标； 如图2，在的条件下，点K为反比例函数在第一象限内的图象上一点，连接KP，将射线KO绕K点逆时针旋转，交x轴于点G，若，则在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，请写出所有符合条件的Q点坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程. 26.本小题10分 在中，，点D为BC边上中点，E为直线BC上一点，连接 如图1，若，，求线段DE的长度； 如图2，若，点F为边AE上一点，且，连接FD并延长至点G，使，连接CF、请猜想线段BC、AF、CG之间的数量关系，并证明你的猜想； 如图3，若，，点E为直线BC上一动点，连接AE，将沿AE翻折得到，连接DF，点G为DF的中点，连接CG，请直接写出当CG取得最小值时的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选： 一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是， 故选： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：把代入方程得， 解得 故选： 把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4.【答案】D  【解析】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ∽，， ∽， ：：：1， 的面积与的面积之比为9：1， 故选： 根据位似图形的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的性质求出AC：DF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：当时，，所以图象经过点，说法不正确，不合题意； B.反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，符合题意； C.，则图象位于第一、三象限，故说法不正确，不合题意； D.，则图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小，所以当时，y随x的增大而减小，故说法错误，不符合题意； 故选： 根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析． 6.【答案】B  【解析】解：根据题意得： 故选： 根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆1800人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是正方形，点E为边AD上一点，且， ，， ， 是BE的中点， ， ， ， ， ， ， 故选： 由正方形的性质得，，由推导出，因为F是BE的中点，，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：由条件可知：， 解得：， 分式方程， 去分母得：， 解得：， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， ，，， 整数，，， ， 整数，， 则符合条件的所有整数a的值之和为 故选： 由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0，求出a的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出a的值，求出之和即可． 此题考查了根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：如图，连接AF，设， ， ， 四边形ABCD是菱形， ，，， ， 垂直平分AB， ， ， ， ，，， ≌， ， ， ， 故选： 设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由SAS可证≌，可得，列出方程可求解． 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：分析①，当时，…，… 已知，，，，且， 所以，，则，故①错误． 分析②，假设存在，使得因为，，那么的最高次项系数为，而的最高次项系数为4，两者不相等， 所以不存在任何，使得，故②正确． 分析③，当，时，，其中，，为自然数；，其中，为自然数， 因为，为自然数，的可能取值为0，1，2，3，的可能取值为0，1，2， 当时，，1，2，3，有4种结果； 当时，，1，2，3，有4种结果； 当时，，1，2，3，有4种结果； 当时，，1，2，3，有4种结果； 所以一共有种不同的结果，故③错误．综上，只有②正确，正确的个数是 故选 本题可根据已知条件，结合多项式的次数、系数等相关知识，对每个说法逐一进行分析判断． 本题考查了多项式的求值，理解多项式求值的求值规则是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 先提公因式，再用公式法因式分解即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12.【答案】6  【解析】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 根据比的性质解答即可． 本题考查了比的应用，掌握比的性质是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 14.【答案】  【解析】解：由根与系数的关系得， ，， 则 故答案为： 利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则， 15.【答案】7  【解析】解：如图，作轴，垂足为点D， 的面积为5， 矩形ABCD的面积，即， 解得 故答案为： 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 16.【答案】12  【解析】解：作于H，交EF于P，如图，则，，， ， ∽， ， 即， ， 即旗杆的高度 故答案为： 作于H，交EF于P，如图，则，，，证明∽，然后利用相似比计算出AB即可． 本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 17.【答案】   【解析】解：设， 为CD中点，， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交AB于M，交CD于N，如图： ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 由，可得直线EF解析式为， 令得， ， ， ； 故答案为：， 设，由翻折可得：，，，，即可得，从而，解得，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交AB于M，交CD于N，用面积法和勾股定理可得，即得，直线EF解析式为，求出，可得，故 本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，求出FH，CF的长度． 18.【答案】9216 7016   【解析】解：四位数为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ， 为整数， 可取的最小自然数为1， ， 可取的最小自然数为0， ， 满足条件的N的最小值为 故答案为：9216， 根据“阴阳数”的定义可得x与y的关系，进而根据的求法可得x的值，即可判断出y的值，进而可得A的值；根据“阴阳数”的定义可得a与b，c，d的关系，分别得到N和的值，根据所给条件，判断出a，b，c合适的值即可得到满足条件的N的最小值． 本题考查新定义的相关知识．理解并应用新定义的意义解决问题是解决本题的关键．难点是判断出各个数位上合适的数字． 19.【答案】；   ，  【解析】， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入中得，， 是分式方程的解． ， ， ， ， 或， ， 去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可求得分式方程的解，最后把解代入分母检验即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题主要考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握以上方程的运算方法是解题的关键． 20.【答案】；  ，该不等式组的所有整数解是，0，1，2  【解析】 ； ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解是，0，1， 先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，然后约分即可； 先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的所有整数解即可． 本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键． 21.【答案】见解答；   ，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形  【解析】如图，AF为所作； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， 且， 四边形AFCE为平行四边形， ， ， 平行四边形AFCE为矩形有一个内角为直角的平行四边形为矩形 故答案为：，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形． 利用基本作图作的平分线即可； 先根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再证明得到，所以，于是可判断四边形AFCE为平行四边形．然后利用得到，则根据矩形的判定方法得到结论． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的判定． 22.【答案】92，85，40；   八年级学生对“信息知识”的了解情况更好；   510人  【解析】在七年级20名学生在挑战赛中的比赛成绩中，92分出现的次数最多， 故众数； 把将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 即中位数； ， 即； 故答案为：92，85，40； 八年级学生对“信息知识”的了解情况更好， 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数比七年级高，所以八年级学生对“信息知识”的了解情况更好； 人， 答：估计该校七、八年级学生在此次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数大约为510人． 根据众数、中位数的定义即可求出a和b的值，用“1”分别减去其它三组所占百分比可得m的值； 从平均数、中位数比较可得答案； 利用样本估计总体解答即可． 本题考查了中位数和众数，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 23.【答案】甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；   需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出  【解析】设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； 设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出． 设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，列出分式方程，解方程即可； 设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24.【答案】；；   当时，随x的增大而增大；     【解析】四边形ABCD是菱形，，， ，， ， 过点P作于点M， 当时，，，， ， ， ； 当时，如图，过P作于M， 同理可得， ， ， ； 综上所述，； ， ∽， ； 如图所示； 性质：当时，随x的增大而增大； 由图象知，当时，x的取值范围为 由勾股定理可求，分两种情况讨论，由勾股定理和直角三角形的性质定理可求解； 根据函数关系式画出函数图象即可； 根据函数的图象即可得到结论． 本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，三角形的周长公式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 25.【答案】；   6，；   ，，，  【解析】点在直线上， 点代入直线方程可得：； 解得， 点A的坐标为， 点A在反比例函数的图象上， 将A点坐标代入反比例函数可得， 则反比例函数的表达式为； 设直线AC的解析式为， ，， ， 解得 直线AC的解析式为， 对于直线，令，则， ， ， 四边形ABOD的面积为， ， 设， ， 解得， 把代入，得， 过B作，过P作于H，过D作于F， 四边形DFBA为矩形， ， ， ， ， ， ， 最小值为6， 设直线DF的解析式为：， ， ， 即， 符合条件的Q点坐标有，，，， ， 设K为反比例函数上一点，坐标为， 令为原点，G在x轴上，且在x轴上 过K作轴于M，轴于N， 则，，， ，故，且， ∽， ， ，， 解得，即取正值 把，代入反比例函数， 解得， 在中，，， ，， 解得， ，， ，即Q点横坐标为6， 点坐标为 求反比例函数表达式，需先确定图象上一点的坐标； 求的最小值及对应P点坐标，需结合坐标求解和几何变换； 求符合的Q点坐标，需借助相似三角形和斜率分析． 本题是一道综合性较强的函数与几何结合题，考查函数相关知识点和几何相关知识点． 26.【答案】；   ；   当CG取得最小值时的面积为：  【解析】设，则， 点D是BC的中点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ，舍去， ； 如图1， 连接BE，延长AE至H，使，连接BH，BG， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形BGCF是平行四边形， ， ， ； 如图2， ，，D是BC的中点， ，， ，， 沿AE翻折得到， ， 取AD的中点O，连接OG， 是DF的中点， ， 点G在以O为圆心，为半径的圆上运动， 连接OC，交于， 当点G在处时，CG最小， 延长至，使，连接， 作于W， ，，， ， ， ， ， ， 即：当CG取得最小值时的面积为： 设，则，根据∽得出，从而得出关于a的方程，进一步得出结果； 连接BE，延长AE至H，使，连接BH，BG，设，可推出，从而得出，进而证得≌，从而，，进而推出，从而，进一步得出结果； 可推出，取AD的中点O，连接OG，根据三角形中位线定理得出，从而得出点G在以O为圆心，为半径的圆上运动，连接OC，交于，当点G在处时，CG最小，长至，使，连接，作于W，解求得其面积，进一步得出结果． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $