河北省唐山市第五十四中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年河北省唐山五十四中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是(    ) A. B. C. D. 2.若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是(    ) A. 0 B. C. 1 D. 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在▱ABCD中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线AG交DC于点H，若，则(    ) A. 4 B. C. 5 D. 6 5.对于函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，y随x的增大而减小 B. 当时，y随x的增大而减小 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 6.关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 7.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况，则所打分数的众数是(    ) A. 3分 B. 分 C. 4分 D. 8.如图，一次函数的图象经过点，，则方程的解是(    ) A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 9.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 10.如图，直线交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为若点P关于直线AB的对称点Q恰好落在x轴的正半轴上，则点Q的横坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共25分。 11.如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是______. 12.抛物线的顶点坐标是______. 13.如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则      . 14.关于x的一元二次方程的解为      . 15.已知代数式，则A的最小值为______. 16.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是______. 17.如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是______. 18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点，点，点 线段AC的中点E的坐标为______； 对角线BD长的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 用公式法解方程： 20.本小题8分 选择适当的方法解下列方程： ； 21.本小题8分 已知关于x的方程 若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 22.本小题8分 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以的速度移动． 如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？ 点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 23.本小题13分 如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线，交于点 求直线的解析式； 在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标； 若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：当时，，原式无意义，不符合题意； B.当时，，原式有意义，符合题意； C.当时，，原式无意义，不符合题意； D.当时，，原式无意义，不符合题意； 故选： 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2.【答案】C  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选： 根据一元二次方程的定义可得且，解得m的值即可． 本题考查一元二次方程的定义，结合已知条件得出且是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：点A、B的坐标分别为、， ，， ， 四边形ABCD是菱形， ，， 点D坐标为， 故选： 由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质可得，，即可求解． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由作图得：AH平分， ， 在▱ABCD中，，，， ， ， ， ， 故选： 根据平行四边形的性质及角平分线的性质求解． 本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质及角平分线的性质是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：，对称轴为； 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小． 故选： 可根据抛物线的对称轴及开口方向，判断二次函数的增减性． 本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，比较简单． 6.【答案】C  【解析】解：由题意，得：且， 解得：且， 故选： 根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：， 由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的，人数最多， 所以所打分数的众数为4分， 故选： 根据众数的定义求解即可 本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 8.【答案】D  【解析】解：由条件可知当时，， 方程的解是， 故选： 由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 本题考查了一次函数与一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：A、中，，不合题意； B、中，，不合题意； C、中，，不合题意； D、中，，符合题意； 故选： 用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出的值若，方程无实数根；③在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 10.【答案】C  【解析】解：直线交x轴，y轴于点A，B， ，，即，， 连接PB，PA，BQ， 点P在第一象限内，且纵坐标为1， 轴， ， 点P关于直线AB的对称点Q恰好落在x轴的正半轴上， ， ， ， 设，则， ， ，即，解得， 点Q的横坐标为 故选： 本题根据一次函数得到点A，B的坐标，即得到OA，OB，连接PB，PA，BQ，利用平行线性质和轴对称的性质得到，设，则，根据建立等式求解，即可解题． 本题考查一次函数与几何综合、轴对称性质、平行线性质、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象与系数的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上． 【解答】 解：抛物线的顶点是它的最低点， 抛物线的开口向上， ， 故答案为 12.【答案】  【解析】解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 故答案为： 已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴． 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线 13.【答案】3  【解析】解：由图象可知，直线和直线交于点， 二元一次方程组的解为， ， 故答案为： 根据由图象可知，直线和直线交于点，即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 14.【答案】，  【解析】解：根据因式分解法可得：， 解得：，， 故答案为：， 利用因式分解法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， ，即A的最小值为， 故答案为： 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 本题考查了配方法的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得， 故答案为： 设每次降价的百分率为x，根据题意可得，降价的百分率，据此列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 17.【答案】12  【解析】解：，，， ， 、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ，， 四边形EFGH的周长， 又， 四边形EFGH的周长 故答案为： 利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 18.【答案】    【解析】解：点，点， 线段AC中点E的坐标为， 故答案为：； 点， 点B在直线上运动， 则直线与x轴交于点，， 如图，当直线时，BE有最小值，即BD有最小值， 此时，， ，， ， ，， ， 的最小值， 故答案为 由中点坐标公式可求解； 先求出点B的运动轨迹，由垂线段最短可得当直线时，BE有最小值，即BD有最小值，即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，一次函数的性质，求出点B的运动轨迹是本题的关键． 19.【答案】，  【解析】解：， ，，， ， ， 解得， 利用公式法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 20.【答案】；   或  【解析】利用完全平方因式分解得：， 解得：； 移项得：， 提公因式得：， 解得：或 直接利用完全平方公式，计算即可得结果； 将移到等号左端，然后提公因式计算，即可得出结果． 本题主要考查了一元二次方程的求解，关键是掌握运用公式法和提公因式法因式分解． 21.【答案】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 则a的取值范围是； 设方程的另一根为，由根与系数的关系得： ， 解得：， 的值是，该方程的另一根为  【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可； 设方程的另一根为，由根与系数的关系列出方程，求出解确定出所求即可． 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 22.【答案】解：设x秒钟后，可使PQ的长为，由题意得： ， 解得：或， 答：P、Q同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米； 不存在． 理由：设y秒时，的面积等于的面积的一半，由题意得： ， 整理，得， ， 方程无解， 即：不存在．  【解析】设x秒钟后，可使PQ的长为，则，，，根据勾股定理求出x的值即可； 假设存在，根据题意列出一元二次方程，根据解的情况，判断是否存在． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23.【答案】；   ；   在坐标平面内存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形；点H的坐标为或或  【解析】设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线，交于点 当时，得：， 解得：； ， 联立直线，得：， 解得：， ， ，， ， 设， ， 解得：，， 异于点C的另一点P，且， ，即； 在坐标平面内存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形；点H的坐标为或或；理由如下， 如图所示，，，， 根据题意，四边形，四边形，四边形为平行四边形， 的中点坐标的横坐标为，纵坐标为0， 设， ，， 解得：，， ； ，， ， 的横坐标为，纵坐标为， ； 同理，的横坐标为，纵坐标为， ； 综上所述，在坐标平面内存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形；点H的坐标为：或或 根据题意，设直线的解析式为，把点，代入，运用待定系数法即可求解； 根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出A，D，C的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解； 根据平行四边形的判定和性质，图形几何分析即可求解． 本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $