5.1勾股定理及其逆定理第2课时勾股定理的逆定理+课件2025--2026学年青岛版数学八年级上册

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理： 温故而知新 直角三角形的性质有哪些？ 1.直角三角形的两个锐角互余； 温故而知新 直角三角形的判定方法有哪些？ 1.直角三角形的定义： 2.直角三角形的判定定理： 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 还有其他方法吗？ 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.1勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理 探究一 勾股定理的逆定理 观察与发现 勾股定理的逆命题是什么? 它是真命题吗? 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆命题 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 是真命题。 如何证明？ 探究一 勾股定理的逆定理 观察与发现 已知△ABC 的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5。 验证三边长是否满足 a2+b2=c2 ? ∵AC 2+BC 2 = 32+42 =9+16 =25 AB 2 =52 =25 ∴AC 2+BC 2 =AB2 ∴△ABC的三边长满足 a2+b2=c2 符合a2+b2=c2 的三角形是直角三角形？ 用尺规作图的方法作出△ABC,观察它是怎样的三角形。 探究一 勾股定理的逆定理 观察与发现 已知△ABC 的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5。 验证三边长是否满足 a2+b2=c2 ? A B C 是直角三角形。 探究一 勾股定理的逆定理 观察与发现 已知△ABC 的三边长分别为AC=5,BC=12, AB=13。验证三边长是否满足 a2+b2=c2 ? 它是怎样的三角形? 你可以从中得到什么结论? ∵AC 2+BC 2 = 52+122 =25+144 =169 AB 2 =132 =169 ∴AC 2+BC 2 =AB 2 ∴△ABC的三边长满足 a2+b2=c2 是直角三角形。 即如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形. 当三角形的三边长满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。 探究一 勾股定理的逆定理 思考与交流 探究一 勾股定理的逆定理 一般地，如果△ABC 的三边长a,b,c。 满足 a2+b2=c2 它是直角三角形吗? 为什么? 探究一 勾股定理的逆定理 另作一个Rt△A'B'C', 所以∠C=∠C'=90°。 所以,△ABC 是直角三角形。 探究一 勾股定理的逆定理 使得∠C'=90°,A'C'=b,B'C'=a. 我们可以通过证明△A'B'C'≌△ABC, 探究一 勾股定理的逆定理 概括与表达 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理： A B C 在△ABC 中 几何语言： ∵a2+b2=c2 ∴△ABC 是直角三角形 如何确定哪个角 为直角呢? 勾股定理与其逆定理的关系 探究一 勾股定理的逆定理 类别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 联系 在△ABC中,∠C=90° 在△ABC 中，a2+b2=c2 a2+b2=c2 △ABC 是直角三角形 以“一个三角形是直角三角形”条件，得到数量关系“a2+b2=c2”结论,即由“形”到“数” 以“一个三角形的三边满足a2+b2=2"为 条件,得到“这个三角形是直角三角形”, 即由“数”到“形” 两者都与三角形的三边有关系 例1、已知三角形三条边的长分别是: (1)2,3,4; (2)3x,4x,5x(x>0)。 分别判断它们是否为直角三角形。 解:(1)在边长为2,3,4的三角形中,4是最大边长。 ∵22+32=13≠42, ∴该三角形不是直角三角形。 例题解析 (2) 在边长为3x,4x,5x(x>0)的三角形中,5x是最大边长。 ∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2, ∴该三角形是直角三角形。 1.已知三角形三条边的长分别是: (1)1.5,2,2.5; (2)10,24,26; (3)12,15,18。分别判断它们是否为直角三角形，。 巩固练习 一般地，如果三个正整数a,b,c，满足a2+b2=c2, 那么数组(a,b,c)称为勾股数组。 探究二 勾股数组 1.什么叫作勾股数组？ 2.如果a,b,c为一组勾股数,那么na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n>1)为自然数。 例如:3,4,5为一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15也是一组勾股数。 探究二 勾股数组 例2、下列几组数中,哪些是勾股数组? ①（，，1）; ②(9,40,41); ③(3,-4, 5); ④(0.3,0.4,0.5) 解:①∵（，1）不是正整数, ∴①不是勾股数组 ②∵92+402=412,且 9,40,41均是正整数, ∴②是勾股数组; ③虽然 32+(-4)²=5²,但-4不是正整数, ∴ ③不是勾股数组; ④虽然0.32+0.4²=0.52,但 0.3,0.4,0.5不是正整数, ∴④不是勾股数组。 确定勾股数组的一般步骤： (1)看:观察这三个数是不是三个正整数,不是正整数就不 是勾股数组。 (2)算:计算最大数的平方及较小两个数的平方和。 (3)判:比较较小两数的平方和是否等于最大数的平方, 若相等,则是勾股数组;若不相等,则不是勾股数组。 规律总结 探究二 勾股数组 ①(7，24，25)，②(8，15，17)， ③(20，21，29)。 2.下列几组数中,哪些是勾股数组？ 3.如图,正方形网格中,每个小方格的边长为1,且点A,B,C 均为格点。(1)判断△ABC 的形状; (2)求(AC+BC)2。 A B C 4.一个零件的形状如图所示。已知∠DAB=90°, AB=3,AD=4,BC=12,CD=13。能判断∠DBC是直角吗? 证明你的结论。 本节课你有什么收获？ 本节课我们经历了怎样的学习过程? 从中收获了哪些知识? 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果 三角形两边的平方和等于 第三条边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。 互逆 定理 课堂小结 1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.一个三角形三个内角的度数之比为3:4:5 B.在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17 C.在△ABC中,∠A+∠B=∠C D.一个三角形的三边长a,b,c满足(a+b)(a- b)=c² 当堂检测 2.一个三角形的三边长的比为3:4:5,且其周长为 24 cm, 则其面积 . 3.一块田地的形状如图所示，已知AB=13 m,BC=12 m, CD=3m，AD=4m,∠ADC=90°,求该田地的面积. $