专题3.3 函数的单调性和最值（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题3.3 函数的单调性和最值 教学目标 知识与技能 1.学生能够准确理解函数单调性和最值的概念，清楚增函数、减函数以及函数最大值、最小值的定义，并能用数学语言进行描述。 2.熟练掌握判断函数单调性的常见方法，包括定义法、图象法、利用基本函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法等；能够运用这些方法判断给定函数的单调性。 3.学会求函数的最值，掌握通过函数单调性、图象、导数（如果在高中阶段已涉及导数内容）等方法求解函数在给定区间上的最值。 过程与方法 1.通过对函数单调性和最值概念的探究，培养学生的抽象概括能力，从具体的函数实变式中归纳出一般性的数学概念。 2.在运用定义法判断函数单调性的过程中，提升学生的逻辑推理能力，规范数学证明的步骤和书写。 3.通过分析函数图象与单调性、最值的关系，培养学生的数形结合思想，能够将代数问题与几何图形相互转化，提高分析和解决问题的能力。 情感态度与价值观 1.让学生在探索函数性质的过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，培养学生一丝不苟的科学态度。 2.通过解决实际问题中函数的单调性和最值问题，感受数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重难点 教学重点 1.深刻理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性是函数在某个区间上的局部性质，能准确用定义判断函数在给定区间上的单调性。 2.熟练掌握定义法的证明步骤（取值、作差、变形、定号、下结论），能够利用函数图象直观判断单调性，熟悉常见基本函数（如一次函数、二次函数、反比变式函数等）的单调性，并能根据复合函数“同增异减”等法则判断复合函数的单调性。 3.掌握通过函数单调性求最值的方法，对于常见函数模型（如二次函数在闭区间上的最值问题）能熟练求解，同时了解利用函数图象和导数等方法求最值。 教学难点 1.从具体函数实变式过渡到抽象的数学定义对学生来说有一定难度，特别是理解函数单调性与自变量取值区间的紧密联系；在应用定义证明单调性时，对差式的变形技巧（如因式分解、配方等）以及定号的准确判断是学生的学习难点。 2.需要学生理解内层函数与外层函数之间的关系，准确把握“同增异减”法则的使用条件，对于较为复杂的复合函数，正确分析其单调性对学生思维能力要求较高。 3.在函数中含有参数时，参数的取值会影响函数的单调性和最值，学生需要分类讨论参数的不同取值情况，综合运用函数的性质进行分析和求解，这对学生的综合能力要求较高。 知识点1 函数的单调性 1.单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 函数在区间上的图象从左到右是上升的 单调递减 一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 函数在区间上的图象从左到右是下降的 的三个特征 (1)同区间性，即.(2)任意性，即不可用区间上的两个特殊值代替.(3)有序性，即需要区分大小，通常规定. 自变量的大小与函数值的大小关系 可以利用单调性的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化. (1)单调递增：； (2)单调递减：. 2函数的单调性及单调区间 (1)当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. (2)如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.（单调区间一定是定义域的子集） (1)并非所有函数都具有单调性，变式如：函数，它的定义域为，但不具有单调性. (2)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括.变式如：的单调递增区间为，也可以写为.但是需要注意，函数在区间端点处无定义时，单调区间不能包括端点. (3)单调区间不能取并集，只能用“和”或“，”连接. 变式如：函数在和上均单调递减，若取并集，则，且，可能小于（如），这与单调性定义矛盾. 3常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在上单调递增； 时，在上单调递减 反比变式函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和 二次函数 时，单调递减区间是，单调递增区间是； 时，单调递减区间是，单调递增区间是. 知识点2 函数的最大（小）值 1 函数的最大（小）值 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最大值。 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标。 函数的最小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最小值。 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 2 利用函数单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间[a,b]上单调递增，那么函数的最大值为，最小值为。 （2）如果函数在区间[a,b]上单调递减，那么函数的最大值为，最小值为。 （3）如果函数在区间[a,b]上单调递增，在区间$[b,c]$上单调递减，那么函数在处有最大值； （4）如果函数在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数在处有最小值。 一般情况下，利用函数的单调性就可以求出函数的最值，但是对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即函数的最大（小）值。 知识点3 单调函数的运算性质 若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质。 （1）与（为常数）具有相同的单调性。 （2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性。 （3）若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性。 （4）若，则与具有相同的单调性。 （5）在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当在区间上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则在区间上也是单调递增（减）的；若两者都恒小于零，则在区间上单调递减（增）。 知识点4 复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由在区间上单调递减的简单函数的个数决定，若有偶数个，则这个复合函数在区间上单调递增；若有奇数个，则这个复合函数在区间上单调递减。 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 例1（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由题意，得函数为增函数，由分段函数的单调性，得出关于a的不等式组，解出即可. 【详解】由题意，对任意，，，都有， 得在上单调递增，故，解得， 即a的取值范围是， 故选：C. 变式1-1（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 变式1-2（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 题型二、求函数的单调区间 例2（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间、判断一般幂函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定答案. 【详解】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 变式2-1（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 变式2-2（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 题型三、根据函数的单调性求参数值 例3（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 变式3-1（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 变式3-2（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为存在两个不相等且大于等于的实数根，换元，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根， 令，则， 令，则 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型四、根据图像判断函数单调性 例4（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取最大值 B．当时，取最小值 C．当时，递增 D．的单调减区间是 【答案】ACD 【知识点】函数周期性的应用、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】由图可知的最小正周期为，得到一个周期内的最值与单调区间，再根据函数的周期性可判断各选项中结论的真假. 【详解】由图可知的最小正周期为， 由图可知在处取得最大值，因为的最小正周期为， 所以在处取得最大值，当，即时，取最大值，A正确； 因为当时，即时，取最大值，故B错误； 由图可知在上递增，因为的最小正周期为，所以在上递增，即当时，递增，C正确； 在图中一个周期内，的递减区间为，因为的最小正周期为，所以的单调减区间是，D正确. 故选：ACD. 变式4-1（24-25高一上·湖北·期中）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【知识点】具体函数的定义域、函数图象的应用、解不含参数的一元二次不等式、根据图像判断函数单调性 【分析】化简函数的解析式，作出该函数的图象，可判断ABC选项；分或、两种情况解不等式，可判断D选项. 【详解】由得，解得或， 由得，解得. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，易知函数的定义域为，A对； 对于B选项，由图可知，的值域为，B错； 对于C选项，由图可知，函数的单调递减区间为，C对； 对于D选项，当或时，由，可得， 解得或，此时，或， 当时，，此时，不等式无解. 综上所述，不等式的解集为或，D对. 故选：ACD. 变式4-2（24-25高一上·四川泸州·期中）给定函数，，. (1)，用表示，中的最小者，记为.请分别用图象法及解析法表示函数； (2)根据图象判断函数的单调性（不证明），并求若成立时实数的取值范围. 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递减， 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】（1）根据题意可求得分段函数以及分段函数的图象； （2）根据图象得到单调性，根据单调性得到不等式求解即可. 【详解】（1）令，则，解得或， 令，则，解得， 所以，如图所示： ； （2）根据（1）中的图象可得函数为单调递减函数， 对，且时，都有， 所以函数在R上单调递减； 因为函数在R上单调递减，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 题型五、复合函数的单调性 例5（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 变式5-1（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 变式5-2（24-25高一上·江西赣州·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在单调递增 D．的值域为 【答案】ABC 【知识点】求函数值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；代入检验可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用反函数法可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， ，故为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项正确； 对于C选项，因为， 设，因为在上单调递减，内层函数在上为减函数， 所以在单调递增，故C选项正确； 对于D选项，令，可得，解得或， 函数的值域为 ，故D选项错误. 故选：ABC. 变式5-3（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 题型六、根据函数的单调性解不等式 例6（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围. 【详解】因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以. 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 变式6-1（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】判断一般幂函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性可得，即可利用二次不等式的解法得解. 【详解】由和在上都是单调递增，知在上单调递增， 又，则为奇函数． 由，得，即，即有，解得． 故答案为： 变式6-2（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 变式6-3（24-25高一·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 题型七、比较函数值的大小关系 例7（24-25高一上·上海·期末）定义在上的函数的图象是连续曲线，其值域为，且是严格减函数，存在实数、、，其中，满足．若实数是函数的零点，则下列结论总成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的零点、比较函数值的大小关系 【分析】对、的符号进行分类讨论，结合与函数的单调性判断即可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数的图象是连续曲线，其值域为， 且是严格减函数， 若存在实数、、，其中，满足， 若，则，此时，，与题意矛盾， 故，所以，； 若，此时，，不妨取，此时，合乎题意； 若，此时，，此时，，则，满足题意. 所以，与的大小关系不确定， 故选：C. 变式7-1（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（    ） A．是单调递增函数 B．是偶函数 C．函数的最小值为 D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】对于ACD，只需要利用作差法判断的单调性即可解，对于B，由定义域不关于原点对称即可排除. 【详解】对于ACD，不妨设， 则， 因为，所以，， 所以，即，故在上单调递减， 所以，，故AD错误，C正确； 对于B，因为，即的定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故B错误. 故选：C. 变式7-2（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为0 B．若且，则 C．函数的图象关于点中心对称 D．若是的三边，则 【答案】ABD 【知识点】函数对称性的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、比较函数值的大小关系 【分析】利用基本不等式判断AB；利用函数定义域不对称判断C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法判断D. 【详解】对于A，当时，函数， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以函数的最小值为0，故A选项正确； 对于B，由，得， 即（当且仅当4时，等号成立），故B选项正确； 对于C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称， 所以函数的图象不关于点中心对称，故C选项错误； 对于D，在上单调递增，是的三边， 则，， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 变式7-3（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论． 【详解】对任意两个不相等的正数，都有， 设，则， 当时，，即，函数在上单调递减， 函数为偶函数，，，，， 在上单调递减，则，，，， 由此可判断A错误，B，C，D正确， 故选：BCD. 题型八、根据解析式直接判断函数的单调性 例8（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇偶性、单调性的概念、性质逐个判断即可； 【详解】对于A，易知，所以不是奇函数．错； 对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错； 对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错； 对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数， 故选：D． 变式8-1（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 【答案】ACD 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对于给定的函数，结合对勾函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确； 对于B，，因此的值域不为，B错误； 对于C，，有，， 函数是奇函数，C正确； 对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增， 又是奇函数，则在上单调递减，在上单调递增， 因此的单调递减区间为和，D正确. 故选：ACD 变式8-2（24-25高一上·四川成都·期末）设函数，则（   ） A．的定义域为R B．是偶函数 C．在上单调递增 D．的值域为R 【答案】BCD 【知识点】具体函数的定义域、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据解析式求定义域，应用奇偶性定义判断奇偶性，再由复合函数的单调性判断在上单调性，由换元法及分式型函数的性质求值域. 【详解】由，显然定义域为，A错； 由，即是偶函数，B对； 由在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增，C对； 令，则在上值域为R，即的值域为R，D对. 故选：BCD 变式8-3（24-25高一上·河南商丘·期末）已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、基本不等式求积的最大值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型九、利用函数单调性求最值或值域 例9（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 变式9-1（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) (3)① ② 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）设两根式，结合可得； （2）参变分离，转化为的最值问题； （3）①根据单调性，转化为有两个正根可得；②根据分类讨论即可. 【详解】（1）因为二次函数满足，所以可设， 又，所以，解得，故. （2）由(1)知等价于， 因为存在，使得成立，所以. 令，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故.故实数m的取值范围是. （3）①，显然在上单调递增， 依题意可得，即是方程的两个互异的正根， 故，即，故实数c的取值范围是. ②若，则. 当时，在上单调递增，所以； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上， 变式9-2（24-25高一上·湖南岳阳·期末）春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． (1)求的表达式； (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式； （2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得. 【详解】（1）依题意，当时，设， 因，解得， ， （2）当， ， 当且仅当时等号成立； 当时，在上为减函数，故得. 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 题型十、根据函数的最值求参数 例10（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、函数新定义 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 变式10-1设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、根据函数的值域求定义域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 变式10-2（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 变式10-3（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型十一、函数不等式恒成立问题 例11（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 变式11-1（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）分，，三种情况讨论，从而可求得不等式的解集； （2）由题意可得在内恒成立，利用在的最大值即可. 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. 变式11-2（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）代入，得到不等式，讨论当时，不等式成立；当或时，分别求解绝对值不等式，然后得到不等式解集； （2）根据整理不等式，然后解绝对值不等式，用含的代数式表示的取值范围，由恒成立转换为求代数式最值，从而求得的取值范围. 【详解】（1）由题知，，即解不等式 当时，不等式显然不成立； 当时，即解，解得或，又因，所以； 当时，即解，解得，又因，所以 综上所述， （2）由题知，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即与在上恒成立． 函数在上单调递增，所以最大值为0，所以； 函数在时，，当且仅当，即时取等号，所以最小值为4，所以； 综上所述， 题型十二、函数不等式能成立（有解）问题 例12（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围. 【详解】因为时，，故需时，恒成立， 故即，所以的最大值是， 故选：A. 变式12-1（24-25高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 变式12-2（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 变式12-3（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 1．（比较函数值的大小关系）已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确定中不可能最大的作答. 【详解】正实数，则，有，于是， 因此，函数， 即有函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则有，C正确； 若，则有，A正确； 若且，则当时，， 当时，，实数最大数记为， 于是， 因此选项B可能，选项D一定不可能. 故选：D 2．（定义法判断或证明函数的单调性）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3．（抽象函数）（多选）已知函数，对于任意，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、由基本不等式证明不等关系、比较函数值的大小关系 【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A正确； 由已知，① 令满足题干要求，则，故B错误； 由①可知，令，则， 又因为，则，所以，故C正确； 因为，所以， 又由①，令，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（根据函数的单调性求参数值）（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比变式函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B，，则， 即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增， 所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 6．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 7．（根据图像判断函数单调性）（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 试卷第1页，共3页 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 函数的单调性和最值 教学目标 知识与技能 1.学生能够准确理解函数单调性和最值的概念，清楚增函数、减函数以及函数最大值、最小值的定义，并能用数学语言进行描述。 2.熟练掌握判断函数单调性的常见方法，包括定义法、图象法、利用基本函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法等；能够运用这些方法判断给定函数的单调性。 3.学会求函数的最值，掌握通过函数单调性、图象、导数（如果在高中阶段已涉及导数内容）等方法求解函数在给定区间上的最值。 过程与方法 1.通过对函数单调性和最值概念的探究，培养学生的抽象概括能力，从具体的函数实变式中归纳出一般性的数学概念。 2.在运用定义法判断函数单调性的过程中，提升学生的逻辑推理能力，规范数学证明的步骤和书写。 3.通过分析函数图象与单调性、最值的关系，培养学生的数形结合思想，能够将代数问题与几何图形相互转化，提高分析和解决问题的能力。 情感态度与价值观 1.让学生在探索函数性质的过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，培养学生一丝不苟的科学态度。 2.通过解决实际问题中函数的单调性和最值问题，感受数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重难点 教学重点 1.深刻理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性是函数在某个区间上的局部性质，能准确用定义判断函数在给定区间上的单调性。 2.熟练掌握定义法的证明步骤（取值、作差、变形、定号、下结论），能够利用函数图象直观判断单调性，熟悉常见基本函数（如一次函数、二次函数、反比变式函数等）的单调性，并能根据复合函数“同增异减”等法则判断复合函数的单调性。 3.掌握通过函数单调性求最值的方法，对于常见函数模型（如二次函数在闭区间上的最值问题）能熟练求解，同时了解利用函数图象和导数等方法求最值。 教学难点 1.从具体函数实变式过渡到抽象的数学定义对学生来说有一定难度，特别是理解函数单调性与自变量取值区间的紧密联系；在应用定义证明单调性时，对差式的变形技巧（如因式分解、配方等）以及定号的准确判断是学生的学习难点。 2.需要学生理解内层函数与外层函数之间的关系，准确把握“同增异减”法则的使用条件，对于较为复杂的复合函数，正确分析其单调性对学生思维能力要求较高。 3.在函数中含有参数时，参数的取值会影响函数的单调性和最值，学生需要分类讨论参数的不同取值情况，综合运用函数的性质进行分析和求解，这对学生的综合能力要求较高。 知识点1 函数的单调性 1.单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 函数在区间上的图象从左到右是上升的 单调递减 一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 函数在区间上的图象从左到右是下降的 的三个特征 (1)同区间性，即.(2)任意性，即不可用区间上的两个特殊值代替.(3)有序性，即需要区分大小，通常规定. 自变量的大小与函数值的大小关系 可以利用单调性的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化. (1)单调递增：； (2)单调递减：. 2函数的单调性及单调区间 (1)当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. (2)如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.（单调区间一定是定义域的子集） (1)并非所有函数都具有单调性，变式如：函数，它的定义域为，但不具有单调性. (2)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括.变式如：的单调递增区间为，也可以写为.但是需要注意，函数在区间端点处无定义时，单调区间不能包括端点. (3)单调区间不能取并集，只能用“和”或“，”连接. 变式如：函数在和上均单调递减，若取并集，则，且，可能小于（如），这与单调性定义矛盾. 3常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在上单调递增； 时，在上单调递减 反比变式函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和 二次函数 时，单调递减区间是，单调递增区间是； 时，单调递减区间是，单调递增区间是. 知识点2 函数的最大（小）值 1 函数的最大（小）值 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最大值。 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标。 函数的最小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最小值。 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 2 利用函数单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间[a,b]上单调递增，那么函数的最大值为，最小值为。 （2）如果函数在区间[a,b]上单调递减，那么函数的最大值为，最小值为。 （3）如果函数在区间[a,b]上单调递增，在区间$[b,c]$上单调递减，那么函数在处有最大值； （4）如果函数在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数在处有最小值。 一般情况下，利用函数的单调性就可以求出函数的最值，但是对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即函数的最大（小）值。 知识点3 单调函数的运算性质 若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质。 （1）与（为常数）具有相同的单调性。 （2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性。 （3）若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性。 （4）若，则与具有相同的单调性。 （5）在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当在区间上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则在区间上也是单调递增（减）的；若两者都恒小于零，则在区间上单调递减（增）。 知识点4 复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由在区间上单调递减的简单函数的个数决定，若有偶数个，则这个复合函数在区间上单调递增；若有奇数个，则这个复合函数在区间上单调递减。 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 例1（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式1-2（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二、求函数的单调区间 例2（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式2-1（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 变式2-2（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 题型三、根据函数的单调性求参数值 例3（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是 . 题型四、根据图像判断函数单调性 例4（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知某周期函数一个周期的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取最大值 B．当时，取最小值 C．当时，递增 D．的单调减区间是 变式4-1（24-25高一上·湖北·期中）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．不等式的解集为或 变式4-2（24-25高一上·四川泸州·期中）给定函数，，. (1)，用表示，中的最小者，记为.请分别用图象法及解析法表示函数； (2)根据图象判断函数的单调性（不证明），并求若成立时实数的取值范围. 题型五、复合函数的单调性 例5（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 变式5-1（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 变式5-2（24-25高一上·江西赣州·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在单调递增 D．的值域为 变式5-3（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、根据函数的单调性解不等式 例6（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-1（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 变式6-2（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 变式6-3（24-25高一·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 题型七、比较函数值的大小关系 例7（24-25高一上·上海·期末）定义在上的函数的图象是连续曲线，其值域为，且是严格减函数，存在实数、、，其中，满足．若实数是函数的零点，则下列结论总成立的是（    ） A． B． C． D． 变式7-1（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（    ） A．是单调递增函数 B．是偶函数 C．函数的最小值为 D． 变式7-2（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为0 B．若且，则 C．函数的图象关于点中心对称 D．若是的三边，则 变式7-3（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八、根据解析式直接判断函数的单调性 例8（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 变式8-1（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 变式8-2（24-25高一上·四川成都·期末）设函数，则（   ） A．的定义域为R B．是偶函数 C．在上单调递增 D．的值域为R 变式8-3（24-25高一上·河南商丘·期末）已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 题型九、利用函数单调性求最值或值域 例9（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 变式9-1（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 变式9-2（24-25高一上·湖南岳阳·期末）春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． (1)求的表达式； (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 题型十、根据函数的最值求参数 例10（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 变式10-1设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 变式10-2（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 变式10-3（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型十一、函数不等式恒成立问题 例11（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式11-1（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 变式11-2（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 题型十二、函数不等式能成立（有解）问题 例12（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 变式12-1（24-25高一上·四川眉山·期末）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式12-2（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 变式12-3（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 1．（比较函数值的大小关系）已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（定义法判断或证明函数的单调性）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（抽象函数）（多选）已知函数，对于任意，，则（    ） A． B． C． D． 4．（根据函数的单调性求参数值）（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 6．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 7．（根据图像判断函数单调性）（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 试卷第1页，共3页 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $