专题6.4.1 用样本估计总体的集中趋势（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

本讲义聚焦用样本估计总体的集中趋势，系统梳理平均数（含简单、加权及分组数据组中值计算）、中位数、众数的定义、计算方法及统计意义，承接抽样方法，为后续离散趋势估计构建统计推断的知识支架。 该资料以“概念理解-精准计算-实际应用”为主线，通过即学即练、典例变式（如招聘评分加权计算、车速众数分析）培养数学思维，结合频率分布直方图题目强化数据意识，课中助力分层教学，课后多样化题型帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

专题6.4.1 用样本估计总体的集中趋势 教学目标 1.理解样本集中趋势的核心概念：明确平均数（简单平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义及统计意义，知晓三者是描述数据 “中心位置” 的关键量. 2.掌握样本集中趋势的计算方法： （1）能熟练计算简单数据的平均数、中位数、众数； （2）会处理分组数据（频率分布表）的加权平均数（以组中值为代表，结合频数计算）； （3）理解 “权” 的含义（频数、比例等对平均数的影响）. 3.掌握用样本估计总体的基本逻辑：能通过样本的平均数、中位数、众数，合理估计总体的集中趋势，明确样本代表性对估计结果的影响. 教学重难点 1.重点： （1）核心概念与计算： ①平均数（含加权平均数）、中位数、众数的定义及准确计算（包括简单数据和分组数据）； ②“权” 的本质理解（频数、频率、比例等均为 “权”，反映数据的重要程度）. （2）估计原理与应用： ①用样本集中趋势估计总体的基本逻辑（样本是总体的缩影，当样本具有代表性时，估计结果更可靠）； ②结合实际情境，选择合适的集中趋势量（如数据含极端值时用中位数，需反映多数情况时用众数）. 三者的特征对比： 明确平均数、中位数、众数的优缺点（如平均数易受极端值影响，中位数、众数更稳健），能根据数据特点灵活选用 2.难点： （1）抽象概念的理解； （2）估计原理的本质把握； （3） 实际情境中的灵活运用. 知识点01 平均数 1.定义：平均数是反映一组数据平均水平的量. 2.在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，于是，称为μ的估计. 3.称W i = (i=1,2,…,L)为第 i层的层权.对 i=1,2,…,L，用表示从第i层抽出样本的均值，我们称 是总体均值μ的简单估计. 【即学即练】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是 . 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先根据韦达定理求出，再根据平均数的求法即可求解. 【详解】解：，是方程的两个根， ， 则， 即4，，，7的平均数是. 故答案为：. 知识点02 众数、中位数 1.众数（1）定义：一组数据中出现次数最多的数据值. （2）特点：①众数不唯一，若有多个数据出现次数相同且最多，则这些数据都是众数； ②众数不受极端值影响，适用于描述数据的 “多数水平”，常用于市场调研、投票统计等场景. 2.中位数：（1）定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数. （2）特点：不受极端值影响，能反映数据的 “中等水平”，适合数据分布不均匀的情况. 3.三个统计量的比较： 统计量 计算依据 受极端值影响 适用场景 平均数 所有数据 是 数据分布均匀、无极端值的情况 众数 数据出现次数 否 描述 “多数情况”，如销量最高的商品型号 中位数 数据的位置顺序 否 数据有极端值、分布不均匀的情况 【即学即练】（22-23高一上·全国·单元测试）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均数为，则的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据题意求中位数、众数和平均数，进而可对结果. 【详解】由条形统计图可知，30名学生的得分为 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 因为中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，所以， 且5出现次数最多，故， 平均数， 因为，即. 故答案为：. 题型01 众数及其计算 【典例1】（23-24高一下·天津河东·期末）中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为 【答案】/ 【知识点】根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据频率分布直方图中众数的求法求解即可. 【详解】由图可知，众数为. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为 ； 【答案】5 【知识点】计算几个数的众数 【分析】根据众数的定义确定已知数据的众数即可. 【详解】由题设，给定数据中5出现次数最多，故众数为5. 故答案为：5 【变式1-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数是 . 【答案】70 【知识点】计算几个数的众数、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据给定的条形统计图，利用众数的意义直接写出结果. 【详解】由条形统计图知，70千米/时是出现次数最多的，所以这些车速的众数是70. 故答案为：70 【变式1-3】（24-25高一上·河南·月考）将25个数放入如图所示的方格表，则这25个数的众数为 ，若从这25个方格中选5个方格，要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为 ． 10 21 30 41 50 11 20 30 40 49 10 19 29 40 51 11 20 31 39 50 11 23 32 43 52 【答案】 【知识点】计算几个数的众数 【分析】根据众数的定义，将表格每一列分列减，取表格中尽可能大的，可得答案. 【详解】由表格中的数据可知出现次数最多，一共有三次，故众数为； 对于表格由第一列到第五列分列减，可得下表： 易知若要取得符合题意的最大值，在第五行取，其他行分别取， 所以最大值为. 故答案为：；. 题型02 计算几个数的中位数 【典例2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）一组数据按从小到大顺序排列为：，则这组数据的中位数是 ，众数是 . 【答案】 7 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】数据按从小到大排列：，所以中位数是7； 数据出现2次，次数最多，所以众数是． 故答案为：7；． 【变式2-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数与中位数之和为 . 【答案】15 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】将个数按照从小到大的顺序排列，找出中位数和众数即可. 【详解】将个数按照从小到大的顺序排列，5、5、6、7、8、8、8， 这组数据的众数是8，中位数是7，这组数据的众数与中位数之和为. 故答案为：15. 【变式2-2】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80.这组数据的中位数是 . 【答案】79 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】由中位数定义求出中位数. 【详解】这组数据从小到大排列为77，77，79，79，80，80，80. 最中间的那个数是79，即这组数据的中位数为79． 故答案为：79 【变式2-3】（25-26高一上·上海黄浦·月考）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌，以下是近几届奥运会男子4100米混合泳接力项目冠军的成绩（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 这组数据的中位数为 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】这10个数的中位数是第5,6个数的算数平均数，为. 故答案为： 题型03 根据众数、中位数求参数 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是 【答案】21 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数 【分析】根据众数，中位数的概念结合条件即得. 【详解】因为五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6， 所以其中有三个数为4,6,6，前面两个数为2和3时这组数据的和最大， 所以这组数据可能的最大的和是21. 故答案为：21. 【变式3-1】（2022·四川南充·一模）2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m= .    【答案】/ 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【分析】根据中位数之前的矩形面积之和对于列方程求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 故答案为： 【变式3-2】（21-22高一上·辽宁沈阳·期末）某同学10次测试成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则的最小值 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值、由茎叶图计算中位数 【分析】由题意可得，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由茎叶图，因为总体的中位数为12， 所以，故， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】先确定从小到大排列后的位置，再根据中位数的定义解答即可． 【详解】根据题意，的位置按照从小到大的排列只能是：、、、、、， 根据中位数是，得：，解得：． 故答案为：． 题型04 由频率分布直方图估计中位数 【典例4】（15-16高二上·江西赣州·期中）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为 ． 【答案】/ 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【分析】先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数. 【详解】前两个矩形的面积为， 前三个矩形的面积为， 所以中位数在区间，设中位数为， 由题得，解之得. ∴中位数的估计值为. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 【答案】 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为， 数学成绩在区间的频率为， 因此数学成绩的中位数，且，解得， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为. 故答案为： 【变式4-2】（2022高一·全国·专题练习）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为 .    【答案】65，62.5. 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据矩形的高确定众数，先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数. 【详解】解：∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为. 前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4<， 前三个矩形的面积为(0.01＋0.03+0.04)×10＝0.8＞, 所以中位数在区间，设中位数为， 由题得，解之得. ∴中位数的估计值为62.5. 故答案为：65，62.5. 【变式4-3】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为 ． 【答案】360 【知识点】由频率分布直方图估计中位数 【分析】由中位数的概念结合面积即可求解； 【详解】第一个矩形面积为， 第二个矩形面积为：， 前两个个面积和为：， 第三个矩形面积为：， 所以中位数为：， 故答案为：360 题型05 计算几个数的平均数 【典例5】（24-25高一下·湖北武汉·期末）立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为 ． 【答案】9 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】求出修正后的10个数据的和，进而求出平均数. 【详解】修正后的10个数据的和为， 修正后的10个数据的平均数为. 故答案为：9 【变式5-1】（24-25高一下·山西大同·期末）某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 ．（精确到0.1） 【答案】5.4 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知合在一起的样本平均数为， 故答案为：5.4 【变式5-2】（23-24高一下·河南新乡·期末）在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为 . 【答案】3.5 【知识点】计算几个数的平均数、分层抽样的特征及适用条件 【分析】设B类样本的平均数为x，通过总体的平均数列方程，进而解方程可得B类样本的平均数. 【详解】设B类样本的平均数为x，则，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】结合分层抽样的概念即可求解. 【详解】由题意可知样本的平均数为. 所以总体的平均数为. 故答案为：. 题型06 根据平均数求参数 【典例6】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 【答案】或 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】利用平均数，中位数的性质结合分类讨论求解即可. 【详解】当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得， 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，与范围不符，故排除 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，经检验，和均符合题意. 故答案为：或. 【变式6-1】（24-25高一上·山西晋中·开学考试）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是 . 【答案】16 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数的平均数 【分析】由平均数的求法列方程求得，根据中位数定义确定中位数. 【详解】由，可得. 所以数据从小到大为，显然中位数为16. 故答案为：16 【变式6-2】（23-24高二上·江西南昌·期末）记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为 . 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数、根据平均数求参数 【分析】根据平均数公式运算求解即可. 【详解】因为样本、、…、的平均数为，可得， 样本、、…、的平均数为，可得， 又因为样本、、…、、、、…、的平均数为 ， 且，整理得，即. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 . 【答案】1 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念求出结果. 【详解】这组数据的平均数为， 有， 可求得. 将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1， 其平均数即中位数是. 故答案为：1. 题型07 平均数的和差倍分性质 【典例7】（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 【答案】14 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质 【分析】根据数据的平均数的性质以及计算公式，即可求得答案. 【详解】由于样本数据的平均数为8，故， 的平均数为， 则， 故数据，的平均数为， 故答案为：14 【变式7-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）数据的平均数为1，则数据的平均数为 . 【答案】6 【知识点】平均数的和差倍分性质 【分析】由平均数的性质即可求解. 【详解】数据的平均数为1，则数据的平均数为. 故答案为：6. 【变式7-2】（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为 ． 【答案】7 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：7. 【变式7-3】（23-24高一上·山东日照·期末）若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是 ． 【答案】21 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质 【分析】根据平均数的性质求解即可 【详解】因为，，…，的平均数是10，所以， 所以数据的平均数， 故答案为：21. 题型08 由频率分布直方图估计平均数 【典例8】（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    【答案】 105 103.5 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，结合频率分布直方图计算可得. 【详解】由题图知，底部周长的众数是； 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数在内，设为，则， 解得； 平均数是． 故答案为：；；. 【变式8-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 【答案】76.2 【知识点】由频率分布直方图估计平均数 【分析】根据平均值计算方法求解. 【详解】样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 故答案为：76.2. 【变式8-2】（23-24高一下·湖南娄底·期末）某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，上的频率分布直方图如图所示，记这名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为，则的值为 ．    【答案】/ 【知识点】由频率分布直方图估计平均数 【分析】用区间的左端点值乘各组的频率即可得解. 【详解】平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，所以有： ． 故答案为：67.5 【变式8-3】（24-25高一上·江西抚州·期末）抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    【答案】 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、补全频率分布直方图 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可求得的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，可得出评分的平均数. 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 题型09 用平均数的代表意义解决实际问题 【典例9】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【答案】乙 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】根据题目所给比例计算三位应聘者得总成绩即可得到结论. 【详解】由题，对于甲，他的总成绩如下： , 对于乙，他的总成绩：, 对于丙，他的总成绩：, 比较三者总成绩，乙的成绩最高。 故答案为：乙 【变式9-1】（23-24高一下·贵州毕节·期末）一支田径队有男运动员50人，女运动员40人.按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为18的样本，得到男生､女生的平均身高分别为和.估计该田径队全体队员的平均身高为 . 【答案】167 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样方法可得样本中男女生人数，再根据男生与女生的平均身高求出样本的平均数，从而估计田径队全体队员的平均身高. 【详解】由题意可得，样本中男生人数为， 女生人数为， 则样本运动员的平均身高为， 故估计该田径队全体队员的平均身高为. 故答案为：. 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为 环． 【答案】 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】先得到第一，第二，第三中队参加考核人数，估计求出参加考核的30人的平均射击环数. 【详解】该武警大队共有（人）， 按比例分配得第一中队参加考核人数为； 第二中队参加考核人数为； 第三中队参加考核人数为， 所以参加考核的30人的平均射击环数为， 所以估计该武警大队队员的平均射击水平为环． 故答案为： 【变式9-3】（9-10高一下·内蒙古乌兰察布·期末）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如下，则罚球命中率较高的是 【答案】甲 【知识点】由茎叶图计算平均数、用平均数的代表意义解决实际问题 【详解】试题分析：根据所给的茎叶图，看出甲和乙的两组数据，做出两组数据的平均数，把两个平均数进行比较，得到甲的命中率比较高．解：根据茎叶图所给的数据，做出两个组的平均命中球数，,甲的平均命中球数：(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37) =21.4,乙的平均命中球数：(9+11+13+14+18+19+20+21+21+23+37) =20.5,∴甲的平均命中球数大于乙的平均命中球数，,即命中率较高的是甲,故答案为甲 考点：茎叶图和平均数 题型10 众数、中位数及平均数的综合问题 【典例10】（23-24高一下·云南大理·期末）平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断. 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数， 右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有. 故答案为：. 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（   ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．中位数不变 D．众数不变 【答案】BC 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】由平均数、中位数以及众数的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于AB，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分， 则总成绩变大，从而与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的平均数变大，A错误，B正确； 对于CD，记录成绩为：80，86，95，98，98，真实成绩为：80，86，95，96，98， 他们的中位数都是95，记录成绩的众数是98，真实成绩无众数，C正确，D错误. 故选：BC 【变式10-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 【答案】ACD 【知识点】众数、平均数、中位数的比较 【分析】频率分布直方图不同分布形态下众数、平均数、中位数之间的大小关系即可求解. 【详解】易知图（1）中，平均数中位数众数，故A错误； 图（2）中，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比， 平均数总是在“长尾巴”那边，即平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理可知，图（3）中，众数最大，平均数小于中位数，故D错误． 故选：ACD． 【变式10-3】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为 . 【答案】 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. 【详解】因为频率分布直方图在左侧“拖尾”，可知平均数小于中位数，即. 故答案为：. 一、单选题 1．（25-26高二上·四川成都·期中）样本数据2，4，6，8，的平均数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的定义直接计算可得. 【详解】由平均数的定义，平均为. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北·期中）射击运动员甲在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：4、4、5、7、7、8、8、9、9、10，则甲在测试中命中环数的中位数是（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】该数据一共有10个数据，所以其中位数是第5与第6个数的平均数. 第5个数为7，第6个数为8， 所以该组数据的中位数为. 故选：B 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据题意可知，或，结合题意可得出关于的不等式，即可得出的值，然后利用平均数公式可求得结果. 【详解】由题意可知，这组数据的中位数为， 因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为， 又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故， 因此，这组数据的平均数为. 故选：C. 4．（25-26高三上·河南新乡·期中）已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、计算几个数的中位数 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合中位数的意义判断即得. 【详解】数据组中，除外小于4的数有两个，大于4的数有两个，且有两个4， 因此取任意值，这组数据的中位数都是4，即这组数据的中位数为4不能推出， 若，则该数据组为，中位数为4； 若，则该数据组为，中位数为4， 因此当时，则该数据组的中位数为4， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件. 故选：A 5．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【答案】D 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质 【分析】由平均数的计算公式求解即可. 【详解】由题知：样本，，，，的平均数为12， 故++++； 样本，，，的平均数为16， 故+++； 所以样本，，，，，，，，的平均数为： ++++++++， 故选:D. 6．（25-26高三上·浙江·月考）已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】利用平均数为2得，由得，最后计算中位数即可. 【详解】由题，得，因为， 所以或或， 所以当该组数据为：，中位数为2， 当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2， 故选：B. 7．（25-26高二上·湖南永州·期中）高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A．多4.8厘米 B．多5.6厘米 C．多7.2厘米 D．多8.4厘米 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据题意计算出全班的平均身高进行比较. 【详解】设男生平均身高为，女生平均身高为，则， 总体平均身高为， 则男生的平均身高减全班的平均身高为， 故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米． 故选： 8．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平均数求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先通过平均数列式求得，然后利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为正数的平均数为， 所以，所以. 所以 ，当且仅当即时取等号. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（   ） A．这组数据的众数是70 B．这组数据的中位数是70 C．这组数据的平均数小于70 D．这组数据的平均数大于70 【答案】AD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】由数据的数字特征逐一判断即可求解． 【详解】对于选项A，这组数据中出现次数最多的数是70，所以这组数据的众数是70，故A正确； 对于选项B，这组数据的中位数是，故B错误； 对于选项C，D，这组数据的平均数是，故C错误；D正确． 故选：AD． 10．（25-26高二上·浙江·期中）某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（   ） A． B．这100位教职工中年龄在的人数为55 C．这100位教职工年龄的众数估计值为45 D．这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 【答案】AB 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为求出的值判断A；利用频数等于频率乘以样本容量计算判断B；利用众数的求法判断C；利用中位数的求法判断D. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1， 所以，解得，A正确. 对于B，这100位教职工中年龄在的人数为 ，B正确. 对于C，这100位教职工年龄的众数估计值为，C错误. 对于D，设这100位教职工年龄的中位数的估计值为，则 ，解得，D错误. 故选：AB. 11.．（24-25高二下·江西宜春·期中）某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（   ） A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80% B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分 C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分 D．该公司职工测试成绩的众数约为60分 【答案】BC 【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图一一分析即可. 【详解】由频率分布直方图，得： 对于A，该公司职工的测试成绩不低于分的频率为：， ∴该公司职工的测试成绩不低于分的人数约占总人数的，故A错误； 对于B，测试成绩在的频率为， 测试成绩在的频率为， ∴该公司职工测试成绩的中位数约为分，故B正确； 对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为： 分，故C正确； 对于D，该公司职工测试成绩的众数约为分，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是 (填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【答案】众数 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、用中位数的代表意义解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题 【分析】根据众数、平均数、中位数的意义进行选择. 【详解】鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大， 由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数. 故答案为：众数 13.（23-24高三上·河北秦皇岛·开学考试）五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是 . 【答案】29 【知识点】根据众数计算参数、计算几个数的中位数 【分析】假设五个数据按照由小到大排列为，根据中位数和众数的定义可求出的值，再由两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，从而可求出这五个数和的范围，进而可得答案. 【详解】假设五个数据按照由小到大排列为， 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 所以，所以最大的三个数的和为， 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5， 所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 故答案为：29 14．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 【答案】 【知识点】根据众数计算参数、计算几个数的中位数、根据平均数求参数 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·天津河西·期末）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】(1)50，0.03，0.004 (2)71，70.6 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据第一组的频数、频率求出样本容量，再根据第五组的频数、频率求出； （2）设中位数为m，根据中位数左边的矩形面积之和为列方程可求出的值，由将矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数. 【详解】（1）由题意可知，样本容量为，， ； （2）设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）三个班共有100名学生，为调查他们的课外读书情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的课外读书的时间，数据如下表（单位：小时）： A班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 B班 6 6.5 7 7.5 8 C班 6 7 8 9 10 11 12 (1)试估计A班的学生人数； (2)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周课外读书的时间分别是（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，求和，并比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算几个数的平均数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）由题意知，根据分层抽样方法，列出算式，即可求解； （2）由平均数的计算公式求得和的值，即可求解. 【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自A班的学生有8名， 根据分层抽样方法，可得A班的学生人数估计为人. （2）抽出的样本中A班学生该周课外读书的平均数为：， B班学生该周课外读书的平均数为， C班学生该周课外读书的平均数为，       ， ， 所以. 17.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某工厂有工人人，其中名工人参加过短期培训（称为类工人），另外名工人参加过长期培训（称为类工人）.现用分层抽样的方法（按类、类分二层）从该工厂的工人中共抽查 名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）. (1)类工人和类工人中各抽查多少工人？ (2)从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 生产能力分组 人数 表2 生产能力分组 人数 ①求、，再完成下列频率分布直方图； ②分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】(1)名和名； (2)①，，频率分布直方图见解析；②，，. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）先计算抽样比，进而可得各层抽取人数； （2）根据第一问结合表1和表2即可求出，根据频率分布直方图的画法即可画出频率分布直方图；利用频率分布直方图的平均数公式可求出答案. 【详解】（1）由已知可得，抽样比， 故类工人应抽取名，类工人应抽取名， 所以类工人和类工人中分别抽查名和名. （2）①由（1）得，解得， ，解得， 所以类工人生产能力频率分布直方图如下所示： 类工人生产能力频率分布直方图如下所示： ②， ， ， 所以类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为、和. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4.1 用样本估计总体的集中趋势 教学目标 1.理解样本集中趋势的核心概念：明确平均数（简单平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义及统计意义，知晓三者是描述数据 “中心位置” 的关键量. 2.掌握样本集中趋势的计算方法： （1）能熟练计算简单数据的平均数、中位数、众数； （2）会处理分组数据（频率分布表）的加权平均数（以组中值为代表，结合频数计算）； （3）理解 “权” 的含义（频数、比例等对平均数的影响）. 3.掌握用样本估计总体的基本逻辑：能通过样本的平均数、中位数、众数，合理估计总体的集中趋势，明确样本代表性对估计结果的影响. 教学重难点 1.重点： （1）核心概念与计算： ①平均数（含加权平均数）、中位数、众数的定义及准确计算（包括简单数据和分组数据）； ②“权” 的本质理解（频数、频率、比例等均为 “权”，反映数据的重要程度）. （2）估计原理与应用： ①用样本集中趋势估计总体的基本逻辑（样本是总体的缩影，当样本具有代表性时，估计结果更可靠）； ②结合实际情境，选择合适的集中趋势量（如数据含极端值时用中位数，需反映多数情况时用众数）. 三者的特征对比： 明确平均数、中位数、众数的优缺点（如平均数易受极端值影响，中位数、众数更稳健），能根据数据特点灵活选用 2.难点： （1）抽象概念的理解； （2）估计原理的本质把握； （3） 实际情境中的灵活运用. 知识点01 平均数 1.定义：平均数是反映一组数据平均水平的量. 2.在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，于是，称为μ的估计. 3.称W i = (i=1,2,…,L)为第 i层的层权.对 i=1,2,…,L，用表示从第i层抽出样本的均值，我们称 是总体均值μ的简单估计. 【即学即练】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·开学考试）已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是 . 知识点02 众数、中位数 1.众数（1）定义：一组数据中出现次数最多的数据值. （2）特点：①众数不唯一，若有多个数据出现次数相同且最多，则这些数据都是众数； ②众数不受极端值影响，适用于描述数据的 “多数水平”，常用于市场调研、投票统计等场景. 2.中位数：（1）定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数. （2）特点：不受极端值影响，能反映数据的 “中等水平”，适合数据分布不均匀的情况. 3.三个统计量的比较： 统计量 计算依据 受极端值影响 适用场景 平均数 所有数据 是 数据分布均匀、无极端值的情况 众数 数据出现次数 否 描述 “多数情况”，如销量最高的商品型号 中位数 数据的位置顺序 否 数据有极端值、分布不均匀的情况 【即学即练】（22-23高一上·全国·单元测试）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均数为，则的大小关系是 ． 题型01 众数及其计算 【典例1】（23-24高一下·天津河东·期末）中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为 【变式1-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为 ； 【变式1-2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数是 . 【变式1-3】（24-25高一上·河南·月考）将25个数放入如图所示的方格表，则这25个数的众数为 ，若从这25个方格中选5个方格，要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为 ． 10 21 30 41 50 11 20 30 40 49 10 19 29 40 51 11 20 31 39 50 11 23 32 43 52 题型02 计算几个数的中位数 【典例2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）一组数据按从小到大顺序排列为：，则这组数据的中位数是 ，众数是 . 【变式2-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数与中位数之和为 . 【变式2-2】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80.这组数据的中位数是 . 【变式2-3】（25-26高一上·上海黄浦·月考）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌，以下是近几届奥运会男子4100米混合泳接力项目冠军的成绩（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 这组数据的中位数为 ． 题型03 根据众数、中位数求参数 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是 【变式3-1】（2022·四川南充·一模）2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m= .    【变式3-2】（21-22高一上·辽宁沈阳·期末）某同学10次测试成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则的最小值 . 【变式3-3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ． 题型04 由频率分布直方图估计中位数 【典例4】（15-16高二上·江西赣州·期中）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为 ． 【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 【变式4-2】（2022高一·全国·专题练习）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为 .    【变式4-3】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为 ． 题型05 计算几个数的平均数 【典例5】（24-25高一下·湖北武汉·期末）立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为 ． 【变式5-1】（24-25高一下·山西大同·期末）某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 ．（精确到0.1） 【变式5-2】（23-24高一下·河南新乡·期末）在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为 . 【变式5-3】（24-25高一下·四川资阳·期末）将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为 . 题型06 根据平均数求参数 【典例6】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 【变式6-1】（24-25高一上·山西晋中·开学考试）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是 . 【变式6-2】（23-24高二上·江西南昌·期末）记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为 . 【变式6-3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 . 题型07 平均数的和差倍分性质 【典例7】（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 【变式7-1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）数据的平均数为1，则数据的平均数为 . 【变式7-2】（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为 ． 【变式7-3】（23-24高一上·山东日照·期末）若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是 ． 题型08 由频率分布直方图估计平均数 【典例8】（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    【变式8-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 【变式8-2】（23-24高一下·湖南娄底·期末）某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在，，，，上的频率分布直方图如图所示，记这名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为，则的值为 ．    【变式8-3】（24-25高一上·江西抚州·期末）抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    题型09 用平均数的代表意义解决实际问题 【典例9】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）某公司打算招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 . 【变式9-1】（23-24高一下·贵州毕节·期末）一支田径队有男运动员50人，女运动员40人.按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为18的样本，得到男生､女生的平均身高分别为和.估计该田径队全体队员的平均身高为 . 【变式9-2】（2024高一下·全国·专题练习）某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为 环． 【变式9-3】（9-10高一下·内蒙古乌兰察布·期末）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如下，则罚球命中率较高的是 题型10 众数、中位数及平均数的综合问题 【典例10】（23-24高一下·云南大理·期末）平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为 . 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（   ） A．平均数变小 B．平均数变大 C．中位数不变 D．众数不变 【变式10-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 【变式10-3】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为 . 一、单选题 1．（25-26高二上·四川成都·期中）样本数据2，4，6，8，的平均数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二上·湖北·期中）射击运动员甲在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：4、4、5、7、7、8、8、9、9、10，则甲在测试中命中环数的中位数是（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．9 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南新乡·期中）已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 6．（25-26高三上·浙江·月考）已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 7．（25-26高二上·湖南永州·期中）高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A．多4.8厘米 B．多5.6厘米 C．多7.2厘米 D．多8.4厘米 8．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（   ） A．这组数据的众数是70 B．这组数据的中位数是70 C．这组数据的平均数小于70 D．这组数据的平均数大于70 10．（25-26高二上·浙江·期中）某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（   ） A． B．这100位教职工中年龄在的人数为55 C．这100位教职工年龄的众数估计值为45 D．这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 11.．（24-25高二下·江西宜春·期中）某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（   ） A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80% B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分 C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分 D．该公司职工测试成绩的众数约为60分 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是 (填“平均数”“众数”或“中位数”)． 13.（23-24高三上·河北秦皇岛·开学考试）五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是 . 14．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·天津河西·期末）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）三个班共有100名学生，为调查他们的课外读书情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的课外读书的时间，数据如下表（单位：小时）： A班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 B班 6 6.5 7 7.5 8 C班 6 7 8 9 10 11 12 (1)试估计A班的学生人数； (2)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周课外读书的时间分别是（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，求和，并比较和的大小． 17.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某工厂有工人人，其中名工人参加过短期培训（称为类工人），另外名工人参加过长期培训（称为类工人）.现用分层抽样的方法（按类、类分二层）从该工厂的工人中共抽查 名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）. (1)类工人和类工人中各抽查多少工人？ (2)从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 生产能力分组 人数 表2 生产能力分组 人数 ①求、，再完成下列频率分布直方图； ②分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $