专题02 二次函数图象和性质与系数的问题（3大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数图象和性质与系数的问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 题型二、二次函数中含参数的图像和性质… 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 ,8 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1.(24-25九年级上湖南岳阳阶段练习)一次函数y=ax+b与反比例函数y=C在同平面直角坐标系中的 图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() D 2.(24-25九年级下·山东潍坊·期末)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=a与一次函数y=x-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（) 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25九年级下·安徽安庆阶段练习)在平面直角坐标系中，直线y=abx+c(a,b,c是常数且a≠0 。b≠0，c≠0)的位置如图，则抛物线y=a+bx+c和双曲线y=C在同一坐标系中的图象可能为(). 4.(24-25九年级下广东梅州开学考试)在同一平面直角坐标系中，函数y=ar-b(a≠0)和y=C(c≠0)的 大致图象如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为() 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 5.(2025·四川成都模拟预测)关于x的二次函数y=ax2-2a.x+c,下列说法错误的是（) A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.函数图象一定经过点(0，c D.当c=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A(-2,t),B(m,p).则下列说法错误的是（) A,若1=0，抛物线的对称轴为直线x=-】 2/9 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.若t=0且p<0,则m的取值范围为m<-2或m>1 C.若t<0,则抛物线的开口向下 D.若t<0,点C(n,q)在该抛物线上，m<n且5m+5n<-13,则有p>9 7.已知二次函数y=mx2-4mx+2+m(m≠0)，下列结论正确的是() A.当m=-1时，函数图象的顶点坐标为(2，-3) B.当x>2时，y的值随x的增大而增大 C.当m=1,y≤3时，x的取值范围是0<x<4 D.当-1≤x≤4时，y的最大值为8，则m=1或m=-2 8.(24-25九年级上·天津河北期末)已知二次函数y=a(x+1)x-m)(a为非零常数，1<m<2),当 x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是() ①当x>2时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点(0,1)，则-1<a<0; ③若(-2025，”)，（2025，y2)是函数图象上的两点，则乃<2： ④若图象上两点[（a对 切正数，总有八>片，则1<m≤ A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 9.(24-25九年级下·广东汕头阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为 （-2,-9a,下列结论：①abc>0;②4a+2b+c<0;③9a-b+c=0;④若函数y=-1,可整理为方程 (x+5)(x-1)=-1,且有两个根x和x2,x,<x2,则-5<x<x2<1;⑤若方程ax2+bx+c=1有四个根，则 这四个根的和为-8，其中正确的结论有()个. A.2 B.3 C.4 D.5 10.(24-25九年级下·安微合肥期中)二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0)的图象如图所示， 对称轴为直线x=-1,则下列判断中，错误的是（) 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA A.c<-3a B.若点A(b-3,y),B(b-1,y,在该抛物线上，且在x轴的下方，则乃<y2 C.ax2+bx+c+k=0(k>0)一定有两个不相等的实数根 D.m(am+b)≥-a(m为实数) 11.(2025.宁夏银川模拟预测)如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1,且 经过点(0,2).有下列结论：①abc>0;②a+b≥mam+b)(m为常数)；③若点(2，y, 《-2在该通数图象上，则%<为<为：@-号a<子其中正疏的是 (填序号) 1x=1 12.(2024九年级下·湖南长沙.竞赛)如图，已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A、B,点A在x轴的 -1与0之间，且A、B位于原点两侧，与y轴的负半轴交于C,且点C在y轴的-2与-3之间，顶点D在直 线1：y=-9上，则下列说法：①bc>0;②5<b<6;③AB=6;④S。4BD=27,其中正确的结论有 (填写序号). 3 -4 -7 -9 -10H 4/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法正确的是() 3 x=1 A.b+2a=0 B.abc>0 C.2b<4a+c D.a+b+c<0 2.如图，二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴交于A-3,0),B两点，则下列说法正确的是() A A.a>0 B.点B的坐标为1,0 C.函数的最小值为飞 D.当x<0时，y随x的增大而减小 3.(2025陕西宝鸡·模拟预测)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的自变量x与函数y 的几组对应值如下表： 0 y 24 8 0 15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.图象不经过第四象限 C.当x>0时，y的值随x的值增大而增大D.图像的对称轴是直线x=-1 4.(2025辽宁沈阳.三模)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可 能是(） 5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知图象过点(-1,0)，对称轴为直线x=2,下列结 论：①abc>0;②4a+b=0;③5a+c=0;④当x>-1时，y的值随x值的增大而增大；⑤ 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4a+2b>am2+bm其中正确的结论有（)个. A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025福建泉州模拟预测)抛物线y=ax2-4ax-1(a<0)图象上有三点Ax,),B(x2y2), C(xy.其中t<x<t+1,t+1<x2<t+2,t+2<x<t+3,以下说法正确的是（) A.抛物线的对称轴是直线x=-2 B.若y,<y3<y2,A、B、C三点在对称轴的同一侧 <t<1,存在月<y3<y2 2 1 D.当-二<t<1,总有y<y3<y2 2 二、填空题 7.(24-25九年级上·辽宁沈阳·期末)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一 定不经过第 象限. 8.如图，二次函数y=(x-1)x-a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2. x=2 (1)a的值为 (2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式 为 9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-mx2+4mx-1(m是常数且m>0),A(0,4)是y轴上一点，将点 A向右平移4个单位长度得到点B. 6/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)该抛物线的对称轴为直线x=一： (2)当m=1时，将该抛物线向上平移k(k>0)个单位长度后与线段AB没有交点，则k的取值范围是_ 10.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴.给 出四个结论：①a+b+c=0,②abc<0;③2a+b>0;④a+c=1;其中正确的结论的序号是， 11.已知抛物线L:y=ax2-2ax+2(a≠0)下列结论：①抛物线L的对称轴为直线x=1;②抛物线L必过 点(0,2)和点(2,2)；③当x>1时，y的值随x值的增大而增大；④当a<0时，已知A-2,y),B(3,y)是抛 物线上的两点，则片<y2;⑤当a>0时，对于任意的实数m,不等式-a+2≥am2-2am+2恒成立.其中结 论正确的有 (填序号). 12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ①abc>0 ②若点(-1，y) 9 均在二次函数图象上，则y<y2 ③-2a+c<0 3 ④对于任意实数m,总有am2+bm>二a+b 4 其中正确的结论是： 三、解答题 13.（25-26九年级上·浙江金华·开学考试)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图. 7/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A -10 (1)若抛物线的对称轴为直线x=1,与y轴的交点为(0,2)，当y<2时，求x的取值范围， (2)在(1)的条件下，若此抛物线图象上有两点M(x,-2025),N(x2,-2025),求当x=x,+x2时，二次函数的 值. (3)若此抛物线图象上有两点(x,m,x2,m,当x=x,+x2时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理 由. 14.（2025·浙江温州三模)己知抛物线y=ax2+bx+6(a,b为常数)经过点(4,6. (1)用含a的代数式表示b,并求该抛物线的对称轴. (2)当-2≤x≤0时，0≤y≤6，求抛物线的函数表达式 (3)在(2)的条件下，己知点t-1,),5y2)2,y3在抛物线上，，>y2,求⅓的取值范围. 15.(2025九年级上全国.专题练习)已知抛物线y=-(x-m)+m+1经过点A(1,,将抛物线向左平移k 个单位长度，再向下平移k个单位长度(k>0),再次经过点A (1)若a=0时，求m的值. (2)求m与k的关系式. (3)当2≤x≤m+2时，二次函数y=-(x-m)+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围. 16.(2025山东模拟预测)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=4x2-8x+2t(2t-1). (I)求证：无论t取任何值，抛物线的顶点一定在同一条直线上 (2)点P(x,),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t-2<x<t+1,x2=1-t. ①若的最小值是4，求2的值； ②若对于X,,都有片<2，求的取值范围. 17.(2025湖南长沙.三模)我们约定：若抛物线C:y=a,(x-h)+k和抛物线C2:y2=a2(x-h)+k2的 顶点分别为不重合的两点M,与M2,同时满足：M,在C,的图象上，M2在C的图象上.则称抛物线C与 C,是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“V,错误的打“×”. ①G:=-2(x-2)+2025的携手共进”抛物线一定经过(2,2025) ②C:y=-(x-1)2+2与C2:2=2x2+4x-4是互为“携手共进”的抛物线 8/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数 (2)若抛物线C:y=mx2-2mx+2n(m,n为实数且m>0)与C2:y=-mx2+4nx-2m互为“携手共进”的 物线，且当x≤”时，地物线C最低点的纵坐标为-2，求m的恒 5n (3)已知抛物线C:y=x2+2bx+c的顶点为点A,与x轴交于点M、N,抛物线C4:y=-x2+2Cx+b的顶点 为点B,与x轴交于点P、Q,若抛物线C与C4是互为携手共进”的抛物线，且MW=PQ,请问线段AB是 否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由 9/9 专题02 二次函数图象和性质与系数的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 4 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 4．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，即， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴为直线，在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 5．（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6.在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： 若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； 若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：当时，点， 把点代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若， 把点代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴．选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 7.已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25九年级上·天津河北·期末）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则. A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2025离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足 ， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 9．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有(   )个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的开口向上， ， ，， ，所以①错误； 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 时，， ，所以②错误； ， ，所以③正确； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，所以④正确； 方程有四个根， 方程有个根，方程有个根， 所有根之和为，所以⑤正确． 综上所述，正确的有：③④⑤． 故选：B． 10．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误． 【详解】解：由图象知，时，， ． 对称轴为直线， ∴， ∴， ，即，故A正确； ∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方， ∴，， ∴， ∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远． 该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小， ，故B正确； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故C正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ，即，故D错误． 故选：D． 11．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出，，的符号，即可得到的符号；②求出二次函数的最值，进行判断即可；③根据抛物线的对称性，进行判断即可；④综合对称轴和c的值，以及当时，，结合，，进行判断即可．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：①抛物线的开口向下，，对称轴为直线：，，图象过，，所以；故①错误； ②由图象可知，当时，函数取得最大值为， ， 为常数），故②正确； ③抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， ，故③正确； ④由图可知：当时，， ，， ， ； ，， ， ， ，故④正确． 综上，正确的是②③④． 故答案为②③④． 12．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目． ①，则，，故，即可求解；②由顶点可得，而，故，即可求解；③由顶点可得函数的表达式为：，故，故，即可求解；④根据，即可求解． 【详解】解：①由图象可知，，， ， ，故①正确，符合题意； ②抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； ③抛物线的顶点在直线上， 函数的表达式为：， 令，则 解得， 故，正确，符合题意； ④，正确，符合题意； 故答案为：①③④． 一、单选题 1．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 2．如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， 即，故②正确； ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故③正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误； 故选：B． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．若，、、三点在对称轴的同一侧 C．当，存在 D．当，总有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是解题的关键． 根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误． 【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误； B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误； C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确； D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误． 综上，正确答案为C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 8．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识， 掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键． (1)将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式计算即可； (2)代入，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 【详解】（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答． （2）先整理得该抛物线的函数表达式为，则当，即当时，该抛物线与线段没有交点．再运用数形结合思想得当时，该抛物线与线段没有交点，据此进行作答即可． 【详解】解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线． 故答案为：2； （2）如图， 当时， 该抛物线的函数表达式为， 则抛物线的顶点坐标为， 当，即当时，该抛物线与线段没有交点， ∵是y轴上一点，将点A向右平移 4个单位长度得到点B， ∴， ∴把代入， 得， 解得， 当时，该抛物线与线段没有交点． 综上，当或时，该抛物线与线段没有交点． 故答案为：或． 10．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 11．已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；根据二次函数性质计算当和时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确； 当时，；当时，， 则抛物线L必过点和点，故②正确； 抛物线L的对称轴为直线， 则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误； 当时，已知，是抛物线上的两点， 点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2， ，故④正确； 当时，；当时，， 抛物线L的对称轴为直线，， 不等式恒成立，故⑤错误； 故答案为：①②④． 12．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)函数值 (3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 14．（2025·浙江温州·三模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)用含的代数式表示，并求该抛物线的对称轴． (2)当时，，求抛物线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，已知点在抛物线上，，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴直线为； (2)抛物线解析式为： (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）把点代入计算，根据对称轴的计算方法即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时，图象开口向上，当时，，即；当时，图象开口向下，当时，，即；由此即可求解； （3）根据题意得到抛物线的解析式，对称轴，图形开口，增减性，把代入得到的值，由此得到的范围，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为（为常数）， ∴对称轴直线为； （2）解：当时，图象开口向上， ∵抛物线对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，，即， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，图象开口向下，当时，随的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （3）解：在（2）的条件下，抛物线解析式为，对称轴直线为，图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴直线对称的点为， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】(1)0或3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． 16．（2025·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求证：无论取任何值，抛物线的顶点一定在同一条直线上． (2)点，在抛物线上，其中，． 若的最小值是，求的值； 若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)；；的取值范围为或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （）先求出抛物线对称轴为直线，然后通过抛物线开口向上，，则有当时，的最小值为，再列出方程解方程即可； 当在对称轴右侧时和当在对称轴左侧时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵抛物线， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线顶点坐标在直线上， ∴无论取任何值，抛物线的顶点一定在同一条直线上； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的最小值为， ∵的最小值是， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ∴， ∴； ∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴关于对称轴的对称点， ∵点，在抛物线上，其中，，都有， ∴当在对称轴右侧时， 如图， ∴， 解得：； ∴当在对称轴左侧时， 如图， ∴， 解得：； 综上可知：的取值范围为或． 17．（2025·湖南长沙·三模）我们约定：若抛物线：和抛物线：的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”． ①：的“携手共进”抛物线一定经过______． ②：与：是互为“携手共进”的抛物线______． ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______． (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求m的值； (3)已知抛物线：的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线：的顶点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据“携手共进”的抛物线的定义判断即可得解； （2）由二次函数的性质可得的顶点坐标为，由“携手共进”的抛物线的定义得出点在抛物线上，求得， 由题意得当时，的最小值为，由此计算即可得解； （3）由抛物线的性质可得抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点，由一元二次方程根与系数的关系可得，，，，表示出，，结合题意得出，从而得出①，由“携手共进”的抛物线的定义可得②，求出③，即可得解． 【详解】（1）解：①根据“携手共进”的抛物线的定义可得：：的“携手共进”抛物线一定经过，故√； ②：的顶点在：上，而：的顶点不在图象上，所以彼此不是“携手共进”的抛物线，故×； ③∵顶点不同的两条抛物线：与：携手共进， ∴有， 两方程相加得， ∵， ∴， ∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数，故√； 故答案为：①√，②×，③√； （2）解：∵：， ∴的顶点坐标为， ∵抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴，化简得， 由题意得，当时，抛物线最低点的纵坐标为， 即当时，的最小值为， ∵， ∴，开口向下，对称轴为直线， ∴时，， ∴， 综上所述，； （3）解：是定值，理由如下： ∵，， ∴抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点， ∵抛物线：与x轴交于点M、N， ∴，， ∴ ∵抛物线：与x轴交于点P、Q， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵抛物线与是“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴， 化简得：②， 把①代入②，得：， 即③， ∴ ④， 把③代入④，得：， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $