专题01 二次函数的图象和性质（7大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题01 二次函数的图象和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1 题型二、二次函数的图象和性质 2 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 4 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 5 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 6 题型六、画二次函数的图象 8 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次函数的定义求参数 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解： 是关于x的二次函数， |且， 解得：． 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若函数是二次函数，则（   ） A． B．4 C．4或 D．4或3 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 题型二、二次函数的图象和性质 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，当时，函数值y随x值的增大而增大，则当当时，y随x的增大而减小或增大，此选项错误，符合题意； D、抛物线，，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，，所以当时，，因而当时，说法正确，此选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可进行解答． 【详解】解：A、∵，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意． B、∵， ∴对称轴是直线，故B不正确，不符合题意； C、∵函数开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，故C正确，符合题意； D、∵，∴顶点坐标为， ∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·全国·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 9．（23-24九年级上·河北保定·期中）若抛物线，点，为抛物线上两点，则 ．(填“<”、“>”或“=”) 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与性质比较函数值大小，先将抛物线解析式化为顶点式，即，求出对称轴，发现点，关于直线对称，从而得到，推导出“点，关于直线对称”是解题的关键． 【详解】解： 抛物线对称轴为直线， 点，是抛物线上两点， ， 点，关于直线对称， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，，，的大小关系 （用“<”连接） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点都在该抛物线上，， ∴， 故答案为： 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，分别计算几个点的横坐标与对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴开口向上，对称轴为直线，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大， ，， ∵ ∴， 故答案为：． 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 13．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式． 利用二次函数图象的对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可． 【详解】解： 与x轴的交点坐标为，， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 14．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．判断出点和是抛物线上对称的两点，据此求出抛物线的对称轴即可得． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴由二次函数的对称性可知，此抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点均在抛物线上，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的纵坐标相等得出关于抛物线的对称轴对称，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ． 故答案为：． 16．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 17．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 19．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 20．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式，得出顶点坐标为，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，函数有最小值，结合题意列出方程，即可求出a的值． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向下， ， 顶点坐标为，对称轴为， 函数最大值为， ，，且， 当时，函数有最小值，最小值为， 由题意得，， 解得：． 故答案为：． 题型六、画二次函数的图象 21．（25-26九年级上·北京·课后作业）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式． (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，画二次函数的图象： （1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）利用列表、描点、连线的方法画出图象即可； 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点式为； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： 22．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 23．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知二次函数． (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … (2)根据表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）解：画图如下： （3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)，对称轴：直线，顶点坐标 (2)作图见解析 (3)或1 (4) 【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次函数平移的规律． （1）利用配方法进行求解即可； （2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象； （3）根据函数经过点，，根据平移规律进行求解； （4）结合抛物线对称轴直线，分别求、、时的值，确定最值． 【详解】（1）解： 对称轴为：直线； 顶点坐标； （2）解：当时，； 当时，或， 所以该图象经过点，，； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． （4）时，； 时，（最大值）； 时，（最小值）． y的取值范围为． 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 25．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点，都在此抛物线上，且，．比较与的大小，_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对称轴的公式等知识点，解决此题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质； （1）根据对称轴的公式得到结果即可； （2）先由（1）得到二次函数的图象开口向下，再由二次函数图象的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴的值为； （2）解：由（1）可知，， ∴抛物线开口向下， ∴哪个点距离对称轴越远，这个点的纵坐标就越小， 又对称轴为直线，且，， ∴点距离对称轴更远， ∴； 故答案为： 26．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，将抛物线的解析式化为顶点式即可得解； （2）由（1）可得当时，有最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解； （3）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为，结合题意可得直线在内，求得，求出当时，；当时，；再分两种情况：当，即时；当，即；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，． 27．（24-25九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数）． (1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）； (2)都在该抛物线上； ①若当时，成立，求m的取值范围； ②对于任意满足的m值，都有成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、不等式的应用等知识点，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）先将原函数配方成顶点式，然后确定对称轴即可． （2）①当时，，然后根据列不等式求解即可；②由（1）可得抛物线对称轴为，且开口向下，再利用二次函数的图象和性质列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴是直线． （2）解：①当时，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴的右侧，即，不符合题意； 当时，， ∵， ∴，解得：； 当，在对称轴的左侧，即，符合题意． 综上，m的取值范围为． ②抛物线开口向下，对称轴是直线，且开口向下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 28．（24-25九年级上·河北衡水·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． (1)当时，求A、B两点的坐标； (2)当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； (3)点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； (4)我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系及图象上点的特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，解方程求解； （2）先根据抛物线过求出的值，再把代入求，进行判断； （3）先求抛物线的对称轴，再根据增减性进行判断； （4）根据抛物线的对称轴得出整点的坐标，再利用对称性求出的最值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：或， ． （2）解：由题意得， 解得：， 此时， 当时，， 所以点不在此抛物线上； （3）解：∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； （4）解：由（3）知，抛物线顶点坐标为， ∵，线段（包括端点）上有且只有 4 个整点时， 则这四个整点分别是， ∴当抛物线过点时，， 解得：， 当抛物线过点时，， 解得：， ∴． 一、单选题 1．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 2．抛物线的对称轴是，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．利用抛物线对称轴公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 3．已知二次函数的图象经过点，若,则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为， 令，则， 解得：或， ∴当或当时，， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点离对称轴要比点离对称轴远，， ∴， ∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边， ∴， 解得：， 综上所述，， 故选：B． 4．对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．根据题目中的二次函数的解析式以及二次函数的性质逐项判断各个选项中的说法是否正确，即可解题． 【详解】解： A、， 开口向上，选项错误，不符合题意； B、， 称轴为直线，选项正确，符合题意； C、当时，， 顶点坐标为，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，二次函数开口向上， 当时，y随x增大而增大，选项错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该抛物线的对称轴是直线 故答案为： 6．点是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键． 求出二次函数的图象的对称轴，根据二次函数的性质即可判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 7．若是y关于x的二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关键．根据（a是不为0的常数）是二次函数，可得答案． 【详解】解：∵是y关于x的二次函数， ∴且， 解得：． 故答案为：2． 8．当时，二次函数的最小值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 分两组情况讨论，当 时，则当 时，有最小值求得 当 时，则 时，y有最小解得 即可解题． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线： 若 ，则 当时，y有最小值，解得： 若 ，在时， y随x的增大而减小， 时，y有最小值， 解得：（不合题意，舍去）， 综上： 故答案为：． 三、解答题 9．已知二次函数． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (2)观察图象，若点，，是这条抛物线上的三个点，请用“”连接  ，，的大小关系______； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键． （1）分别求出、、、和时，的值，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）观察函数图象即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填入表格如下： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下： ． （2）解：由函数图象可知，，验证如下： 当时，， 当时，， 当时，， 则， 故答案为：． 10．已知二次函数（，为常数，），其图象与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为，且图象的对称轴为直线． (1)求二次函数解析式及顶点的坐标； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数的图象； (3)连接，，根据图象直接回答问题： 面积为______； 关于的方程的解为______； 若该二次函数图象上有两点和，则______（从符号，，，，中选择一个填空）； 当时，则的取值范围是______． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点的坐标为； (2)画图见解析； (3)；，；；． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）通过画函数图象方法即可求解； （）通过面积公式直接求解即可； 根据图象分析即可求解； 通过图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解； 根据图象分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式， 【详解】（1）解：∵与轴交于点，图象的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 由， ∴顶点的坐标为； （2）解：列表：      描点，连线，如图， （3）解：如图， ∴面积为：， 故答案为：； 根据图象可知， ∴点关于得对称点为， ∴关于的方程的解为，； 由二次函数解析式为，，对称轴为直线， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵， ∴， 故答案为：； 根据图象可知： 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 11．已知，点在抛物线上． (1)若，且抛物线经过点，求抛物线的表达式． (2)若点也在该抛物线上． ①当函数的最小值为0时，求的值； ②若在时，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得点C为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，再求得抛物线的对称轴为直线，得到，据此求解即可； ②分两种情况讨论，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，点． 将，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①∵抛物线经过点，且函数的最小值为0， ∴点C为抛物线的顶点，且抛物线开口向上， ∴抛物线的对称轴为直线． 对于，令，得， ∴该抛物线经过点． ∵点和在该抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得； ②由①得抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴，此时在轴左侧， ∵抛物线经过点， ∴，无解，此情况不存在； 当时，， ∴， ∵抛物线经过点， ∴或， ∴或， 综上，或． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线的对称轴为直线，求其顶点坐标； (2)已知该抛物线的对称轴位于轴右侧． ①当时，的最小值为，求的值； ②若都是该抛物线上的点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①的值为，②的取值范围为：或． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质的应用； （1）根据抛物线的对称轴求解，进一步可得顶点坐标； （2）①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧，可得，当时，顶点的纵坐标最小，当时，当时，最小，再进一步求解即可； ②由题意可得，，，抛物线的对称轴为直线，，由，可得：，，整理得：，设，如图，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：． （2）解：①如图，该抛物线的对称轴位于轴右侧， ∴， 当时，顶点的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍去）； 当时， 当时，最小， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，的最小值为，的值为； ②∵都是抛物线上的点， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， ∴， 解得：，即， 解得：， 综上：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 设，如图， 当时， 解得：或， ∴当时，或， ∵， ∴的取值范围为：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数的图象和性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数… 题型二、二次函数的图象和性质. 2 题型三、利用二次函数的增减性比较大小.4 题型四、己知二次函数上对称的两点求对称轴5 题型五、求二次函数在某区域的最值问题.6 题型六、画二次函数的图象.8 题型七、二次函数的图象和性质综合问题.14 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、根据二次函数的定义求参数 1.(24-25八年级下·江苏南通阶段练习)已知y=(a+2)x-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是 () A.a=2 B.a≠2 C.a=-2 D.a≠-2 2.(24-25九年级上·河南周口期末)若关于x的函数y=2x1-x+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.3 3.(24-25九年级上广东惠州期中)若函数y=(m-1)xm+5是关于x的二次函数，则m=（) A.-1 B.1 C.1或-1 D.2 4.(24-25九年级上河南周口·阶段练习)若函数y=(a+2)x-2a-6+1是二次函数，则a=() A.-2 B.4 C.4或-2 D.4或3 题型二、二次函数的图象和性质 5.(24-25八年级下·湖南长沙期末)二次函数y= ?+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是 () A.抛物线开口向上 B.抛物线经过点(3,6) C.抛物线的顶点是(1,3) D.当x>0时，y随x的增大而增大 6.(25-26九年级上·浙江·课后作业)下列关于抛物线y=-(x+1)+4的判断中，错误的是() A.形状与抛物线y=-x2相同 B.对称轴是直线x=-1 C.当x>2时，y随x的增大而减小 D.当-3<x<1时，y≥0 7.(24-25九年级上·贵州黔东南·期中)对于二次函数y=x2-2x+3的图象，下列说法正确的是（) 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.函数的最大值为4 8.(24-25九年级上·全国·期中)关于抛物线y=-2x2+4x+1,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=2 C.顶点坐标是(1,3列 D.x>2时，y随x增大而增大 题型三、利用二次函数的增减性比较大小 9.(23-24九年级上河北保定期中)若抛物线y=-x2+2x-2,点(-1，)，(3，y)为抛物线上两点，则 2.(填“<”、“>”或“=”) 10.(24-25八年级下·重庆北碚期中)已知点A-4,),B(-3,2),C(1,3)都在二次函数y=x2+4x-3 的图象上，则，2,3的大小关系为一·（用“<”连接） 11.(24-25九年级上·甘肃张掖阶段练习)已知抛物线y=-x2+2x+2,若点(0，)，(1，y2),(3,)都在 该抛物线上，片，2，》的大小关系（用“<”连接) 12.(24-25九年级上甘肃武威期中)已知点A-3,),B(-L,2),C(0,3)在函数y=x2-2x+m的图象 上，则出，2，的大小关系为一 题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴 13.(24-25九年级上广东惠州期中)抛物线y=(x+5)x-1)的对称轴为 14.(24-25九年级上浙江台州阶段练习)抛物线y=x2+bx+c过点(2,8)和(-6,8)，则此抛物线的对称 轴为直线一· 15.(2024九年级上·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，点A(1-m,n),B(5+m,n)均在抛物线 y=x2+bx+c上，则b的值为： 16.(2024江苏无锡·二模)已知二次函数y=(x-a(x+2a-)的对称轴是直线x=-2,则a的值为一 题型五、求二次函数在某区域的最值问题 17.(24-25九年级上·重庆渝北阶段练习)对于二次函数y=-x2+2x+3,当0<x<4时，y的取值范围为_ 18.(24-25八年级下浙江宁波期中)己知二次函数y=-x2-2bx+3b(b是常数)，当自变量1≤x≤5时， 函数有最大值为10，则b= 19.(2025浙江衢州模拟预测)已知二次函数y=x2-2x+k,当-1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 20.(24-25九年级下浙江杭州开学考试)已知二次函数y=a(x-10x-5)a<0),且当-1≤x≤4时，函 数最大值与最小值的差为2，则a的值为一· 题型六、画二次函数的图象 21.(25-26九年级上·北京课后作业)对于抛物线y=x2-4x+3 (1)将抛物线的解析式化为顶点式. (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线. … … … 0 2 3 y 3 0 -1 0 3 … 22. (24-25九年级上湖北十堰·期末)已知二次函数y=x2-4x+3. 4 3 2 -3-2-10 1 2345 2 (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象： (2)若三点A(,),B(x,),C()且2<x<x<x,则，当，片的大小关系为· (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数y=x的图象？请写出一种平移方案。 … 0 1 2 3 4 y=x2-4x+3 3 0 -1 0 … 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.（25-26九年级上广东广州开学考试)已知二次函数y=-x2+2x+2. (I)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值： … y=-x2+2x+2 (2)根据表格，画出这个二次函数的图象： A ---+2 -32-1912.3.4.5.6x 1--1---2 (3)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 -1 0 2 … y=-x2+2x+2 -1 2 -1 … 24.(24-25九年级上河南漯河阶段练习)已知抛物线y=-2x2+4x+6 9 8 6 5 -5-4-3-2-10 2345x -2 3 -5 (L)请用配方法将y=-2x2+4x+6化为y=a(x-h)2+k的形式，并写出对称轴和顶点的坐标： (2)在平面直角坐标系中，画出y=-2x2+4x+6的图象： (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移mm>0,个单位后经过原点，求m的值： (4)当0≤x≤4时，求y的取值范围. 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、二次函数的图象和性质综合问题 25.(24-25九年级上广东东莞·期中)已知抛物线y=ar2+2x-3(a≠0)的对称轴为直线x=1. (1)求a的值： (2)若点M,乃)，N(x2,y2)都在此抛物线上，且-1<x<0,1<x,<2.比较与2的大小，2 26.(24-25八年级下·湖南长沙阶段练习)已知二次函数y=x2-2mx(m是常数，且m≠0)的图象经过 点A2m+L,)和点B(m-1,2) (1)若m=2,求抛物线顶点坐标： (2)在(1)的条件下，当1≤x≤4时，y的取值范围： (3)当m-1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求 m的值. 27.(24-25九年级上·全国·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2x(m是常数). (I)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）： (2)A(a,y,B(a+3,)都在该抛物线上： ①若当a=0时，<y2成立，求m的取值范围： ②对于任意满足0<m<2的m值，都有y>2成立，求a的取值范围 28.(24-25九年级上河北衡水·期末)已知抛物线y=ax2+ax-2(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于点 A,B(点A在点B的左侧) (I)当a=1时，求A、B两点的坐标： (2)当此抛物线经过点（3,10)时，判断点(3,12)是否在此抛物线上，并说明理由： (3)点D(1,m)、E(2,n)在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由： (4)我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”.当线段AB(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出α 的取值范围. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为(）. A.直线x=-2B.直线x=2 C.直线x=4 D.直线x=-4 2.抛物线y=-2x2+mx-5的对称轴是x=1,则m=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知二次函数y=a2-2ax(a>0)的图象经过点A(m,y,B(m+l),若y<<0,则m的取值范围是 () 4.m>为 1 1 B. -<m<1 C.3<m<1 D.1<m<2 4.对于二次函数y=x2-4x-1的图象，下列叙述正确的是（) A.开口向下 B.对称轴为直线x=2 C.顶点坐标为-2，-5) D.当x>2时，y随x增大而减小 二、填空题 5.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点A(3,1),B(5,,则此抛物线的对称轴是直线x=一 6.点A(-1,),B(4,y2)是二次函数y=x2-2x+3图象上的两个点，则2（填“>”，“<”或 “=”) 7.若y=(m+1x"-m+3x是y关于x的二次函数，则m=一· 8.当4≤x≤2时，二次函数y=-m+1m>0)的最小值为0，则m= 2 三、解答题 9.已知二次函数y=-x2+2x+3」 (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线： (2)观察图象，若点(-2，y),(1,),(2,)是这条抛物线上的三个点，请用“<”连接，，的大 小关系 y个 6 5 2 1 6-5-4-3-2-10 123456x 2 -3 =4 -5 =6 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 … -1 0 3 … 0 4 3 0 10.已知二次函数y=mx+x+n(m,n为常数，m≠0)，其图象与x轴交于点A,B(A在B的左 侧)，与y轴交于点c0,引 顶点为D'且图象的对称轴为直线 =1 1 -4-3-2-10 234x 2 4 (1)求二次函数解析式及顶点D的坐标： (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数y=mx2+x+n的图象： (3)连接AC,BC,根据图象直接回答问题： ①△ABC面积为一： ②关于x的方程mr+r+n=之的解为 ③若该三次西致图象上有两点P(的和（的则，一为（从符号之中选择 一个填空)； ④当-1<x<2时，则y的取值范围是 … -1 0 3 -2 y=- -2.5 0 3 2 0 -2.5 2 2 2 2 11. 已知，点A(m,4(m≠0)在抛物线y=ar2+bx+4(a≠0)上. (1)若m=4,且抛物线经过点B(1,2),求抛物线的表达式. (2)若点C(6-m,0)也在该抛物线上. ①当函数的最小值为0时，求m的值： ②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围. 7/8 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2x+3. (1)若该抛物线的对称轴为直线x=1,求其顶点坐标： (2)已知该抛物线的对称轴位于'轴右侧. ①当0≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值： ②若Mt-2,a,N(4,b),P(t,a都是该抛物线上的点，且a<b<3,求t的取值范围 8/8