专题03 轴对称（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学上学期人教版2024

专题03 轴对称 3大高频考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 轴对称的性质 考点03 线段的垂直平分线 考点04 画轴对称图形 考点05 坐标与轴对称 考点06 等腰三角形的性质与判定 考点07 等边三角形的性质与判定 考点08 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A．国 B．家 C．美 D．好 2．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期中)下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·湖北知名中小学教联体联盟·期中)下列手机中的图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)下面汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·吉林吉林亚桥中学古川校区·期中)下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 轴对称的性质 1．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，、分别为边、上一点，点A关于的对称点恰好在边上的点处，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在中，，，与关于直线对称，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖北咸宁通城县·期中)如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，两点分别落在处若则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ． 地 城 考点03 线段的垂直平分线 1．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 2．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的两侧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．(23-24八上·湖北十堰丹江口·期末)如图，，若和分别垂直平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ． 9．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ． 10．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，，，是的平分线与BC的垂直平分线的交点，于，于，求、的长度． 11．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)尺规作图：在中，求作一点P，使它到三个顶点的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）． 12．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点，，与相交于点． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示） (3)连接，，，若的周长为8，的周长为16，求的长． 13．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，在中，垂直平分，交于点E，交于点F，连接，若，平分，，求的长； 地 城 考点04 画轴对称图形 1．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点如图所示： (1)请画出关于轴对称的（不写画法），直接写出，，三点的坐标． (2)将沿轴向下平移3个单位长度得到，并求出的面积． (3)在轴上找出点，使得点到点A、点的距离之和最短（保留作图痕迹）． 2．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，点A，，的对应点分别为，，； (2)写出点，，的坐标； (3)求出的面积． 3．(24-25八上·湖北黄石十四中教联体·期中)如图．的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出及关于轴对称的； (2)分别写出点，点，点的对应点的坐标______，______，______； (3)请用无刻度直尺在网格内作出所有以为腰的等腰直角． 4．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找点，使； (4)在（3）的基础上，请在上画点，使． 5．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 6．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知格点（即三角形的顶点都在格点上）．请用无刻度的直尺完成以下作图： (1)画出关于直线（点M，N为格点）的对称图形； (2)在线段上找一点D，使得平分，简单说明画法． 7．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)按要求完成作图∶ (1)画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应） (2)请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小． 8．(24-25八上·湖北襄阳实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 9．(24-25八上·湖北黄石第十六中学教联体·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的；写出点，，的坐标． (2)若在y轴上有一点G，使的值最小，则G点的坐标为______． 10．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 11．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中，画出点关于直线的对称点； (2)在图1中，作出的高； (3)在图1中，在线段上确定一点，使得； (4)在图2中，若与关于直线对称，且，均为格点，请你作出直线（不必画出）． 地 城 考点05 坐标与轴对称 1．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)已知点与点关于轴对称，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(24-25八上·湖北荆州·期中)在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖北大冶·期中)已知点与点关于x轴对称，则（　　） A．1 B． C． D．4 4．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 5．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)已知点和点关于x轴对称．则 ． 6．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是 ． 7．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 ． 8．(24-25八上·湖北湖北知名教联体·期中)在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，则的值为 ． 9．(24-25八上·湖北随州曾都区教联体多校·期中)点关于x轴对称的点为点B，则B的坐标是 ． 地 城 考点06 等腰三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 2．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长是（   ）． A．17 B．22 C．17或22 D．1 3．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E，F，给出以下四个结论： ①；②若，则面积最小是2；③；④． 上述结论中正确的有（   ） A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)等腰三角形的两边长分别为5和11，三边长分别是，，，其中b为底边长，则 ． 5．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)在中，，为边中点，点在，所在直线上，． (1)若，如图1，画点，使点与点关于所在直线对称，连，，直接写出的大小； (2)如图2，点在延长线上，点在延长线上，点为点关于所在直线的对称点，连，求证：． 6．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)（1）实验操作：如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系． 教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图2，写出已知，求证，并证明该结论； （2）实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． （3）拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 7．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． (1)在上画点D，使得平分的面积； (2)在边上画点E，使得； (3)M为边上一点，在边上画点N，使得； (4)在平面内画点G，使得． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论： ①平分与； ②，； ③四边形的面积； ④． (1)以上结论请你任选一个进行证明； (2)若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）． 9．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)请在图①中完成画图：先在上画点D，连，使于点D，再画的高； (2)请在图②中完成画图：先在上画点F，连，使刚好平分的面积，再在上画点G，连，使． 10．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 11．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图1，在中，，是中线． (1)求证：； (2)如图2，若，于点F，求证：． 12．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． 13．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，是边上一点，且，，求的度数．    14．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时___________，线段与之间的数量关系：___________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 15．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)已知，在中，，，D为射线上一点，连接． (1)如图1，E为线段上一点，连接，若，，的度数是 ． (2)如图2，E为线段延长线上一点，过B作垂足为E，连接，求的度数． (3)如图3，D在的延长线上，连接，过B作，连接，若．求证：． 16．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． (1)直接写出的面积； (2)如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 17．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，在中，，D、E是边上的点，且，求证：． 18．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)上午8时，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得，．求海岛B到灯塔C的距离． 19．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中、满足． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若点为线段上一动点． ①如图②，以为边向右作等腰，且，若，求点的坐标； ②如图③，过点作于，交OA于，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 地 城 考点07 等边三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间最小的三角形的边长是3，则最大的等边三角形的边长为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 2．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 3．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 4．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)下列关于等边三角形说法正确的是（   ） 等边三角形有三条对称轴；有两个角是的三角形是等边三角形；等边三角形三条边上的高相等；等边三角形一条边的平行线与另两边所在的直线围成的三角形仍是等边三角形． A． B． C． D． 5．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，O是内一点，，，． (1)已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； (2)如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 7．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． (1)求证：； (2)求证：H为中点． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 9．(24-25八上·湖北荆州松滋·期中)如图，设和都是等边三角形，并且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的度数． 10．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)已知为等边三角形，点D在射线上，点E在射线上，连接、，． (1)如图1，当点D在线段的延长线上，点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，点E在线段的延长线时，求证：． 11．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 地 城 考点08 含30度角的直角三角形 1．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 2．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 3．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)如图，在中，，，平分，若，则的长度为 ． 4．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 5．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期中)已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 6．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 7．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若于点M，求证：M是的中点； (3)若，求的长． 8．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 3大高频考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 轴对称的性质 考点03 线段的垂直平分线 考点04 画轴对称图形 考点05 坐标与轴对称 考点06 等腰三角形的性质与判定 考点07 等边三角形的性质与判定 考点08 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A．国 B．家 C．美 D．好 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 故选：C． 2．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期中)下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键． 轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”，由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3．(23-24八上·湖北知名中小学教联体联盟·期中)下列手机中的图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)中国的方块字中有些具有对称性．下面四个汉字中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)下面汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A、该汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该汉字是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该汉字不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．(24-25八上·吉林吉林亚桥中学古川校区·期中)下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 7．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 地 城 考点02 轴对称的性质 1．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，、分别为边、上一点，点A关于的对称点恰好在边上的点处，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质，证明得到是解题的关键． 根据轴对称可得，从而，根据等边对等角得到，从而，即可得到，从而，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵点A与点关于对称， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D 2．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在中，，，与关于直线对称，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边对等角，根据等边对等角求出的度数，对称性求出的度数，得到，根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴，，， ∴， ∴； 故选A． 3．(24-25八上·湖北咸宁通城县·期中)如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，两点分别落在处若则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．根据可知，由折叠知，再由平角的定义可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知， ∴． 故选：B． 4．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理并结合图形计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 地 城 考点03 线段的垂直平分线 1．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 2．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．在上截取，连接，则是的垂直平分线，则，再证明，进而可得的长． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查对等腰三角形，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质推出，，根据含角的直角三角形的性质得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别为的垂直平分线，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的两侧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用垂直平分线得到，结合等边对等角以及三角形内角和求出，即可． 【详解】解：，， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论． 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 综上所述，共计有5个符合条件的点C， 故选：B． 7．(23-24八上·湖北十堰丹江口·期末)如图，，若和分别垂直平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则，，再根据三角形内角和，，则，再根据，即可． 【详解】∵、是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点P的位置．连结，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案． 【详解】连结， 垂直平分， ， ， 当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长， 所以的最小值是8． 故答案为: 8． 9．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，交于点，先求出，进而可依据“”判定，得到，，，进而得，可得是等边三角形，从而得，再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到，进而得，即得，据此可得的度数． 【详解】解：延长到，使，连接，交于点，如图所示， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的平分线， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 10．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，，，是的平分线与BC的垂直平分线的交点，于，于，求、的长度． 【答案】， 【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质． 连接，，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，进而证明，得到，证明，得到，从而有，即可求出，根据即可解答． 【详解】解：连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，于，， ∴，， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)尺规作图：在中，求作一点P，使它到三个顶点的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）． 【答案】图见详解 【分析】本题考查垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质分别作三边的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：∵到三个顶点的距离相等的点在三边的垂直平分线上，则点P位置如图所示： 12．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点，，与相交于点． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示） (3)连接，，，若的周长为8，的周长为16，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 13．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，在中，垂直平分，交于点E，交于点F，连接，若，平分，，求的长； 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：，平分． ． 垂直平分， ， ． 地 城 考点04 画轴对称图形 1．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点如图所示： (1)请画出关于轴对称的（不写画法），直接写出，，三点的坐标． (2)将沿轴向下平移3个单位长度得到，并求出的面积． (3)在轴上找出点，使得点到点A、点的距离之和最短（保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)作图见解析，的面积是8 (3)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，平移作图，轴对称的性质，熟练掌握轴对称作图及性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于轴对称的点，，，依次连接即可得到，进而得到，，的坐标． （2）根据平移的性质作图即可，的面积等于长方形的面积减去三个三角形的面积可求解； （3）连接，交y轴于点P，则，此时点到点A、点的距离之和最短，即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求． ，，． （2）解：如图，为所求， ． （3）解：如图，点P为所求． 2．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，点A，，的对应点分别为，，； (2)写出点，，的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握关于y轴对称的点特征，求网格中三角形面积，是解题的关键． （1）根据，，，得关于y轴对称点，描出首尾连接即得； （2）由（1）得； （3）所在矩形面积减去周围3个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解： （3）解：． 3．(24-25八上·湖北黄石十四中教联体·期中)如图．的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出及关于轴对称的； (2)分别写出点，点，点的对应点的坐标______，______，______； (3)请用无刻度直尺在网格内作出所有以为腰的等腰直角． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）描出点依次连线即可，分别作出点A，点B，点C关于y轴的对应点，，，连线即可； （2）根据图象即可得到点，，的坐标，； （3）根据题意，是以为腰的等腰直角三角形，作交于点A或交于点C即可； 【详解】（1）解：如图所示， （2）根据坐标系可得 ， ， 故答案为：，，． （3）如图所示： 4．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找点，使； (4)在（3）的基础上，请在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查无刻度网格作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质， （1）利用网格特征作出的中点即可； （2）根据线段的垂直平分线的定义作出图形即可； （3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求； （4）根据对称性，构造等腰，，交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求： （2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求 （3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求； （4）如图，根据对称性，构造等腰，，交于点，连接交于点，点即为所求． 5．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由图可知：，，； （3）解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 6．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知格点（即三角形的顶点都在格点上）．请用无刻度的直尺完成以下作图： (1)画出关于直线（点M，N为格点）的对称图形； (2)在线段上找一点D，使得平分，简单说明画法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质； （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作出点B关于直线的对称点E，连接，连接，交与点D，则即为所作 【详解】（1）如图所示 即为所求； （2）如图所示 即为所作 7．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)按要求完成作图∶ (1)画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应） (2)请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握成轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）利用将军饮马模型找到点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 8．(24-25八上·湖北襄阳实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)画图见解析 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，求解网格三角形的面积：解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依题意， ； （3）解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 理由如下： 由作图可得：， ∴的周长为， ∴的周长最小． 9．(24-25八上·湖北黄石第十六中学教联体·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的；写出点，，的坐标． (2)若在y轴上有一点G，使的值最小，则G点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析，，， (2) 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握坐标与图形变换是解答的关键． （1）根据对称性质找到对应点的位置，再顺次连接即可画出，进而可得到对应点的坐标； （2）根据两点之间线段最短得到与y轴的交点即为点G的位置，进而可得坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，则，，； （2）解：根据两点之间线段最短得，与y轴的交点即为点G的位置， 由图知，点G的坐标为． 10．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可，左侧3个格点确定点，连接，与的交点即为点； （2）取的中点，过中点，作线段，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接即可； （3）取格点，连接，构造等腰直角三角形，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，，高即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； （2）如图，即为所求； 由作图可知：都是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴； （3）如图，点即为所求； 由作图可知：， ， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 11．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中，画出点关于直线的对称点； (2)在图1中，作出的高； (3)在图1中，在线段上确定一点，使得； (4)在图2中，若与关于直线对称，且，均为格点，请你作出直线（不必画出）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）如图，取格点，且，连接，且，证明，，可得关于对称． （2）如图，取格点，，且，连接交于，且，证明，取格点，连接交于，且，证明，可得，证明，可得，进一步证明，可得即为所求； （3）如图，取格点，，且，连接交于，且，证明，可得，即为所求． （4）分三种情况画图，如图，取格点，，，连接，作直线，交于，证明是的垂直平分线，可得与关于直线对称，即即为所求；如图，取格点，，与交于，作直线， 同理可得：与关于直线对称，即即为所求；如图，当重合时，此时即为所求的对称轴． 【详解】（1）解：如图，取格点，且，连接，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于对称． （2）解：如图，取格点，且，连接交于，且， ∴， ∴， 取格点，连接交于，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即即为所求． （3）解：如图，取格点，且，连接交于，且， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求． （4）解：如图，取格点，，，连接，作直线，交于， ∵，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称，即即为所求； 如图，取格点，，与交于，作直线， 同理可得：与关于直线对称，即即为所求； 如图，当重合时， 此时即为所求的对称轴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的高的含义，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的乘法运算，熟练的利用网格特点进行画图是解本题的关键． 地 城 考点05 坐标与轴对称 1．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)已知点与点关于轴对称，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，判断点所在的象限，熟练掌握关于y轴对称的点坐标特征，四个象限内点坐标特征，是解题的关键．根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出，再根据每个象限内点的坐标特点即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在第一象限． 故选：A． 2．(24-25八上·湖北荆州·期中)在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称点的坐标变换，熟练掌握关于y轴对称点的坐标变换特征是解题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数， 纵坐标相等求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：C． 3．(24-25八上·湖北大冶·期中)已知点与点关于x轴对称，则（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 5．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)已知点和点关于x轴对称．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是，进而得出a，b的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 则． 故答案为：． 6．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离，正确理解“轴距”的定义是解题的关键． 先根据对称的性质求出，进而求出当，即时，，当时，，同理当时，，当时，，由此讨论求解即可． 【详解】∵点、关于直线的对称点分别为点E、F， ∴， ∴当，即时，， ∴当时，， 同理当时，，当时，， ∴当时，，符合题意； 当时，不是定值，不符合题意； 当时， ，符合题意； 综上所述，当或，的值不变，为4． 故答案为：或． 7．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为： 8．(24-25八上·湖北湖北知名教联体·期中)在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，代数式求值．关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，代入求值即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， ， 故答案为：1． 9．(24-25八上·湖北随州曾都区教联体多校·期中)点关于x轴对称的点为点B，则B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点为点B， ∴B的坐标是， 故答案为：． 地 城 考点06 等腰三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)等腰三角形的一个角为，则它的底角为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质．等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况，再分情况求解即可． 【详解】解：当为顶角时，底角为：． 也可以为底角． ∴底角为或； 故选：D． 2．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长是（   ）． A．17 B．22 C．17或22 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为时；当腰为时；分别利用三角形三边关系进行判断，即可得解． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，一边长为9， ∴当腰为时，三边长分别为，，，由于，不满足三角形三边关系，故不符合题意； 当腰为时，三边长分别为，，，由于，满足三角形三边关系，故符合题意，此时周长为， 故选：B． 3．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E，F，给出以下四个结论： ①；②若，则面积最小是2；③；④． 上述结论中正确的有（   ） A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据角的和差关系可得，证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确；根据，可知当时，取得最小值，即的面积最小．根据勾股定理求出，再由的面积可求出的最小值为，进而即可得到的面积最小是2，可判定②正确；根据全等三角形的性质可知，可得，由可判定③正确；只有当点E为的中点时，，可判定④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P是的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴， ∴当时，取得最小值，即的面积最小． ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的面积最小是2，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 只有当点E为的中点时，， ∵， ∴在中，， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴只有当点E为的中点时，，故④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)等腰三角形的两边长分别为5和11，三边长分别是，，，其中b为底边长，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，先根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系求出腰和底，然后结合题意代入计算即可． 【详解】解：当腰为5，底为11时， ∵， ∴三角形不存在； 当腰为11，底为5时， ∵， ∴三角形存在， ∵b为底边长， ∴，， ∴， 故答案为：10． 5．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)在中，，为边中点，点在，所在直线上，． (1)若，如图1，画点，使点与点关于所在直线对称，连，，直接写出的大小； (2)如图2，点在延长线上，点在延长线上，点为点关于所在直线的对称点，连，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换，，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据要求画出图形，得到，得出，得到，得证，得出，即可得到答案； （2）连接延长到，得到，求出，可证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求，连接， ， ， 关于对称， ， ，，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ， ； （2）证明：如图2，连接延长到， 关于对称， ， Q，， ， ，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ． 6．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)（1）实验操作：如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系． 教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图2，写出已知，求证，并证明该结论； （2）实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． （3）拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质； （1）延长至点，使得．连接，证明是线段的垂直平分线可得，可得，证明是等边三角形，可得，再进一步解答即可； （2）连接， 由翻折得,则，此时为等边三角形，则，故． （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式计算即可； 【详解】（1）已知，，，， 求证：； 证明：延长至点，使得．连接， 是线段的垂直平分线 ， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∴． （2）连接， 由翻折得, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 结合（1）的结论：； （3）如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 7．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． (1)在上画点D，使得平分的面积； (2)在边上画点E，使得； (3)M为边上一点，在边上画点N，使得； (4)在平面内画点G，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用网格特征取的中点D，连接即可； （2）取格点Q，使，连接交于点E，点E即为所求（由，可得结论）； （3）利用对称性画出图形，连接交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求； （4）取格点H，使，，连接，延长交于点G，此时，可得，点G即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； （2）解：如图所示：点E即为所求； 理由：∵为的中点，， ∴， 由上的高为网格线，交点为， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示：点N即为所求； （4）解：如图所示：点G即为所求． 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论： ①平分与； ②，； ③四边形的面积； ④． (1)以上结论请你任选一个进行证明； (2)若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）选，，利用垂直平分线的判定证明即可； （2）先过点O作，证得，同理可证的，从而得证 【详解】（1）②，；证明如下： ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又 ∴点C线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即，； （2），理由如下： ，， ，， ∵点O到四边形四条边的距离相等， 如图，先过点O作， ， ∴平分线， 即 又， ， ， ， 同理可证：， 9．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)由小正方形组成的3×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)请在图①中完成画图：先在上画点D，连，使于点D，再画的高； (2)请在图②中完成画图：先在上画点F，连，使刚好平分的面积，再在上画点G，连，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，取格点，，连接交于，交于，连接并延长交于，则即为所求； （2）如图，取格点，连接交于，连接，取格点，连接，连接并延长交于，连接，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，取格点，，连接交于，交于，连接并延长交于，则即为所求； 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：如图，取格点，连接交于，连接，取格点，连接，连接并延长交于，连接，则即为所求； 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平分的面积； ∵， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是作三角形的高，三角形的中线及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 10．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，是解题关键： （1）根据中垂线的性质，结合等边对等角即可得出结果； （2）根据等边对等角，三角形的外角，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长． 11．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图1，在中，，是中线． (1)求证：； (2)如图2，若，于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系即可证明结论成立； （2）如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接，证明和，推出，，得到，，由，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接， 同理， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，三角形三边有关系．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据为腰或底边进行讨论即可. 【详解】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为 能构成三角形； 当腰长为，则底边长为： 底边长为，另一个腰长为 ，不能构成三角形. 因此另两边长为 答：这个等腰三角形的其它两边的长为 13．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，是边上一点，且，，求的度数．    【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ，， ， 解得：． 14．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时___________，线段与之间的数量关系：___________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【答案】(1)①60，；②，，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等来探究线段与的数量关系． （1）①利用等腰三角形三线合一及等边三角形的性质得出相关结论；②连接，通过角平分线性质及角度计算得出结论； （2）通过两种方法，分别是过点作垂线构造全等三角形和在上截取线段构造全等三角形来证明与的数量关系． 【详解】（1）解：①当点与点重合时， 在中，，点为边的中点， 根据等腰三角形三线合一性质可知， ， 是等边三角形， ，． 故答案为：60， ②解：连接， ，点为边的中点， 即为的角平分线， ， ，， ， ， ， ， ∴； （2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N， 点为边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 在和中， ， ， ； 方法2：在上截取， 点为边的中点， ， ，， ， ，， 在四边形中，， ， 则， ， ， 又， ． 15．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)已知，在中，，，D为射线上一点，连接． (1)如图1，E为线段上一点，连接，若，，的度数是 ． (2)如图2，E为线段延长线上一点，过B作垂足为E，连接，求的度数． (3)如图3，D在的延长线上，连接，过B作，连接，若．求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由题意得，为的中垂线，则，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，则， 在中，，则， 则， ∵，为等腰直角三角形， 则为的中垂线， 则， 则， 故答案为：； （2）解：作交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：作交的延长线于点M， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， 设，，，则， ∵，即， 即， 整理得：， ∵，则， 即，， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴． 16．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． (1)直接写出的面积； (2)如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)8； (2)； (3)，，证明见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质可得，最后根据三角形的面积公式得出答案； （2）如图1，过点作轴于，证明，得，，再证明和是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点，证明和，最后得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，， ， 点，点， ， 的面积； （2）解：如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：，，证明如下： 如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点， ，是的中点， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，非负数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 17．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，在中，，D、E是边上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质知识点，解题的关键是通过等腰三角形的性质得到角相等，进而证明三角形全等。 利用等腰三角形性质得到，再结合已知条件，根据全等三角形判定定理（SAS）来证明。 【详解】解： ， ， 在和中， ， ∴， ∴． 18．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)上午8时，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得，．求海岛B到灯塔C的距离． 【答案】36海里 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键。 根据三角形外角的性质求出，进而得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：依题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴海里． 答：海岛B到灯塔C的距离为36海里． 19．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中、满足． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若点为线段上一动点． ①如图②，以为边向右作等腰，且，若，求点的坐标； ②如图③，过点作于，交OA于，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是定值，为 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出m的值，得到点A，B的坐标，再根据两点间的距离公式求出，，的长，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）①过点A作于F，过G作于E，由得到，根据等腰三角形的性质得到，由得到，，证明，得到，，即可解答； ②根据等腰直角三角形的性质求出和，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①过点A作于F，过G作于E， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点G的坐标为． ②在上截取，在上截取，连接，， ∴，为等腰直角三角形， ∴ ∵∠ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 地 城 考点07 等边三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间最小的三角形的边长是3，则最大的等边三角形的边长为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——图形边长．熟练掌握各个等边三角形边长之间的数量关系，是解题的关键． 设最大最大的等边三角形的边长为x，则左下面的等边三角形的边长为：，根据最大的等边三角形的边长为左下面的等边三角形的边长的2倍列方程解答． 【详解】解：设最大最大的等边三角形的边长为x， 则右上面的等边三角形的边长为：， 右下面的等边三角形的边长为：， 左下面的等边三角形的边长为：， ∵最大的等边三角形的边长为左下面的等边三角形的边长的2倍， ∴， 解得． 故选：A． 2．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B ． 3．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证明，再证明，即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作于M，于N，则，证明，可证，再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， 是等边三角形， 故②正确； 过B作于M，于N，则， ， ， ， ，， 平分， 故③正确； 为的中点， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)下列关于等边三角形说法正确的是（   ） 等边三角形有三条对称轴；有两个角是的三角形是等边三角形；等边三角形三条边上的高相等；等边三角形一条边的平行线与另两边所在的直线围成的三角形仍是等边三角形． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据等边三角形的判定与性质逐一判断即可，解题关键熟练掌握等边三角形的判定与性质． 【详解】解：等边三角形有三条对称轴，原说法正确； 有两个角是的三角形是等边三角形，原说法正确； 等边三角形三条边上的高相等，原说法正确； 等边三角形一条边的平行线与另两边所在的直线围成的三角形仍是等边三角形，原说法正确； 综上：正确， 故选：． 5．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 6．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，O是内一点，，，． (1)已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； (2)如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)①120；②成立，理由见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①可以利用倒推的度数； ②要证结论成立，则证即可，过作于点，过作于点，根据8字型倒角得到，先证，再证即可； （2）根据①②思路构造辅助线，上取点，使，过点于点于点，先证，再证和全等，即可． 【详解】（1）解：①延长到点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：； ②依然成立，理由如下； 如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，依然成立， 理由如下：如图，在上取点，使， ， ， 作于点于点， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． (1)求证：； (2)求证：H为中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质： （1）先证明为等边三角形，再根据以及线段和差证明即可； （2）先证明，则，再根据三线合一即可证明． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴ ． ∵ ∴． ∵ ∴； （2）解：连接． 在和中 ∴ ∴． ∵， ∴． 即：H为中点． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，进而可得，即可得到答案； （3）证明，得到，则，即求出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴， ∴， ∵于点Q， ∴． ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 9．(24-25八上·湖北荆州松滋·期中)如图，设和都是等边三角形，并且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的性质和四边形内角和定理是解题的关键． ()根据已知条件求出，然后利用证明即可； （2）利用四边形内角和定理求出即可解决问题； （3）根据及即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，且， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：∵四边形内角和为，， ∴． ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ 在四边形中，， 其中，， ∴， ∴ ． 10．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)已知为等边三角形，点D在射线上，点E在射线上，连接、，． (1)如图1，当点D在线段的延长线上，点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，点E在线段的延长线时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）在上取，连接，证明为等边三角形，可得，，证明，，再证明即可得到结论； （2）在上取，连接，证明是等边三角形，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：在上取，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， 在和， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据证明即可得证； （2）由全等三角形的性质结合题意可得，即可得证； （3）仿照（1）、（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，． 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． 又， ． ． （3）解：仍有成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 地 城 考点08 含30度角的直角三角形 1．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…，在轴上，点，，…在上，若，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质与含度角的直角三角形的性质，分别求得前几个点的坐标，找到规律，即可求解． 【详解】解：，，…都是等边三角形，， ∵，， ， ， ，则的纵坐标为， ， ，则的纵坐标为， 同理可得，则的纵坐标为， …… ∴的纵坐标是 故答案为：． 2．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 3．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)如图，在中，，，平分，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3)1 【分析】（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴，, ∴是等边三角形． （2）分两种情况： ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； （3）∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期中)已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示，过点作，可得是等边三角形，，，，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作，由（1）的证明可得，是等边三角形，，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得，，，则有，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作， 由（1）的证明可得，是等边三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 6．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小周长为12 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形，轴对称-最短路线问题，运用相关知识进行解题是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得从而可得； （2）过点P作得，由角平分线性质定理得； （3）设点P关于的对称点为，关于的对称点为，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：作于点E，如图， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （3）解：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点M、N，连接， ∵点P关于的对称点为，关于的对称点为， ∴； ∵点P关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值． 7．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若于点M，求证：M是的中点； (3)若，求的长． 【答案】(1)∠E的度数为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）等边三角形的性质，求出，等边对等角，三角形的外角的性质，求出的度数即可； （2）连接，三线合一，推出，进而得到，再根据三线合一，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接， ∵是等边三角形，D是的中点， ∴平分， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴M是的中点； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 8．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)[定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 【答案】[定理] 平分；[运用]证明见解析；[拓展] 【分析】本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【详解】[定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $