专题02 全等三角形（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学上学期人教版2024

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆3大高频考点概览 考点01全等三角形的概念和性质 考点02添加条件使三角形全等 考点03全等的性质和ASA/AAS综合 考点04全等的性质和SAS/SSS综合 考点05全等的性质和HL综合 考点06角的平分线的性质和判定 考点07尺规作图 目目 考点01 全等三角形的概念和性质 1.(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县)如图，△ABW兰△ACM,则下列结论错误的是() M A.LB=∠C B.∠BAM=∠CAN C.BM=CN D.AN=NC 2.(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，△ABC兰△DEF,BC=6,CF=2.则EC的长为() A D A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学期中已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=() 1/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 人60°727 6 A.72° B.60° C.48° D.50° 4.(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街期中)如图，两个三角形全等，则∠的度数是 50° a 58° 72A b 5.(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县)如图1，己知△ABC兰△ADE,∠ACB=90°，直线DE与BC交 于点P.连接CE. D Q C B P 图1 图2 (I)求证：PC=PE; (2)若AD II BC,求证：AD=DP; (3)如图2，在(2)的条件下，CE的延长线交AD的延长线于点Q,请判断△DEQ的形状，并说明理由. 考点02 添加条件使三角形全等 1.(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在△ABC和△DEF中，点B,F,C,E在同一直线上，∠A=∠D, AB=DE,只添加一个条件，不能判定△ABC兰△DEF的是() D B A.BF=EC B.AC=DF C.∠ACB=∠DFE D.∠B=∠E 2/25 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八上·湖北孝感应城期中)如图，△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列哪一个条 件仍不能证明△ABC兰△DEF() D B E A.ACIDF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F 3.(24-25八上·湖北孝感汉川期中)如图，已知CA=CD,∠A=∠D,下列条件中，无法判断△ABC=△DEC 的是() E A.AB=DE B.∠B=∠E C.∠1=∠2 D.BC=EC 4.(23-24八上·湖北武汉江武外校联体·期中)如图，己知∠CAB=∠DBA,老师要求同学们补充一个条件使 △ABC△BAD,以下是四个同学补充的条件，其中错误的是() A.AC=BD B.CB=DA C.∠C=∠D D.∠ABC=∠BAD 5.(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，点B,E,C,F四点在同一条直线上， LB=∠DEF,AB=DE,添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是() B E A.BE=CF B.∠A=∠D C.AC=DF D.ACIDF 6.(24-25八上·湖北黄冈蕲春县)如图，点D、E分别在AC、AB上，己知AB=AC,要使△ABD≌△ACE, 还需要添加一个条件，你添加的条件是一·（只需写一个，不添加辅助线） 3/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 全等的性质和ASA/AAS综合 1.(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,AB⊥AC,AE⊥BD 于点E.若BD=20,AE=6,则△BCD的面积是() B A.60 B.40 C.30 D.20 2.(24-25八上·湖北荆州实验中学期中)如图，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角△EPF的直角 顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E,F,给出以下四个结论： ①AE=CF;②若AB=4,则△EPF面积最小是2；③S四边形AEPP=S△ABC;④EF=AP. 上述结论中正确的有() E B A.①④ B.①② C.①②③ D.①②③④ 3.(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，已知0A=12,在△A0B中，∠A0B=90°， ON=AD,MN⊥OD交AB与点M,交OB延长线于点H,BM=BH,DM=5,则BM的长度为() 0 D M A.4 B.3.5 C.4.5 D.3 4.(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，线段AB,CD交于点O,连AD,CB,AD=CB, 4/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAB=∠BCD.求证：OA=OC. 5,(2425八上·湖北襄阳宜城五校·期中)等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A、点B分别是y轴、x 轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E, A D D B B E 0 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，己知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标； (②)如图(2)，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE,求证：∠ADB=∠CDE; (3)如图(3)，若点A在x轴上，且A(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时，分别以0B、AB为直角边在第 一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连接CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时， BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度， 6.(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，O是△ABM内一点，0B=OM,∠BAM=,∠B0M=B. M(C 图1 图2 图3 (I)已知，△ABC为等边三角形. ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：B=°，可得结论：OA=OB=OM; ②如图2，若点C在边AM上，在①补充的条件下，结论OA=OB=OM是否仍成立？并说明理由； (2)如图3，请探究当α与B之间满足什么数量关系时，结论0A=OB=OM仍然成立，并说明理由， 7.(24-25八上·湖北荆州实验中学.期中)如图，点A,D,F,B在同一直线上，AD=BF,AE II BC.且EFICD, 5/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：EF=CD. E 8.(24-25八上湖北武汉青山区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0),点B(0,b),且a,b满足(a-b)2 +Wb-4=0. 图1 图2 (1)直接写出△A0B的面积； (②)如图1，若点C为线段OB上一点，连接AC,作CD⊥AC,且CD=AC,连接BD.求∠DBA的度数； (3)如图2，在(2)的条件下，连接OD,点E,F分别为OD,AB的中点，连接CE,EF,请探究线段CE与EF 之间的关系，并证明你的结论， 9.(24-25八上湖北荆州实验中学期中)如图①，在平面直角坐标系中，0(0,0)，A(m,2),B(n,0),其中m、 n满足n=Vm-2+V2-m+4. D 图① 图② 图③ (I)求证：△OAB是等腰直角三角形； (2)若点D为线段OB上一动点， ①如图②，以AD为边向右作等腰Rt△ADG,且DA=DG,若D(?,0,求点G的坐标； ②如图③，过B点作BF1AD于E,交OA于R,且∠AFB=45°+∠FAB,试间代数式A的值是否为定值？ 若是，请求出其定值，若不是，请说明理由， 6/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25八上湖北孝感应城期中)在平面直角坐标系中，A(0,5),B(5,0,点C为x轴负半轴上一动点，过 点B作BD⊥AC交y轴于点E. D B 图1 图2 (1)如图1，若点C的坐标为(-2,0)，求出点E的坐标； (2)如图2.若点C在x轴负半轴上运动，且0C<5,其他条件不变，连接D0,求证：D0平分LCDB. 11.(24-25八上湖北孝感孝南区·期中)(1)【问题】如图1，AD平分LBAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°， 根据教材中一个重要性质直接可得DB=DC,这个性质是 ； (2)【探究】如图2，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC; (3)【应用】如图3，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC,DE1AB,若BE=3,求AB-AC 的值 图1 图2 图3 12.(24-25八上·湖北荆州凇滋期中)如图，AB ICD,AB=CD,求证：E0=F0.请将下面的推理过程及 依据补充完整。 证明：AB II CD, LB=∠C(). 在△AOB与△DOC中， (LAOB LDOC {8=c .△A0B≌△D0C(), ∴0B=0C(_). 在△BOE与△COF中， 7/25 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 棉 .△BOE≌△COF(), E0=F0. 13.(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)问题呈现如图1,1Il2l3,且相邻两条平行线间的距离都是1个单 位长度，点A、B、C分别在l1、l2和l3上，且△ABC为等腰直角三角形，直接写出△ABC的面积. D G 图1 图2 图3 数学思考：如图2,1Il2Il3Il4,且相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正四边形DEFG四个顶点分 别在L1、2、l3和l4上，求正四边形DEFG的面积 拓展延伸：如图3,1Il2l3ll4,相邻两平行线间的距离不相等，若l1与l2间的距离为h1个单位长度，l2与l3 间的距离为h2个单位长度，3与4间的距离为h3个单位长度，正四边形DEFG的四个顶点分别在l1、l2、l3和 l4上，试用h1,h2和h3表示正四边形DEFG的面积，并说明理由. 14.(24-25八上·湖北孝感汉川期中)在等腰Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC,点A、C分别在x轴、y轴的 正半轴上. P D A B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BC0=∠CA0; (2)如图2，若0A=5,0C=2,求B点的坐标； (3)如图3，点C(0,3),Q为x轴上一点，若AQ=12.以CQ为腰在第二象限作等腰Rt△QCD,连接DB交y轴于 8/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P点，则OP的长为 15.(24-25八上湖北武汉青山区·期中)己知，在△ABC与△ADE中，AE=AC,AB=AD, ∠BAC+∠DAE=180° D B M 图1 图2 (I)如图1，若AB=AC,AM⊥BC于点M. ①求证：∠E=LBAM ②猜想AM与DE之间的数量关系，并证明； (2)如图2，求证：S△ABc=S△ADE 16.(24-25八上·湖北孝感汉川期中)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D为BC边的中点，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F. E B D (I)求证：DE=DF; (2)求证：EB=FC. 17.(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考期中)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,AD=CF,FCI AB.证明：E是AC的中点. E D B 9/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)已知△ABC为等边三角形，点D在射线AC上，点E在 射线CB上，连接AE、DE,AE=DE. 图1 图2 (I)如图1，当点D在线段AC的延长线上，点E在线段BC上时，求证：BE=CD; (2)如图2，当点D在线段AC上，点E在线段CB的延长线时，求证：BE=CD. 19.(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县)如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(5,0)，点P(a,b) 是第一象限内一点，其中2a-16+V(a-b)2=0,且满足∠PA0+∠PB0=180°. AV P D x B 图1 图2 (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，在y轴负半轴有一点C(0,-2),连接CP,过点P作CP的垂线交x轴于点D, 请连接CD,求四边形PACD的面积. 20.(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A 在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，且AB⊥AC,AB=AC. y个 C A M B B 图1 图2 图3 (1)如图1，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(2,0)，则C点的坐标为： 10/25 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形的概念和性质 考点02 添加条件使三角形全等 考点03 全等的性质和ASA/AAS综合 考点04 全等的性质和SAS/SSS综合 考点05 全等的性质和HL综合 考点06 角的平分线的性质和判定 考点07 尺规作图 地 城 考点01 全等三角形的概念和性质 1．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，对边相等即可判断． 【详解】解∶∵， ∴，，，， ∴，， ∴，． 而无法证明， 故选：D． 2．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，，，．则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)已知，如图所示的两个三角形全等，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理知识点，解题的关键是根据全等三角形对应角相等找出与对应的角． 先根据三角形内角和定理求出第一个三角形中未知角的度数，再根据全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：在第一个三角形中，根据三角形内角和为，已知两个角分别为和，则第三个角的度数为， 因为两个三角形全等，全等三角形对应角相等， 由图可知与第一个三角形中求出的角是对应角， 所以． 故选：C． 4．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是本题的关键． 由全等三角形的性质可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，为边的夹角， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图1，已知，，直线与交于点P．连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，的延长线交的延长线于点Q，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质证明故可得结论； （2）证明,得，即可得绪论； （3）证明,即可得出绪论 ． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ， ∴ ∴， ∴ ∴； （2）解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （3）解：是等腰三角形． ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 地 城 考点02 添加条件使三角形全等 1．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在和中，点在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据三角形全等的判定定理逐项判断即可，也是解题关键． 【详解】解：A．当时，不能证明，故该选项符合题意； B．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意； C．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意； D．当时，可利用“”证明，故该选项不符合题意． 故选A． 2．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，和中，，，添加下列哪一个条件仍不能证明（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考查全等三角形的题目，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键． 要使，已知，须再添加另一组角或的另一组邻边对应相等的条件． 【详解】解： A、如果，则有， ∵， ∴， ∴A不符合题意； B、如果， ∵， ∴， ∴B不符合题意； C、如果， ∵， ∴不能推出; ∴C符合题意； D、如果， ∵， ∴， ∴D不符合题意． 故选：C． 3．(24-25八上·湖北孝感汉川·期中)如图，已知，，下列条件中，无法判断△ABC≌△DEC的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意； ∵添加条件， ∴，即，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故D符合题意； 故选：D． 4．(23-24八上·湖北武汉江武外校联体·期中)如图，已知，老师要求同学们补充一个条件使，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴添加的条件是：，根据可证明，故选项A不符合题意； 添加的条件是：，无法判断，故选项B符合题意； 添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意； 添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意； 故选：B 5．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理“”，“”，“”逐项判定即可． 【详解】解： A、由可得，结合，，可根据“”判定，故不符合题意； B、由，，，可根据“”判定，故不符合题意； C、由，，，可知不能判定，故符合题意； D、由，可得，结合，，然后根据“”判定，故不符合题意． 故选：C． 6．(24-25八上·湖北黄冈蕲春县·)如图，点D、E分别在、上，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得已有一条边和一个角对应相等，则根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： 由题意得，，， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点03 全等的性质和ASA/AAS综合 1．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（  ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形．过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质及角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据平行线间的距离处处相等求出，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，已知中，，，直角的直角顶点P是中点，两边、分别交、于点E，F，给出以下四个结论： ①；②若，则面积最小是2；③；④． 上述结论中正确的有（   ） A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据角的和差关系可得，证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确；根据，可知当时，取得最小值，即的面积最小．根据勾股定理求出，再由的面积可求出的最小值为，进而即可得到的面积最小是2，可判定②正确；根据全等三角形的性质可知，可得，由可判定③正确；只有当点E为的中点时，，可判定④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P是的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴， ∴当时，取得最小值，即的面积最小． ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的面积最小是2，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 只有当点E为的中点时，， ∵， ∴在中，， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴只有当点E为的中点时，，故④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，证明，得出，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，线段，交于点O，连，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．本题隐含，结合，，利用“”证明，即可得． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 5．(24-25八上·湖北襄阳宜城五校·期中)等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 6．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，O是内一点，，，． (1)已知，为等边三角形． ①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：； ②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由； (2)如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)①120；②成立，理由见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①可以利用倒推的度数； ②要证结论成立，则证即可，过作于点，过作于点，根据8字型倒角得到，先证，再证即可； （2）根据①②思路构造辅助线，上取点，使，过点于点于点，先证，再证和全等，即可． 【详解】（1）解：①延长到点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：； ②依然成立，理由如下； 如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：当时，依然成立， 理由如下：如图，在上取点，使， ， ， 作于点于点， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，点，，，在同一直线上，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由平行线的性质得到，，由得到，从而证明，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴． 8．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． (1)直接写出的面积； (2)如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)8； (2)； (3)，，证明见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质可得，最后根据三角形的面积公式得出答案； （2）如图1，过点作轴于，证明，得，，再证明和是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点，证明和，最后得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，， ， 点，点， ， 的面积； （2）解：如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：，，证明如下： 如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点， ，是的中点， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，非负数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 9．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中、满足． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若点为线段上一动点． ①如图②，以为边向右作等腰，且，若，求点的坐标； ②如图③，过点作于，交OA于，且，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②是定值，为 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出m的值，得到点A，B的坐标，再根据两点间的距离公式求出，，的长，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）①过点A作于F，过G作于E，由得到，根据等腰三角形的性质得到，由得到，，证明，得到，，即可解答； ②根据等腰直角三角形的性质求出和，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①过点A作于F，过G作于E， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点G的坐标为． ②在上截取，在上截取，连接，， ∴，为等腰直角三角形， ∴ ∵∠ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，求出点的坐标； (2)如图2．若点在轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出得出，即可得出结论； （2）由得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标分别为， ∴， 在△AOC和△BOE中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）如图②， 过点作 于， 于， ， ， ， ， ∴点一定在的角平分线上， ， ∴平分． 11．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 12．(24-25八上·湖北荆州松滋·期中)如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：∵， ∴（ ）． 在与中， ， ∴（ ）， ∴（ ）． 在与中， ， ∴（ ）， ∴． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；全等三角形的对应边相等；； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，熟练掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．先利用证明，再利用证明，即可得． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；全等三角形的对应边相等；；． 13．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)问题呈现：如图1，，且相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，点A、B、C分别在、和上，且为等腰直角三角形，直接写出的面积． 数学思考：如图2，，且相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正四边形四个顶点分别在、、和上，求正四边形的面积． 拓展延伸：如图3，，相邻两平行线间的距离不相等，若与间的距离为个单位长度，与间的距离为个单位长度，与间的距离为个单位长度，正四边形的四个顶点分别在、、和上，试用，和表示正四边形的面积，并说明理由． 【答案】问题呈现：1；数学思考：5；拓展延伸： 【分析】问题呈现：如图，为等腰直角三角形，，，记与的交点为，证明，可得，进一步可得答案； 数学思考：如图，过点E作于M，交于N，则，可得，证明，可得，求解 ，从而可得答案； 拓展延伸：过点E作于M，交于N，则，如图所示：则，证明，可得，，进一步利用勾股定理解答即可. 【详解】解：问题呈现：如图，为等腰直角三角形，，，记与的交点为， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∴， 数学思考：如图，过点E作于M，交于N，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴正方形的面积； 拓展延伸：过点E作于M，交于N，则，如图所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的面积 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．(24-25八上·湖北孝感汉川·期中)在等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求点的坐标； (3)如图3，点，为轴上一点，若．以为腰在第二象限作等腰，连接交轴于点，则的长为_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两锐角都与互余证明即可； （2）过点B作轴于D，证明（），求出，，由点B在第三象限，得到B的坐标； （3）过B作，交y轴于H，证明，推出，求出，再证明，推出，由此得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点B作轴于D，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点B在第三象限， ∴； （3）解：过B作，交y轴于H，则， ∵等腰、等腰， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，（3）是解题的难点，正确引出辅助线是此题解题的关键． 15．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)已知，在与中，，，． (1)如图1，若，于点M． ①求证： ②猜想与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②，见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，通过辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）①如图1，过点作于，先根据等量代换可得：，由等腰三角形三线合一的性质可得：，，则，最后由同角的余角可得结论； ②如图1，过点作于，根据证明，得，由等腰三角形三线合一的性质可得：； （2）延长至，使，连接，根据三角形的中线平分三角形的面积可得：，证明，则，从而可得结论． 【详解】（1）①证明：如图1，过点作于， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②解：，理由如下： 如图1，过点作于， 由①知：， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 16．(24-25八上·湖北孝感汉川·期中)如图，在中，，点为边的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． （1）利用“”证明即可得到：． （2）由全等三角形的性质直接得出即可． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ． ． （2）证明：， ． 17．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，是上一点，交于点，，．证明：是的中点．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证、，再利用证明，根据全等三角形对应边相等可证，从而可得结论成立． 【详解】证明：如下图所示，   ， ，， 在和中， ， ， 是的中点． 18．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)已知为等边三角形，点D在射线上，点E在射线上，连接、，． (1)如图1，当点D在线段的延长线上，点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上，点E在线段的延长线时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）在上取，连接，证明为等边三角形，可得，，证明，，再证明即可得到结论； （2）在上取，连接，证明是等边三角形，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：在上取，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， 在和， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点是第一象限内一点，其中，且满足． (1)直接写出点P的坐标； (2)求点A的坐标： (3)如图2，在（2）的条件下，在y轴负半轴有一点，连接，过点P作的垂线交x轴于点D，请连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积为36 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可； （2）过点P作轴于点C，轴于点D，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）证明四边形为矩形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 20．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，． (1)如图1，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ； (2)如图2，，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，，，为线段的中点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过作轴于，证明，可得，，即得； （2）过作轴于，设，交于，证明，可得，，由，，知，即得，故，有，从而，又，可证； （3）连接，设交于，证明，可得，即可知，而，故，． 【详解】（1）解：过作轴于，如图 ， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ； 故答案为：； （2）证明：过作轴于，设，交于，如图： ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：连接，设交于，如图： ，， ，， 由（2）知， ， ，， 是等腰直角三角形， 为中点， ，， ， 由（2）知，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 21．(24-25八上·湖北荆州·期中)数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？如图①，小聪同学考虑到，可以通过构造全等把一些分散的已知条件转化到一个三角形中，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． (1)根据小聪的思路，直接写出的取值范围； (2)类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，，，垂足为，是上一点，过点作交的延长线于点，若，，求的长． (3)如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与的中线的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）证明得出，由三角形三边关系可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴ 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； （3）解：结论：， 理由如下：延长到，使，连接， 由（1）可知， ，． 与是等腰直角三角形， ，，， ，． ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角的性质，角的关键．作辅助线证明三角形全等是解答关键关键． 22．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，中，，平分，交延长线于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质． （1）首先根据直角三角形的两个锐角互余可得中、，根据角平分线的定义可得，根据等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可证，根据等角对等边可证结论成立； （2）过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，等量代换可证． 【详解】（1）证明：如下图所示， ， ， 在中， ， 在中， 平分， ， ， 又， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作， 平分， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 23．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)在平面直角坐标系中，，，且点坐标满足方程组 (1)求、的坐标； (2)如图1，以为边在第四象限作等腰，直接写出点坐标； (3)如图2，若，在轴，上方，且，过作于，直线交于，直线交于，试探究线段、、三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或或 (3)，证明见解析 【分析】（1）解二元一次方程，即可求解； （2）分两种情况讨论，当为腰时，过点作轴的垂线垂足为，证明，根据全等三角形的性质即可求解，同理可得，当为底边时，为的中点，根据中点坐标公式，即可求解； （3）如图所示，作轴交于点，证明，得出，，进而即可得证． 【详解】（1）解： ①+②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴， （2）解：∵， ∴ 如图所示，当为腰时，过点作轴的垂线垂足为， ∵，， ∴ ∴，则 ∴ 同理可得 当为底边时，为的中点， ∴ 综上所述，或或 （3） 证明：如图所示，作轴交于点， ∵轴，， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴，则 在中， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ 即． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 地 城 考点04 全等的性质和SAS/SSS综合 1．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)是的中线，点、分别是和延长线上的点，且，分别连接、，下列结论：①，②和面积相等，③，④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断①；全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断③；根据等底同高的三角形的面积相等判断②；最后根据点E位置不确定，与不一定相等，判断④． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确， ∴， 故③正确； ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等， 故②正确， 点E是上的点，位置不确定， ∴与不一定相等， 故④不正确， 综上所述． 正确的是①②③，共3个． 故选：C． 2．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，这样测量的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；根据证明，即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：． 3．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，点D为的边延长线上一点，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，在上截取，连接，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，从而得出，，再证明，即可得解． 【详解】解：如图：在上截取，连接， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，交于点，先求出，进而可依据“”判定，得到，，，进而得，可得是等边三角形，从而得，再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到，进而得，即得，据此可得的度数． 【详解】解：延长到，使，连接，交于点，如图所示， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的平分线， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，，点M是的中点，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，①根据垂线的性质即可解答；②如图1，延长至N，使，连接，证明和，即可解答；③过点C作于P，证明得出，根据可求出结论；④根据可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长至N，使，连接，设交于点H， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③如上图，过点C作于P，设与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，即， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，故④正确； 所以本题结论正确的有：①②④； 故答案为：①②④． 6．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)如图，若，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据“”证明，得出． 【详解】解： ，，， ， ． 故答案为：． 7．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图．已知，．则可推出．依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查的是三角形全等的判定：熟练掌握和，是解题的关键． 根据三角形全等的判定定理：两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”） ，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， 即依据是两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”）． 故答案为：． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，进而可得，即可得到答案； （3）证明，得到，则，即求出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴， ∴， ∵于点Q， ∴． ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 9．(24-25八上·湖北荆州松滋·期中)如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形、根据全等三角形的对应边相等进行计算求解是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可得方程，，求得，，即可得到A、B两点的坐标； （2）延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接，构造全等三角形，再设，根据列出关于x的方程求解即可； （3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N，设点E为，构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解得即可解答． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点A为，点B为； （2）如图，延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接， ， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N， 设点E为， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点F为， ∵F点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴点P为． 10．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族鹤峰县实验中学·期中)如图，点B、F、C、E四点在同条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴ 11．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2）．理由见解析 （3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形． （1）通过延长构造，进而推出和，再由“”证得，即可得到，从而得出结论． （2）通过延长构造得出、，然后证得，再由即可得出结论． （3）在上取点，使．根据“”证得，得到、，推出，再由“”证得得出，最后由线段和差关系求出的长． 【详解】解：（1）如图，在延长线上取点，使，连接． 在和中，，， ∴． ，， ， ． 在和中，，，， ． ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：在延长线上取点，使，连接 ． ． 在和中，，，， ． ，． 在和中，，，， ． ， ． （3）在上取点，使． 根据题意和都是直角三角形． ，， ． ，， 又， ， ． 在和中，，，， ， ． 12．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，点D，E，C，F在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 根据平行线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 13．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键． （1）根据高的定义得到， 进而得到， 由此证明即可证明； （2）由全等三角形的性质得到， 再由三角形内角和定理得到，即可得到， 即． 【详解】（1）证明： ∵、分别是、两条边上的高， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的高， 即， ∴， ∴， ∴， 即． 14．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．(24-25八上·湖北宜昌当阳实验初级中学·期中)如图，在中，，D、E是边上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质知识点，解题的关键是通过等腰三角形的性质得到角相等，进而证明三角形全等。 利用等腰三角形性质得到，再结合已知条件，根据全等三角形判定定理（SAS）来证明。 【详解】解： ， ， 在和中， ， ∴， ∴． 16．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，，，垂足分别为E，F，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 证明，得出，由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵ ∴，即： 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 17．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)在中，，为边中点，点在，所在直线上，． (1)若，如图1，画点，使点与点关于所在直线对称，连，，直接写出的大小； (2)如图2，点在延长线上，点在延长线上，点为点关于所在直线的对称点，连，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换，，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据要求画出图形，得到，得出，得到，得证，得出，即可得到答案； （2）连接延长到，得到，求出，可证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求，连接， ， ， 关于对称， ， ，，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ， ； （2）证明：如图2，连接延长到， 关于对称， ， Q，， ， ，， ， ，， ， 为边中点， ， ， ． 18．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． (1)求证：； (2)求证：H为中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质： （1）先证明为等边三角形，再根据以及线段和差证明即可； （2）先证明，则，再根据三线合一即可证明． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴ ． ∵ ∴． ∵ ∴； （2）解：连接． 在和中 ∴ ∴． ∵， ∴． 即：H为中点． 19．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，D是的边上一点，点E是中点，连DE并延长至点F，使．    (1)求证：； (2)添加一个条件，使，请直接写出这个条件（不用说明理由）． 【答案】(1)证明见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质， （1）由，，夹角为对顶角，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到． （2）添加，连接，证明即可； 【详解】（1）证明：∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ； （2）解：添加，则，理由如下： 如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 20．(24-25八上·湖北孝感孝南区·期中)如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据证明即可得证； （2）由全等三角形的性质结合题意可得，即可得证； （3）仿照（1）、（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，． 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． 又， ． ． （3）解：仍有成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 21．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可，左侧3个格点确定点，连接，与的交点即为点； （2）取的中点，过中点，作线段，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接即可； （3）取格点，连接，构造等腰直角三角形，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，，高即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； （2）如图，即为所求； 由作图可知：都是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴； （3）如图，点即为所求； 由作图可知：， ， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 22．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求出，根据角平分线的定义可得出，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可证，即得出，即易证，得出． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 23．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴． 24．(24-25八上·湖北咸宁温泉中学教联体·期中)在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，． (1)求证： (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）连接与交于点，直接根据证明即可； （2）由得到再证明，得到，根据即可得到． 【详解】（1）证明：连接与交于点， 在与中，，，， ∴， （2）证明：∵， ∴， 在与中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 25．(24-25八上·湖北武汉洪山区·期中)如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等式的性质，三角形全等的判定解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ ∴，即 在和中 ∴． 26．(24-25八上·湖北大冶·期中)如图，，点B，E，F，C在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 地 城 考点05 全等的性质和HL综合 1．(24-25八上·湖北孝感汉川·期中)如图，，，于点，于点，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明可得，，再根据线段的和差关系计算即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八上·湖北黄石十六中教联体·期中)如图所示，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动．当时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的运用，解题的关键是掌握其判定和性质定理； 由于B的坐标为，轴，轴，至此可得四边形是正方形； 根据正方形的性质可知，，由于点D为线段的中点，点P从点A出发，在线段、上沿运动，则可得本题有两种情况； ①当点P在上时，②当点P在上时，根据题意可证出两种情况之下的三角形全等，结合全等三角形的性质可得答案，至此可得本题的答案． 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴， ∴∴四边形是正方形， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 当点P在上时， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当点P在上时， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：或． 3．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，点A，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，有以下结论：①．②与互余的角有四个，③，④点是的中点．其中正确的结论有： ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，根据角平分线的性质得，，可得①不正确；与互余的角有，结论②正确；可得，结论③正确；证明，，可得结论④正确． 【详解】解：①∵点A，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点， ∴，， ∴， ∴结论①不正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余的角有： ； ∴结论②正确； ③∵； ∴结论③正确； ④∵，， ∴， ， ∴， 即点O是的中点； ∴结论④正确； 故答案为：②③④． 4．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 5．(24-25八上·湖北襄阳宜城五校·期中)如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边．利用证明，得到，然后根据等角对等边得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，，，是的平分线与BC的垂直平分线的交点，于，于，求、的长度． 【答案】， 【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质． 连接，，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，进而证明，得到，证明，得到，从而有，即可求出，根据即可解答． 【详解】解：连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，于，， ∴，， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25八上·湖北武汉江岸区·期中)如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据，得出，求出，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点06 角的平分线的性质和判定 1．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证明，再证明，即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作于M，于N，则，证明，可证，再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， 是等边三角形， 故②正确； 过B作于M，于N，则， ， ， ， ，， 平分， 故③正确； 为的中点， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质定理，正确作出辅助线是解题关键．过点D作于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再根据结合三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F，    ∵是的角平分线，， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 故选D． 3．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，的和的平分线，相交于点G，且，则下列结论中：①；②点G到边，，的距离相等；③．正确的选项是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质得到，，然后再利用三角形内角和定理列式整理即可得到，故①正确；根据角平分线的性质得到点G到边，，的距离相等；故②正确；过点作，，，无法证明全等，故③错误；即可得到答案． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵点是角平分线，上的点， ∴点G到边，，的距离相等； 故②正确； 过点作，，，如图所示： 由角平分线的性质可得：，，， ∵， 无法证出， ∴无法证明全等， 故③错误； 故选：B． 4．(24-25八上·湖北黄石十四中教联体·期中)如下图，中，，的角平分线AD，BE相交于点，过作交BC的延长线于点，交AC于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①根据直角三角形的性质得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理可求出的度数，据此可对结论①进行判断；②先证和全等得，，再证和全等得，据此可对结论②进行判断；③由，得为等腰直角三角形，则，再求出，据此可对结论③进行判断；④由得和同底等高，则，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ， ，为的角平分线， ，， ， ，故结论①正确； （2）， ， 由结论①正确：得， ， ， ， 为的角平分线， ， 在和中， ， ，， 为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故结论②正确； ③，， 为等腰直角三角形， ， 由结论①正确可知：， ， ， 故结论③正确； ④由结论③正确可知：， 和同底等高， ， ， ． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②③④． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解直角三角形的两个锐角互余是解答此题的关键． 5．(24-25八上·湖北武汉武珞路实验初级中学·期中)如图，在等腰中，，，点在的外部，且， ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点，证明，，得出，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形的面积等于 故答案为：． 6．(24-25八上·湖北荆州·期中)如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分面积的知识，合理构成辅助线，证明三角形全等，得到，是中线是解题的关键． 根据题意，延长交于点，则点三点共线，可证明，得到，，点是的中点，再根据三角形中线平分面积的方法即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则点三点共线，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为： ． 7．(24-25八上·湖北孝感应城·期中)如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查角平分线的性质．解答本题的关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点D作于点E．根据角的平分线性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E． ∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 8．(24-25八上·湖北恩施土家族苗族巴东县·)如图，已知的面积是21，，分别平分和，于D，且，则的周长 ． 【答案】14 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是本题的解题关键，作，垂足分别为E、F，连接，根据角平分线的性质可得：点O到各边的距离均为3，则根据三角形的面积即可解答． 【详解】解：作，垂足分别为E、F，连接， 根据题意得：点O到各边的距离均为3，即， ∵的面积是21， ∴， ， ， ∵， ∴，则的周长为， 故答案为：． 9．(24-25八上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 地 城 考点07 尺规作图 1．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是（  ） A．5 B．7 C．14 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质是解题的关键． 作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于E， 由尺规作图可知，为的平分线，又， ， ∴的面积． 故选：C． 2．(24-25八上·湖北武汉武昌区部分学校联考·期中)按如下步骤作的角平分线：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，D；（2）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交在的内部相交于点C；（3）画射线，则射线为的角平分线．用到作图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：B． 3．(24-25八上·湖北武汉汉阳区·期中)如图，在中，有如下操作： （1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N； （2）直线交，于点D，E； （3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交，于点G，H； （4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点P； （5）射线交直线于点Q，交于点F．现有以下结论： ①若，，则； ②点D为中点； ③若，，则的面积是的面积的2倍； ④若，，，的面积为，则的长为1． 其中正确的结论序号是 ． 【答案】 【分析】由三角形的内角和定理可判断故①符合题意；连接，如图，证明，结合当为的中点，则，可得，可得，可判断②不符合题意；设到的距离为，到的距离为，证明，可得，可判断③符合题意；求解，可得，可判断④符合题意； 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； 连接，如图， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 当为的中点，则， ∴， ∴， ∴， 与题干条件矛盾，故②不符合题意； 设到的距离为，到的距离为， ∵平分， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的2倍；故③符合题意； ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线，线段的垂直平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，等腰三角形的性质，理解作图含义是解本题的关键. 4．(24-25八上·湖北荆州实验中学·期中)如图，在中，，是的外角．    (1)求证：． (2)利用尺规作图分别做出，的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若，求的度数． (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理与外角的性质，尺规作图——作角平分线，角平分线的性质及判定． （1）根据三角形的内角和定理与邻补角互补即可证明； （2）根据尺规作图作角平分线的方法即可作图．由角平分线得到， ，根据三角形外角的性质得到即可解答； （3）过点F作于点M，于点N，于点H，根据角平分线的性质得到，，从而，根据角平分线的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴． （2）解：所求图形，如图所示．    ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ． （3）证明：过点F作于点M，于点N，于点H，    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $