第十七章 因式分解 全章知识点过关复习 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章 因式分解 全章知识点过关复习 人教版八年级上册 因式分解的步骤：(1)提公因式； (2)套公式： ①平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)； ②完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 一、选择题 1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是 ( ) A．(a－1)(a－2)＝a2－3a＋2     B．a2－3a＋2＝(a－1)(a－2) C．(a－1)2＋(a－1)＝a2－a     D．a2－3a＋2＝(a－1)2－(a－1) B 2． 下列因式分解正确的是 ( ) A．2a2－4a＝2(a2＋a)     B．－a2＋4＝(a＋2)(2－a) C．a2－10a＋25＝a(a－10)＋25     D．a2－2a＋1＝(a＋1)2 B 3．把多项式6a3b2－3a2b2＋12a2b3分解因式时，应提取的公因式是 ( ) A．3a2b     B．3ab2     C．3a3b3     D．3a2b2 D 4．把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果正确的是 ( ) A．a(x－2)2     B．a(x＋2)2     C．a(x－4)2     D．a(x＋2)(x－2) A 5．如图，边长为a，b的长方形的周长为28，面积为40，则a2b＋ab2的值为 ( ) A. 70     B．140 C．280     D．560 D 6. 如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为 ( ) A．140　　　 B．70 C．35 D．24 B 二、填空题 1．分解因式：4x3－2x2y＝_____________． 2．分解因式：81x2－64y2＝________________． 3．如果a＋b＝8，那么a2＋2ab＋b2＝____． 4．分解因式：a3－2a2＋a＝__________． 5．已知实数a，b满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为____． 2x2(2x－y) (9x＋8y)(9x－8y) 64 a(a－1)2 42 6. 分解因式： (1)a2＋ab＝__________； (2)6xy－9x2＝______________. 7. 分解因式： (1)xy2－x2y＝____________； (2)15a2＋5a＝_____________. a(a＋b) 3x(2y－3x) xy(y－x) 5a(3a＋1) 8. 分解因式： (1)x2－81＝_____________； (2)a2b2－16＝_______________． 9. 分解因式： (1)4m2－9n2＝___________________； (2)x4－81＝___________________． (x＋9)(x－9) (ab＋4)(ab－4) (2m＋3n)(2m－3n) (x2＋9)(x＋3)(x－3) 10. 分解因式： (1)x2－18x＋81＝ ______________； (2)9x2＋6x＋1＝ ______________． 11. 分解因式： (1)a3＋2a2＋a＝ ________________； (2)8m2－8m＋2＝ ________________． (x－9)2　 (3x＋1)2 a(a＋1)2 2(2m－1)2 12. 阅读下面的材料. 材料一：当ab＝0时，a＝0或b＝0. 材料二：把等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的左右两边交换位置后，得到x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，也就是说，一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2). 根据上述材料，解答下列问题： (1)分解因式：x2＋7x－18＝____________； (2)若若x2－xy－12y2＝0，则x与y的关系式是_______________ (x＋9)(x－2) x＝－3y或x＝4y 三、解答题 1． 分解因式： (1)m2－0.36n2;    解:原式=(m+0.6n)(m－0.6n)  (2)2m2－4my； 解:原式=2m(m－2y) (3)a3－2a2b＋ab2;     解：原式＝a(a2－2ab＋b2)＝a(a－b)2. (4)(3x－y)2－9x2； 解：原式＝(3x－y)2－(3x)2＝(3x－y＋3x)(3x－y－3x) ＝－y(6x－y). (5)m4－10 000;     解：原式＝(m2＋100)(m2－100) ＝(m2＋100)(m＋10)(m－10).    (6)(x－y)2－4(x－y)＋4； 解:原式=(x－y－2)2 (7)a2b2－2ab＋1; 解:原式 =(ab－1)2.    (8)x2－2x－24. 解:原式=(x+4)(x－6). 2. 分解因式： (1)x3＋x2＋x； (2)(2024·南山区期中)3a(x－y)－3b(x－y). 解：原式＝x(x2＋x＋1)； 解：原式＝3(x－y)(a－b). 3. 分解因式： (1)－3ab＋6ab2－12a； (2)(m2－mn)＋a(m－n)． 解：原式＝－3a(b－2b2＋4)； 解：原式＝m(m－n)＋a(m－n)＝(m－n)(m＋a). 4. 分解因式： (1)－8y2＋2x2； (2)x2(a－b)＋9(b－a)． 解：原式＝2(x2－4y2)＝2(x＋2y)(x－2y). 解：原式＝(a－b)(x＋3)(x－3). 5. 分解因式： (1)(p－4)(p＋1)＋3p； (2)x2(m－n)－y2(m－n). 解：原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2). 解：原式＝(m－n)(x2－y2)＝(m－n)(x＋y)(x－y). 6. 分解因式： (1)－m3＋6m2－9m； (2)(m＋n)2＋6(m＋n)＋9. 解：原式＝－m(m2－6m＋9)＝－m(m－3)2. 解：原式＝(m＋n＋3)2. 7. 分解因式： (1)(a－b)2＋4ab； (2)(x2－3)2－2(x2－3)＋1. 解：原式＝a2－2ab＋b2＋4ab＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. 解：原式＝(x2－3－1)2＝(x＋2)2(x－2)2. 8. 已知a＋b＝3，ab＝5，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：a3b＋2a2b2＋ab3 ＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2＝5×32 ＝45. 9. 已知a＋b＝3，ab＝5，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：a3b＋2a2b2＋ab3 ＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2＝5×32 ＝45. 10．如图，水压机有4根空心钢立柱，每根高都是18 m，外径D为1 m，内径d为0.4 m．每立方米钢的质量为7.8 t，求4根立柱的总质量．(π取3.14，结果保留整数) 解：依题意，得立柱的外径D＝1 m，内径d＝0.4 m， 高h＝18 m， ∴每根的体积为18×(0.52－0.22)π＝3.78π(m3). ∵每立方米钢的质量为7.8 t， ∴4根立柱的总质量为4×3.78×3.14×7.8≈370(t). 11．如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 米的正方形． (1)用含a，b的代数式表示剩余铁皮的面积； 解：(1)依题意，得剩余铁皮的面积是(a2－4b2)平方米． (2)利用因式分解的知识计算，当a＝6.6，b＝1.7时，剩余铁皮的面积是多少平方米． (2)当a＝6.6，b＝1.7时， a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(6.6＋2×1.7) ×(6.6－2×1.7)＝10×3.2＝32. ∴剩余铁皮的面积是32平方米． 12. 阅读下面的分解因式的过程： p2－1＋q2＋2pq＝(p2＋2pq＋q2)－1＝(p＋q)2－1＝(p＋q＋1)(p＋q－1). (1)利用上述分解因式的方法证明：若a，b，c是△ABC的三条边的长，则a2－b2＋c2－2ac<0. (1)证明：a2－b2＋c2－2ac＝(a2＋c2－2ac)－b2 ＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b). ∵a，b，c是△ABC的三条边的长， ∴a＋b>c，b＋c>a. ∴a＋b－c>0，a－c－b<0. ∴(a－c＋b)(a－c－b)<0，即a2－b2＋c2－2ac<0. (2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＋|3－c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？ (2)解：∵a2＋b2－6a－4b＋13＋|3－c|＝0， ∴a2－6a＋9＋b2－4b＋4＋|3－c|＝0. ∴(a－3)2＋(b－2)2＋|3－c|＝0. ∴a－3＝0，b－2＝0，3－c＝0， 解得a＝3，b＝2，c＝3. ∴a＝c. ∴△ABC是等腰三角形. 13．阅读下列材料：某校数学社团在活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：m2－mn＋2m－2n，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2－mn＋2m－2n＝(m2－mn)＋(2m－2n)＝m(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋2).社团将此种因式分解的方法叫作“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解答以下问题： (1)分解因式：a3－3a2－6a＋18； 解： (1)a3－3a2－6a＋18＝a2(a－3)－6(a－3)＝(a－3)(a2－6). (2)已知m＋n＝5，m－n＝1，求m2－n2－2n＋2m的值； (2)m2－n2－2n＋2m＝(m2－n2)－(2n－2m) ＝(m＋n)(m－n)－2(n－m) ＝(m＋n)(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋n＋2). ∵m＋n＝5，m－n＝1，∴原式＝1×(5＋2)＝7. (3)△ABC的三边长a，b，c满足a2＋ab＋c2－bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由． (3)△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵a2＋ab＋c2－bc＝2ac， ∴a2－2ac＋c2＋(ab－bc)＝0. ∴(a－c)2＋b(a－c)＝0. ∴(a－c)(a－c＋b)＝0. ∵a－c＋b＞0，∴a－c＝0，即a＝c. ∴△ABC是等腰三角形． 14．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一，为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)X. 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，故(1111)X＝1×X3＋1×X2＋1×X1＋1×X0，即(1111)X转化为十进制表示的数为X3＋X2＋X1＋X0. 如：(1111)2＝1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝15，(1111)5＝1×53＋1×52＋1×51＋1×50＝156.根据材料，解答以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： (101011)2＝____；(302)4＝____；(257)8＝____． (2)若一个五进制三位数(a4b)5与八进制三位数(ba4)8之和能被13整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数)，求a的值． 43 50 175 解：(2)∵(a4b)5＝a×52＋4×51＋b×50＝25a＋20＋b， (ba4)8＝b×82＋a×81＋4×80＝64b＋8a＋4， ∴(a4b)5＋(ba4)8＝25a＋20＋b＋64b＋8a＋4＝33a＋65b＋24能被13整除． ∴33a＋24能被13整除． ∵1≤a≤5，∴a＝4. (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)6与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． (3)(mm1)6与(nn5)8不互为“如意数”．理由如下： (mm1)6＝m×62＋m×61＋1×60＝42m＋1， (nn5)8＝n×82＋n×81＋5×80＝72n＋5， 令(mm1)6＋(nn5)8＝42m＋72n＋6＝666，则7m＋12n＝110. ∵1≤m≤5，1≤n≤7，且m，n均为整数， ∴此等式不成立． ∴(mm1)6与(nn5)8不互为“如意数”． $