3.3勾股定理的简单应用 强基训练 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

3.3勾股定理的简单应用 强基训练 一、单选题 1．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如图每个小正方形的边长为，在中，点分别为的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 4．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 7．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 二、填空题 9．如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 10．八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为 米．    11．《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    12．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ．    13．如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ． 三、解答题 15．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 16．如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 17．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A B C B C 1．A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 2．D 【分析】在格点中，根据勾股定理求出的长，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵每个小正方形的边长为， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查格点三角形的格点，勾股定理，中位线的综合，掌握格点三角形的特点，勾股定理的计算，中位线的性质是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得：． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 6．C 【分析】本题考查勾股定理的应用．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结， 则，． 在中，． 故选C． 7．B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解，再利用线段和差计算． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得， ∴ 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 9． 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】由题意知，，， 在中，由勾股定理得， ， 即地面钢缆到电线杆底部的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 10． 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可得：， 在中， 由勾股定理得，， ∴米， 答：风筝的高度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 【详解】解：如图，    由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．/ 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 14．（x+1﹣5）2+102＝x2． 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知： OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得： （x+1﹣5）2+102＝x2． 故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键． 15．海里 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．(1)3 (2)证明见解析， 【分析】（1）Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求得AC＝10，由翻折的性质，BC＝B'C＝6，则AB'＝4，设EB＝EB'＝x，则AE＝8-x，Rt△AEB'中，42+x2＝（8-x）2，求出x即可求BE＝3． （2）过E作EM⊥AC于M，可证明，则∠EFB＝∠EAM，设∠ECB＝∠ECA＝x，则有∠BAC＝∠EFB＝90°-2x，∠GFC＝90°-∠FCG＝90°-x，∠EFG＝180°-∠BFE﹣∠GFC＝3x，即可求得． 【详解】（1）解：（1）∵矩形ABCD， ∴△ABC为直角三角形， Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝10， 由翻折的性质，BC＝B'C＝6， ∴AB'＝4， 设EB＝EB'＝x，则AE＝8﹣x， Rt△AEB'中，42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴BE＝3． （2）（2）过E作EM⊥AC于M， ∵EM＝BE，EF＝AE，∠AME＝∠B＝90°， ∴Rt△AME≌Rt△FBE（HL）， ∴∠EFB＝∠EAM， 设∠ECB＝∠ECA＝x， ∴∠BAC＝∠EFB＝90°-2x， ∴∠GFC＝90°-∠FCG＝90°-x， ∴∠EFG＝180°-∠BFE﹣∠GFC＝3x， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；全等三角形的性质；勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 17．(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 18．(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $