4.3用一元一次方程解决问题 强基训练 2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

4.3用一元一次方程解决问题 强基训练 一、单选题 1．已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 3．某服装店卖出两件不同的衣服，均以91元卖出，其中一件赚30%，另一件亏30%，则卖出这两件衣服后商店（    ） A．不赚不亏 B．赚了21元 C．亏了18元 D．赚了39元 4．随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 5．在“五·一劳动节”到来之际，为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下：①购物款不超过200元不享受优惠；②购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；③购物款超过600元一律享受八折优惠，某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省（   ）元 A．68.2 B．80.6 C．30.6 D．118.2 6．如图，数轴上点 表示的数分别是和2，且，则点表示的数是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两只书包，其中一只盈利，另一只亏损，则卖出这两只书包总的盈亏情况是（） A．盈利5元 B．亏损5元 C．亏损8元 D．不盈不亏 8．如果四个有理数的和的是4，其中三个数是，，9．则第四个数是（    ） A． B．15 C． D．21 二、填空题 9．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如：王女士家6月份用电420度，电费＝180×0.6＋220×0.7＋20×0.9＝280元，实行“阶梯价格”收费以后，居民用电 千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元． 阶梯 电量 电价 一档 0~180度 0.6元/度 二档 181~400度 0.7元度 三档 400度及以上 0.9元/度 10．有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 11．某企业举办“**产品创新设计大赛”，设奖规定如下： ①参赛的员工均有奖，设一、二、三等奖．其中，一等奖的人数小于二等奖的人数，二等奖的人数小于三等奖的人数． ②奖金总额48000元，每个一等奖的奖金额是二等奖的3倍，是三等奖的6倍．若比赛共有8人参加，根据设奖规定，则每个三等奖的奖金额应是 元． 12．快车与慢车分别从广州、永州两地同时相向出发，匀速而行，快车到达永州后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达广州，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：①广州、永州两地之间的路程为；②慢车的速度是；③出发，快慢两车第一次相遇．其中正确的有 ．（填序号） 13．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，t时后两车相距50千米，则t的值为 ． 三、解答题 14．四边形的周长为，四条边的比为，求四边形各边的长． 15．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线线路运动一周停止． 备用图 (1)求点B的坐标； (2)在移动过程中，当点P到y轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)当点P在的线路上移动时，是否存在点P使的面积是12，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 17．【科普】什么是年阶梯用电 为鼓励节的用电，将用户一年的用电量累加，按累计电量划分档位，电价按等级逐级递增．因此您的年用电量越少，电费就越便宜哦，反之亦然． 其体电价标准如下表所示： 档位（年用电量） 普通不分时用户 谷峰分时用户 第一档（0-2990） 0.538元 谷 0.288元 峰 0.568元 第二档（2991-5200） 0.588元 谷 0.338元 峰 0.618元 第三档（5201以上） 0.838元 谷 0.588元 峰 0.868元 执行时间：2021年1月1日至2021年12月31日（12个月）（来源于国网电力浙江） 【探究】小毛同学对年阶梯用电比较感兴趣，于是他与爸爸妈妈统计了一下自家用电情况如下表所示（电费精确到0.01元）： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 用电量 174 165 185 96 165 246 637 589 437 247 电费 93.61 88.77 99.53 51.65 88.77 132.35 342.71 316.88 236.11 132.89 【思考】小毛同学根据自家用电情况提出了2个问题： (1)小毛家是属于_______；（填写“普通不分时用户”还是“谷峰分时用户”） (2)小毛爸爸说：“家里11月份应缴纳电费87.514元．”小毛同学百思不得其解．请你帮助小毛，求小毛家11月份用电量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C A B C B D 1．A 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据题意得到车行驶的时间为，由相遇问题得到，的路程与的路程和等于全程，由此列式求解即可． 【详解】解：车的速度为，车的速度为，设车行驶后与车相遇，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶， ∴车行驶的时间为， ∴， 故选：A ． 2．A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 3．C 【分析】分别算出两件衣服的进价比较即可； 【详解】解：设盈利的进价是x元，则x+30%x=91，解得x=70． 设亏损的进价是y元，则y–30%y=91，解得y=130． 所以91+91–130–70=–18，所以亏了18元． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 4．A 【分析】根据去年的销量今年的销量，列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分两种情况进行分析即可得到答案． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有， 解得：． ①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，她可以节省80.6元． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据线段相等列出方程是解题的关键．设点C表示的数为x，根据列出方程即可求得点C表示的数． 【详解】解：设点C表示的数为x； 因为表示的数分别是和2； 所以； ； 因为； 所以； 解得：； 所以点C表示的数为：5； 故选：C． 7．B 【分析】根据等量关系式分别列方程求出每只书包的原件即可． 【详解】解：设第一只书包的原价为元， 根据题意，得 ， 解得； 设第二只书包的原价为元， 根据题意，得 ， 解得； ∵， ∴亏损5元， 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，求出每只书包的原价是解题的关键． 8．D 【分析】设第四个数是x，根据题意列方程解答． 【详解】解：设第四个数是x， ， 解得x=21， 故选：D． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用：数字问题，正确理解各数之间的关系列得方程是解题的关键． 9．360 【分析】设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元，分情况讨论得出180＜x＜400，再由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元， ①当居民月用电量0＜x≤180时， ∵0.6＜0.65， ∴x＞180； ②当x＝400时，电费为：180×0.6+220×0.7＝262（元）， 平均电价＝262÷400＝0.655（元/度）， ∴180＜x＜400； 由题意得：180×0.6+（x﹣180）×0.7＝0.65x， 解得：x＝360． 故实行“阶梯价格”收费以后，居民用电360千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元． 故答案为：360． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．/10厘米 【分析】设，，则，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设，，则， ∵比长， ∴， 即， 解得：， ∴长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段的和差，正确的理解题意是解题的关键． 11．②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 12．3200或3000/3000或3200 【分析】设获一、 二、 三等奖的人数分别为a、b、c，根据①中题设求得a、b、c，再设每个三等奖的奖金额是x元，则每个一等奖的奖金额是6x，每个二等奖的奖金额是2x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设获一、 二、 三等奖的人数分别为a、b、c， 由题意，得：a+b+c=8，且0＜a＜b＜c，a、b、c均为正整数， ∴a=1，b=2，c=5或a=1，b=3，c=4， 设每个三等奖的奖金额是x元，则每个一等奖的奖金额是6x，每个二等奖的奖金额是2x， 根据题意，得：6x+2×2x+5x=48000或6x+3×2x+4x=48000， 解得：x=3200或x=3000， 答：每个三等奖的奖金额应是3200元或3000元， 故答案为：3200或3000． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并求得a、b、c的值是解答的关键． 13． 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，根据图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，广州、永州两地之间的路程为，故正确； 由题意和图象可得，快车从广州到达永州的时间为， ∵快车按原路原速返回， ∴快车从永州到达广州的时间为， ∴快车往返全程的时间为， ∵快车比慢车晚到达广州， ∴慢车从永州到达广州的时间为， ∴慢车的速度为，故正确； ∵快车从广州到达永州的时间为， ∴快车的速度为， 设出发小时两车第一次相遇， 则， 解得，故错误； 综上，正确的有， 故答案为：． 14．2或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“t时后两车相距50千米”列方程求解即可． 【详解】解：相遇前， 根据题意，得， 解得， 相遇后， 根据题意，得， 解得， ∴t的值为2或， 故答案为：2或． 15．6cm、9cm、12cm、15cm． 【分析】设最短边长为2xcm，则其他三边长为3xcm、4xcm、5xcm，再由周长等于42cm列方程求解即可． 【详解】解：最短边长为2xcm，则其他三边长为3xcm、4xcm、5xcm，依题意得： 解得：， 则， ，，， 答：四边形各边的长6cm、9cm、12cm、15cm． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用比例的性质设未知数是解题关键． 16．(1) (2)6秒或12秒 (3)存在，P点的坐标为或 【分析】此题考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、动点问题，一元一次方程的应用，学会分类思想是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得a，b， 则，，根据长方形的性质可求得点B的坐标． （2）设点P移动的时间为t秒，点到轴的距离为个单位长度，则点P在边上或在边上，分别列方程求出t的值即可； （3）分两种情况，当点P在边上时，则；当点P在边上时，则，分别求出，进一步即可得出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴轴，轴， ∴ （2）设点P移动的时间为t秒， ∵点P到y轴的距离为4个单位长度， ∴点P在边上或在边上， 当点P在边长上， 则， 解得：， 当点P在边上， 则， 解得：． （3）当点P在边上时，如下图： ∵，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为： 当点P在边上时，如下图： ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上：否存在点P使的面积是12，此时，P点的坐标为或． 17．(1)元； (2)30立方米 (3)当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的生活实际应用，正确理解分段的界点是解题的关键． （1）根据缴费标准解答即可求解； （2）设该用户这个月的用水量是m立方米，根据题意可得，然后列出方程，即可求解； （3）分两种情况：当时，当时，根据题意，列出代数式，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即该户4月份应缴纳的水费为元； （2）解：设该用户这个月的用水量是m立方米， ∵，且， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户这个月的用水量是30立方米； （3）解：当时，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元， 设甲户这个月用水立方米，则， 当时，甲户用水量超过但不超过，乙户用水量不少于但少于， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元， 综上所述，当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元． 18．(1)普通不分时用户 (2)小毛家11月用电量为153度 【分析】（1）根据小毛家1月份用电量和电费可得答案； （2）设小毛家11月用电量为度，根据前10个月的用电总量可得11月份的用电量分为一档和二档，再分段列出方程可得答案． 【详解】（1）解：根据小毛家1月份用电量和电费可得，， 小毛家普通不分时用户， 故答案为：普通不分时用户； （2）解：设小毛家11月用电量为度， ， ， ， 解得：， 小毛家11月用电量为153度． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系，根据数量关系列出方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $