云南省云南省昆明市第十中学2025-2026学年上学期九年级开学数学试卷

2025-2026学年云南省昆明十中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(    ) A. 2，2，2 B. 2，3， C. 1，1， D. 2，3，4 3.下列各式中，计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为(    ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 5.点、、均在的图象上，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.一次函数的解析式为，则下列说法正确的是(    ) A. 其图象与x轴的交点坐标为 B. y随x的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 7.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 8.要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，三人的平均成绩均为90分，甲的方差为，乙的方差为，丙的方差为，则这10次测试成绩比较稳定的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 9.下列函数：；；；中，是一次函数的有个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.如图，在▱ABCD中，的平分线AE交CD边于E，，，则AB的长为(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11.某学校举行“我爱科学”演讲比赛，成绩由“演讲内容”“语言表达”和“形象风度”的三项得分按2：2：1的比例计算后确定个人的最终得分.小明、小华和小晨三位同学的三项成绩百分制如下表： 演讲内容 语言表达 形象风度 小明 80 90 85 小华 80 85 90 小晨 90 85 80 则本次比赛最终得分最高的是(    ) A. 小明 B. 小华 C. 小晨 D. 三位同学最终得分一样高 12.如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为(    ) A. B. 2 C. 4 D. 13.关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 14.某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离s与时间t的关系示意图是(    ) A. B. C. D. 15.如图，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 16.若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是______. 17.如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若，则______. 18.一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______. 19.如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到BC的中点E的最短距离为      . 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题8分 计算： 21.本小题8分 解下列方程： ； 22.本小题8分 在八年级学生中随机抽取若干名学生参加普法知识竞赛，将成绩收集、整理成如图所示的扇形统计图和条形统计图. 根据图中提供的信息，解答下列问题： 抽取的学生人数是______. 在样本中，94分的学生人数为______.抽取的样本中，学生成绩的中位数是______. 已知八年级共有学生300人，若普法知识竞赛成绩在96分及以上为优秀，请你估计该校八年级共有多少名学生可以获得优秀成绩. 23.本小题8分 某超市经销甲、乙两种商品，两次采购商品的情况如下表所示： 采购批次 甲商品数量 乙商品数量 总费用 第一次 50件 50件 1600元 第二次 20件 60件 1440元 求甲、乙两种商品每件的进价； 超市决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件30元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍.若商品全部售完，请求出获得最大利润的进货方案. 24.本小题8分 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使，连接 求证：四边形AEFD是矩形； 若，，求矩形AEFD的面积. 25.本小题8分 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点 求反比例函数的解析式； 求出另一个交点B的坐标； 根据图象直接写出当时，不等式的解集. 26.本小题8分 一元二次方程两根分别为，且 若此方程一根为1，则______； 当，时，求a，b的值； 若，，且时，求证： 27.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，经过点，与x轴交于点C，线段AB平行于x轴，交直线于B点，连接OA， 直接写出：______，点C的坐标为______. 求证：四边形AOCB为平行四边形． 动点P从O出发，沿对角线OB以每秒2个单位长度的速度向B运动，直到点B为止，动点Q同时从B出发，沿对角线BO以每秒2个单位长度的速度向O运动，直到点O为止，两个点运动几秒后，四边形CPAQ为矩形． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，故A选项错误； 是最简二次根式，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选： 根据最简二次根式进行判断． 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选： 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选： 根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：正方形A的边长为， 故选： 直接利用勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 5.【答案】C  【解析】解：点，，均在函数的图象上， ，，， ， 故选： 直接把点，，代入函数，求出，，的值，并比较出其大小即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：在中，令得， 的图象与x轴的交点坐标为，故A正确，符合题意； 在中，， 随x增大而增大，故B错误，不符合题意； 的图象经过一，三，四象限，故C错误，不符合题意； 当时，，即，故D错误，不符合题意； 故选： 根据一次函数的性质逐项判断即可． 本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 7.【答案】D  【解析】解：， ， ，即 故选： 先把常数项移到等式的另一边，方程两边都加一次项系数一半的平方，按公式整理即可． 本题考查配方法解一元二次方程问题，掌握配方法的步骤与要求，会用配方法把方程变形是关键． 8.【答案】A  【解析】解：人的平均成绩均为90分，甲的方差为乙的方差为丙的方差为， 甲在这10次测试成绩比较稳定． 故选： 方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定． 本题考查了方差的意义，掌握方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越小，数据越稳定是关键． 9.【答案】C  【解析】解：，，符合一次函数的定义，它们是一次函数，共3个， 故选： 一般地，形如、b是常数的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可． 本题考查一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 又是的平分线， ， ， 为等腰三角形， ， ， 故选： 由平行四边形的性质及AE是平分线可推出为等腰三角形，得到，进而求出CD的长，进而得到AB长． 本题考查平行四边形的性质及角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握其性质是解题的关键． 11.【答案】C  【解析】解：由题意得：分别求出小明、小华、小晨的加权平均数可得： 小明：； 小华：； 小晨：； 本次比赛最终得分最高的是小晨； 故选： 根据题意分别求出小明、小华、小晨的加权平均数，然后问题可求解． 本题主要考查求加权平均数，熟练掌握求加权平均数是解题的关键． 12.【答案】B  【解析】解：为反比例函数的图象上的一点， 设， 轴， ，， 故选： 结合反比例函数关系是，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 13.【答案】C  【解析】解：整理得：，且， 解得且 故选： 根据一元二次方程有两个实数根，可知，且，求出解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14.【答案】B  【解析】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，故选项A不符合题意； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，故选项D不符合题意； C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，故选项C不符合题意； 故选： 应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，要通过图象反映出来． 本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解． 15.【答案】C  【解析】解：由题意可得： 把代入：， 得， 则关于x、y的方程组的解为， 故选： 首先将点A的横坐标代入：，求得其纵坐标，则横坐标为方程组中的x的值，纵坐标为方程组中的y的值，据此即可作答． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确进行计算是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：由题可知， ， 解得 故答案为： 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 17.【答案】3  【解析】解：四边形ABCD为平行四边形， ，， ，O是AD，AC的中点， ， 故答案为： 由平行四边形的性质可得出，再根据三角形的中位线的定理即可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线的定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.【答案】  【解析】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点， 的解集是， 故答案为： 先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解． 19.【答案】13  【解析】解：圆柱的高为10，底面圆的直径为8，如图， 根据题意画出爬行路线的展开图，然后利用勾股定理求解即可． 本题考查了勾股定理的应用，正确进行计算是解题关键． 20.【答案】  【解析】解：原式 利用平方差公式，二次根式的运算法则，零指数幂计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 21.【答案】，；   ，  【解析】， ， ， 或， 解得：，； ， ， ， 根据因式分解法求解即可； 根据因式分解法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解． 22.【答案】60；   12，96；   210名  【解析】分的有6人，占， 抽取的总人数为人， 故答案为：60人； 分的人数：人； 人， 竞赛成绩按从小到大的顺序排列，第30名和第31名学生的成绩在96分组， 中位数为96分； 故答案为：12，96； 人， 故该校八年级共约有210名学生可以获得优秀成绩． 分的人数和占比计算即得； 分的人数等于抽取的总人数乘其占比；根据前3组总人数33人，得第30名和第31名学生的成绩在第3组，即96分组，得中位数为96分； 乘96分及以上人数上比即得． 本题考查了扇形统计图和条形统计图．熟练掌握扇形统计图和条形统计图互补性，关键信息，求中位数，样本估计总体是解题的关键． 23.【答案】解：设甲商品每件的进价为x元，乙商品每件的进价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲商品每件的进价为12元，乙商品每件的进价为20元； 设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，卖完甲、乙两种商品的利润为w元， ，解得，即m的取值范围是， 由题意得， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时 答：当购进甲商品75件，乙商品25件时，可获得最大利润850元．  【解析】根据题意设甲商品每件的进价为x元，乙商品每件的进价为y元，找出数量关系，列二元一次方程组求解即可； 设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，卖完甲、乙两种商品的利润为w元，根据甲乙两种商品的数量关系确定购进甲商品m的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的综合运用，理解题目中的数量关系，列方程组，解方程组，掌握一次函数增减性求最优方案是解题的关键． 24.【答案】在菱形ABCD中，， ，， ， ， ， 又， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形；    【解析】证明：在菱形ABCD中，， ，， ， ， ， 又， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形； 解：在菱形ABCD中，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 先利用菱形对边平行且相等的性质，结合推出AD与EF平行且相等，证得四边形AEFD是平行四边形，再依据得到一个直角，从而证明它是矩形； 根据菱形性质和判定是等边三角形，结合求出BC、BE、AE的长度，再利用矩形对边相等得出即和AE的长度，进而计算矩形面积． 本题主要考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键． 25.【答案】解：把点代入，得 把代入， 反比例函数的解析式为； 联立得， 解得或， ； 由图象可知， 当时，不等式的解集或；  【解析】先把点代入中求出a得到然后把A点坐标代入中求出k得到反比例函数的表达式； 先求出直线与x轴交点C的坐标，然后解析式联立，解方程组求得B的坐标； 利用图象即可求得当时，不等式的解集． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标． 26.【答案】6；   ；；   见解析．  【解析】将代入，则， ； ，， ，， 解得：，； 当，，且， ①， ②， ①-②得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即，故 将代入即可求解； 利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； 将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 27.【答案】解：将代入， ， 令，则， 点C的坐标为 故答案为：6；     由得点A的坐标为 轴， 点B的纵坐标为 点B在直线上， 当时，， ， 点C的坐标为， 又， 四边形AOCB是平行四边形．    当点P在AC下方时，设运动时间为t秒， 由题意得 四边形CPAQ是矩形， ，， ， ， 当点P在AC上方时，则， 同理可得， 综上所述，t的值为或  【解析】根据一次函数的性质求解即可； 先求出点B的坐标，即可推出，，即可证明结论； 根据矩形的性质可以推出，利用勾股定理求出AC，OB的长，然后表示出PQ的长，由此建立方程求解即可． 本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的判定，勾股定理，矩形的性质等，熟知相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $