第23章图形的相似同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第23章 图形的相似 同步练习 一、单选题 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 4．如图，平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（    ） A． B． C． D． 6．以学校为观测点，书店在学校的北偏东方向800米处（如图）．若以书店为观测点，那学校在书店的（    ）方向800米处． A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 7．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．在比例尺为的地图上，量得地与地的距离约为，则地与地的实际距离约为 ． 12．如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 13．如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为 14．如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 15．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长是 ． 三、解答题 16．如图，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． (1)若时，则 （用含的式子表示）； (2)当和的面积相等时， ． 17．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 18．【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 19．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为，的梯形空地种植花木． (1)如图，他们在和地带上种植太阳花，当地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满地带所需的费用； (2)若其余地带要种的花卉，有玫瑰花和茉莉花和太阳花三种供选，单价分别为12元，10元，8元，怎样安排栽种面积？请你作出决策． 20．如图，在正方形中，E，F分别是边，上的一点，，连接，． (1)求证：； (2)如图，连接交于点G，连接，若，，求的长； (3)如图，过点F作于点M，若，，求出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第23章 图形的相似 同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C B D C D C B 1．D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得与的相似比为，然后根据两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与相似且周长之比为，可知：与的相似比为， ∴； 故选：C． 3．C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出是的中位线．根据平行四边形的性质，可得出点平分，则是的中位线，则，继而求出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了方位问题，解题的关键是根据题意判断出方位． 根据题意，用方向角和距离表述出方位即可． 【详解】解：以学校为观测点，书店在学校的北偏东方向800米处， 若以书店为观测点，那学校在书店的南偏西方向800米处． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 8．D 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是的中点，， ∴， ∴， ∴的周长（）， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10．B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵， ∴， 当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点， ∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误； 故选∶B 11． 【分析】此题考查了比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12． 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 13．/0.5 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意可得，，则，与的相似比为，则，然后问题可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵的面积是面积的9倍， ∴与的相似比为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 求出，，过作交于，根据平行线得出相似，根据相似得出比例式，求出，，推出，即可得出答案． 【详解】解:∵点是的四等分点（），点是的三等分点（）， ∴，， 过作交于Z， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， 故答案为． 15． 【分析】根据题意，设交于点，由矩形与折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则求出，，再证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的折叠，相似三角形的判定和性质是关键． 16．(1) (2)1 【分析】（1）由是等腰直角三角形，，得，，求出，知，故； （2）过F作交延长线于H，设交于G，由和的面积相等，可得，即可证明，得，故，而，有，从而求出． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：过F作交延长线于H，设交于G，如图： ∵和的面积相等， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和相似三角形判定定理． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 18．（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 19．(1)640元 (2)见解析 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得，于是得到种满地带所需的费用为地带种植费用的4倍解答即可； （2）先计算出，则，再根据相似三角形的性质得，所以，然后分别讨论，使总费用不超过1600元即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元， ∴种满地带所需的费用（元）； （2）解：∵种太阳花的单价为8元，而地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当和都种玫瑰花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时，不符合题意； 当和都种茉莉花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时； 当和都种太阳花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时； 当种玫瑰花和种太阳花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时； 当种玫瑰花和种茉莉花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时； 所以可以这样安排： 方案一：当和都种太阳花后，和种茉莉花； 方案二：当和都种太阳花后，和种太阳花； 方案三：当和都种太阳花后，种玫瑰花和种太阳花． 20．(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）只需要证明即可证明； （2）先证明，进而证明得到，推出，即点F为中点；如图所示，取中点H，连接交于P，同理可证，得到，进一步证明，得到，取中点Q，连接，则是的中位线，由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，则垂直平分，即可得到，进而可知长度； （3）连接，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再求出，证明是等腰直角三角形，得到；设，则，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即点F为中点， 如图所示，取中点H，连接交于P， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 取中点Q，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵ ∴； （3）解：连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线，正方形的基本性质和全等三角形的证明及性质，勾股定理等知识点，综合程度比较大，能够正确画出辅助线是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $