2.1-2.2坐标法、直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第三单元 坐标法、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、单选题 1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离． 结合上述观点，可得的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 6．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 10．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 11．在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 三、填空题 12．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则 ． 13．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 14．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． 四、解答题-问答题 15．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 16．已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 18．设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 19．已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 坐标法、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、单选题 1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线，即，即， 所以斜率为，则该直线的倾斜角为. 故选：A 2．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 3．已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线的方程，代入点的坐标，可求的值. 【详解】因为直线在轴上的截距是1，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得． 故选：D. 4．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离． 结合上述观点，可得的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设观点将变形为点与点的距离之和，然后再求解最小值. 【详解】据题意有：，表示轴上点到点、的距离之和，则. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的运用，难度一般.要注意到平面上到两个定点距离最小的点必定位于两定点连线的线段上. 6．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 7．已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解. 【详解】由，可得， 所以直线恒过点， 则， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故的取值范围为. 故选：B 8．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 二、多选题 9．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 10．对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 【答案】ABD 【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，恒过顶点进行判断各个选项． 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 11．在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 【答案】AC 【分析】画图观察判断A，利用斜率公式计算判断BD，根据重心坐标公式和两点式方程判断C； 【详解】对于A，如图，在平面直角坐标系中，描出，，，由图可知直线的倾斜角为钝角．A正确； 对于B，直线的斜率．B错误； 对于C，因为的顶点分别为， 则重心），所以点的坐标为， 则直线的方程为，即．C正确； 对于D，，， 所以为等腰三角形，则的平分线也为中线，边的中点为， 所以的平分线所在直线的斜率为．D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】先根据直线方程求得直线所过定点，方法一由直线的法向量可求得直线的方向向量，结合直线的斜率公式解得参数；方法二由题意直接求出直线的点法式方程.再代入点解得参数. 【详解】直线的方程为，即，所以直线过定点． 方法一  则直线的一个方向向量的坐标为．又直线过定点， 且点在直线上，所以，解得． 方法二  又直线过定点，所以直线的方程为， 化简得．将点代入，得，解得． 故答案为：. 13．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 14．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】截距互为相反数，分截距为零和不为零两种情况讨论求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即． 所以直线的方程为或． 故答案为：或. 四、解答题-问答题 15．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 16．已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）选择①，求出直线斜率，由点斜式得直线方程；选择②，设直线的截距式方程，代入已知点坐标求解；选择③，由两点间距离公式求得点坐标，再由两点式得直线方程； （2）选择①②③后都是一样：求出直线在轴上截距，由点斜式得直线方程． 【详解】（1）选择①． 由题意可设直线的方程为，又直线的斜率是直线的斜率的2倍， 所以． 所以直线的方程为，即． 选择②． 由题意可设直线的方程为，又直线过点， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． 选择③． 因为，所以，结合，可得． 直线过点，且过点，所以直线的方程为，即． （2）由（1）可知直线的方程为，令，可得， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为． 又因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，即． 因此直线在轴上的截距为6． 17．已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)直线方程为； (2)， 【分析】（1）首先计算，分和得到直线方程即可； （2）根据题意得到点坐标，将坐标代入（1）中的直线方程得到，根据二次函数性质即可得到边长最大值，即面积最大值. 【详解】（1）由题意知当直线斜率存在时，， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 直线的方程为. （2）由和四边形为正方形可知， ， 因为点在直线上， 所以， 所以， 而正方形的面积最大，即最大， 所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大. 18．设直线的方程为，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点． (1)当最小时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意知，可得的表达式，变形后结合基本不等式求解； （2）由题意不妨设，则，结合为正整数，得，进而可得直线的方程． 【详解】（1）由题意知，，则， 所以 （基本不等式的应用）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， 此时直线的方程为． （2）因为直线在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又也为正整数，所以，即，所以或4． 当时，，此时， 所以直线的方程为（直线的截距式方程），即； 当时，，不符合题意，舍去． 综上所述，直线的方程为． 19．已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0 (2)3x＋3y－10＝0 【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可； （2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可. 【详解】（1），即， 由，解得，故动直线过定点． 设直线l的方程为， 将代入得．① 由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得， 令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件． （2）由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $